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用二分法求方程的近似解 课件1


3.1.2.用二分法求方程的近似解

学习导 图

解方程: x ? 2 x ? 6 ? 0 ln

探究函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6零点的近似解 归纳求函数零点的一般步骤 求方程
2 x ? 3 x ? 7的近似解

巩固练 习

作 业

r />2013-9-13 研修班 2

学习过程

一、解方程:

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

问题 如何找出在区间 ( 2,3)内的这个零点?

1.对于简单方程,可以通过变形、换元或套用公式求 解.
2.实际问题中,一般只需要求出符合一定精确度的近 似解. 3.将求方程近似解的问题转化为求相应函数零点的近似 值问题.
2013-9-13 研修班 3

问题

方程近似解(或函数零点的近似值)的精确 度与函数零点所在范围的大小有何关系?

1.若知道零点在(2.50,2.53)内,我们就可以得到 方程的一个精确到0.1的近似解2.50; 2.若知道零点在(2.515,2.516)内,我们就可以得 到方程的一个更为精确近似解,等等... 求方程近似解的问 题(或函数零点的近 似值)
2013-9-13 研修班

不断缩小零点所在 范围(或区间)的问 题
4

问题

如何缩小零点所在的范围,得到一个越来 越小的区间,以使零点仍在此区间内?

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某 接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生 点,一般至少需要检查接点的个数为 个.
上海A B C D E F G H I J K L M N O 旧金山

为了缩小零点所在的范围,一般可以先将区间分为 两个子区间,如果分点不是零点,则零点必在两个 中的一个内,从而达到缩小零点所在区间的目的.

2013-9-13

研修班

5

问题

将一个区间分为两个区间,该找怎样的分点?

取中点
对于一个已知的零点所在区间(a,b),取中 点 a ? b ,计算 f ( a ? b ) ,根据零点所在范围的

判断方法,如果这个函数值为0,那么中点就是函
数的零点;如果不为0,通过比较中点与两个端点
a?b 函数值的正负,即可判知零点是在 (a , 2 ) 内,还 a?b 是在 ( 2 , b ) 内,从而将零点所在范围缩小了一

2

2

半.

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研修班

6

问题

解方程 : ? x ? 2 x ? 6 ? 0 ln
(2,3)

找函数? ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点 f 逐渐缩小函数f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点所在范围

f(a) f(x1 ) (a,b) 中点x1 (2 , 3) 2.5 负 -0.084 (2.5,3) 2.75 负 0.512 (2.5,2.75) 2.625 负 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 负 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 负 -0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 负 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 负 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 负 0.001

f(b) 正 正 正 正 正 正 正 正

2013-9-13 7 研修班 | 2.5390625 -2.53125|=0.0078125<0.01 精确度已达到0.01

结论 1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点 近似值. 2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如0.01 时,可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间 的方法步骤,而使最终所得的零点所在的小区间内的任 意一点,与零点的误差都不超过给定的精确度,即都可 以作为零点的近似值. 3.本题中,如在精确度为0.01的要求下,我们可以 将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为 此函数在区间(2,3)内的零点近似值. 4.若再将近似值保留两为小数,那么2.53,2.54都 可以作为在精确度为0.01的要求下的函数在(2,3) 内的零点的近似值.一般地,为便于计算机操作,常 2013-9-13 8 研修班 取区间端点作为零点的近似值,即2.53125

象这种运用缩小零点所在范围的方法在数学和计算机 科学上被称为二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a ) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x ) ,通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在

的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,
进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地 一分为二,使新得到的区间不断变小,两个端点 逐步逼近零点.
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概括利用二分法求函数 f ( x ) 零点的近似值的步骤
1.确定区间[a,b],验证 f (a ) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? 2.求区间(a,b)的中点c 3.计算f(c) (1)若f(c)=0,则c 就是函数的零点 (2)若 f (a) ? f (c) ? 0,则令b=c(此零点 x0 ?(a, c)) (3)若 f (c ) ? f (b) ? 0 ,则令a=c(此时零点 x0 ? ( c , b )) 4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a(或b);否则重复步骤2-4.

口 诀

定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办?
2013-9-13 研修班

中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
10

求方程 2 x ? 3 x ? 7 的近似解(精确到0.1)


令f ( x ) ? 2 ? 3 x ? 7, 零点为x0 , 精确度为 ?
x

易知:f(1)<0,f(2)>0 取x=1.5,计算f(1.5)≈0.33>0 ? x0 ? (1,1.5) 取x=1.25,计算f(1.25)≈-0.87<0 ? x0 ? (1.25, ?.5) 1 取x=1.375,计算f(1.375)≈-0.28<0 ? x0 ? (1.375 , ?.5) 1 取x=1.4375,计算f(1.4375)≈0.02>0 ? x0 ? (1.375 , ?.4375 ) 1 此时 ? ?| 1.4375 ? 1.375 |? 0.0625 ? 0.1 ∴ 原方程的近似解取为1.4375
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P102)习题A组第3题
借助计算器或计算机,用二分法求方程 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 1 在区间(-1,0)内的近似解(精确度0.1) 解 令f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 1, 零点为x0 , 精确度为? 易知:f(-1)<0,f(0)>0 取x=-0.5,计算f(-0.5)≈3.375>0 ? x0 ? ( ?1,?0.5) ? 取x=-0.75,计算f(-0.75)≈1.58>0 ? x0 ? ( ?1, ? 0.75) ? 取x=-0.875,计算f(-0.875)≈0.39>0 ? x0 ? ( ?1, ? 0.875) 取x=-0.9375,计算f(-0.9375)≈-0.28<0 ? x0 ? ( ?0.9375,?0.875) 此时 ? ?| ( ?0.9375) ? ( ?0.875) |? 0.0625 ? 0.1 ∴ 原方程的近似解取为-0.9375
2013-9-13 研修班 12

课 堂 小 结

1. 二分法的定义; 2. 用二分法求函数零点近似值的步骤.
作业1:P92 习题3.1 A组 3 、4 、5

学业测评:课时作业 预习函数模型及应用
2013-9-13 研修班 13


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