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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (10)


2015 年全国高中数学联赛江西省预赛
一、 填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.若三位数 n ? abc 是一个完全平方数,并且其数字和 a ? b ? c 也是完全平方数,则称 n 为超级平方数, 这种超级平方数的个数是 2.函数 y ? 8x ? x 2 ? ?48+14 x ? x 2 的最大值是 3.已

知直线 l 过点 M (1, 2) ,若它被两平行线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 所截得的线段长为 2 , 则直线 l 的方程为 4.

1 3 ? ? ? sin10 cos10?

5.满足 1 ? x2 ? x 的实数 x 的取值范围是 6.若实数 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 30,3x ? y ? z ? 50 ,则 T ? 5x ? 4 y ? 2 z 的取值范围是 7.在前一万个正整数构成的集合 {1, 2,3,?,10000} 中,被 3 除余 2,并且被 5 除余 3,被 7 除余 4 的元素个数是 8.如图,正四面体 ABCD 的各棱长均为 2, A1 , B1 , C1 分别是棱 DA, DB, DC 的中点,以

? C ,并将两弧各分成五等 D 为圆心,1 为半径分别在面 DAB, DBC 内作弧 ? A1B1 , B 1 1
分,分点顺次为 A 1, P 1, P 2, P 3, P 4, B 1 以及 B 1, Q 1 , Q2 , Q3 , Q4 , C1 ,一只甲虫欲从点 P 1出 发,沿正四面体表面爬行至点 Q4 ,则其爬行的最短距离为 二、 本大题共 4 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分 20 分) 2 一只正整数数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1 ,证明:数列的任何两项皆互质.

10(本小题满分 22 分) 已 知 H 为 锐 角 ?ABC 的 垂 心 , 在 线 段 CH 上 任 取 一 点 E , 延 长 CH 到 F 使 HF ? CE , 作

FD ? BC, EG ? BH , 其中 D, G 为垂足 , M 是线段 CF 的中点 , O1 , O2 分别是 ?ABG, ? BCH 的外
接圆的圆心,圆 O1 ,圆 O2 的另一个交点为 N . (Ⅰ)证明: A, B, D, G 四点共圆; (Ⅱ)证明: O1 , O2 , M , N 四点共圆.

11(本小题满分 22 分) 对于任意给定的无理数 a , b 及实数 r (r ? 0) ,证明:圆周 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上至多只有两个有理 点(纵横坐标皆为有理数的点)

12(本小题满分 22 分) 从集合 M ? {1, 2,3,?,36} 中删去 n 个数,使得剩下的元素中,任意两个数之和都不是 2015 的因数,求 n 的最小值.


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