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波利亚怎样解题表


波利亚的怎样解题表
陕西师范大学 罗增儒 罗新兵

1?乔治· 波利亚 ? 乔治· 波利亚(George Polya,1887~1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学

启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法)现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得 的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他 93

岁高龄时,还被ICME(国际数学教育大会)聘为 名誉主席. 2?怎样解题表 ?? 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对“问题解决” 重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样 解题》(被译成 14 种文字)一书中给出的“怎样解题表”,正是一部“启发法小词典”. ?? 2.1? “ 怎样解题”表的呈现 ?? 弄清问题

?? 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知, 条件是否充 第一,你必须 分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 弄清问题 ?? 画张图,引入适当的符号. ?? 把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来?

?? 拟定计划

第二,找出已 ? ? 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 知数与未知数 ? ? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 之 间 的 联? ? 看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 系.如果找不 ? ? 这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题. 出 直 接 的 联? ? 你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它, 你是否 系,你可能不 应该引入某些辅助元素? 得不考虑辅助 ? ? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 问题. ?? 回到定义去.

?? 你应该最 ? ? 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个

终得出一个求 更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否 解的计划 解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分.这样对于未知数能确 定到什么程度?它会怎样变化? 你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出 适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者 都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近? ?? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中 的必要的概念?

?? 实现计划

?? 实现你的求解计划,检验每一步骤. 第三,实行你的计划 ?? 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

?? 回? ? 顾

?? 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子 第四,验算所得到的解. 看出它来? ?? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?

?? 下面是实践波利亚解题表的一个示例, 能够展示波利亚解题风格的心路历程, 娓娓道来, 栩栩如生. ?? 2.2? “ 怎样解题”表的实践 ?? 例 1?给定正四棱台的高 h,上底的一条边长 a 和下底的一条边长 b,求正四棱台的体积 F.(学生 已学过棱柱、棱锥的体积) ?? 讲解?第一,弄清问题. ?? 问题 1.你要求解的是什么? ?? 要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点 F 象征性地表示出来(图 1).

?? 问题 2.你有些什么? ?? 一方面是题目条件中给出的 3 个已知量 a、b、h;另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式,并积 累有求体积公式的初步经验.把已知的三个量添到图示处(图 2),就得到新添的三个点 a、b、h;它们 与 F 之间有一条鸿沟,象征问题尚未解决,我们的任务就是将未知量与已知量联系起来. ?? 第二,拟定计划. ?? 问题 3.怎样才能求得 F? ?? 由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱台是“用 一个平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥 的体积 B 和 A,我们就能求出棱台的体积F=B-A.? ? ? ? ① ?? 我们在图示上引进两个新的点 A 和 B,用斜线把它们与 F 联结起来,以此表示这三个量之间的联 系(图 3,即①式的几何图示).这就把求 F 转化为求 A、B.

图3 ?? 问题 4.怎样才能求得 A 与 B? ?? 依据棱锥的体积公式(V=

1 Sh),底面积可由已知条件直接求得,关键是如何求出两个棱锥的 3 1 a 3

高.并且,一旦求出小棱锥的高 x,大棱锥的高也就求出,为x+h. ?? 我们在图示上引进一个新的点 x,用斜线把 A 与 x、a连结起来,表示 A 能由 a、x得出,A=
2

x;类似地,用斜线把 B 与 b、h、x连结起来,表示 B 可由b、h、x得出,B=

1 2 b (x+h) 3

(图 4),这就把求 A、B 转化为求 x.

图4 ?? 问题 5.怎样才能求得 x? ?? 为了使未知数 x 与已知数 a、b、h联系起来,建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题 的基本经验,进行“平面化”的思考.用一个通过高线以及底面一边上中点(图 5 中,点 Q)的平面去截两 个棱锥,在这个截面上有两个相似三角形能把 a、b、h、x 联系起来(转化为平面几何问题),由△ VP O1∽△VQO2 得

图5

????

x a ② ? ???? x?h b

?? 这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程②,便可由 a、b、h 表示 x,在图示中便可 用斜线将 x 与a、b、h 连结起来.至此,我们已在 F 与已知数 a、b、h 之间建立起了一个不中断的联 络网,解题思路全部沟通. ?? 第三,实现计划. ?? 作辅助线(过程略)如图 5,由相似三角形的性质,得

x a ah . ? ,解得 x= x?h b b?a

?? 进而得两锥体的体积为?A=

a3 h 1 2 1 a x= · , 3 3 b?a

?? B=

b3 h 1 2 1 b (x+h)= · , 3 3 b?a

?? 得棱台体积为

??? F=B-A= ?? 第四,回顾.

1 (b3 ? a 3 )h 1 · = (a2+ab+b2)h.? ? ? ? ③ b?a 3 3

? ? (1) 正面检验每一步,推理是有效的,演算是准确的.再作特殊性检验,令a→0,由③可得正四 棱锥体的体积公式;令a→b,由③可得正四棱柱体的体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容 性,又显示出棱台体积公式的一般性;这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系,又可增进三个体 积公式的联系记忆. ? ? (2) 回顾这个解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息(如图 1 所示,有棱台, a、b、h、F 共 5 条信息),同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想:棱台的定义、棱锥的体积 公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下 6 条信 息),并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中,起调控作用的关键是如何去构思出一个 成功的计划(包括解题策略).由这一案例,每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关 于如何制定计划的普遍建议或模式. ? ? (3) 在解题方法上,这个案例是分析法的一次成功应用, 从结论出发由后往前找成立的充分条件. 为 了求 F,我们只需求 A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知,化归);为了求 A、B,我 们只需求 x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单,降维);为了求 x,我们只需建立关于 x 的方程(由几何到代数的转化——数形结合);最后,解方程求 x,解题的思路就畅通了,在当初各自孤 立而空旷的画面上(图 1),形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图 5),书写只不过是循相反次序 将网络图作一叙述.这个过程显示了分析与综合的关系,“分析自然先行,综合后继;分析是创造,综 合是执行;分析是制定一个计划,综合是执行这个计划”. ? ? (4) 在思维策略上,这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决(策略水平上的解 决),把 F 转化为 A,B 的求解(F=A-B),就明确了解题的总体方向;其次是功能性解决(方法水 平的解决), 发挥组合与分解、 相似形、 解方程等方法的解题功能; 最后是特殊性解决(技能水平的解决), 比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等,是对 推理步骤和运算细节作实际完成. ? ? (5) 在心理机制上, 这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程. 首先在正四棱台(条件)求体积(结论) 的启引下, 激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式, 然后, 沿着体积计算的接线向外扩散, 依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图 1~图 5),……直到条件与结论之间的网络 沟通.这种“扩散——激活”的观点,正是数学证明思维中心理过程的一种解释. ? ? (6) 在立体几何学科方法上,这是“组合与分解”的一次成功应用.首先把棱台补充(组合)为棱锥,然

后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面, 这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、 再分解 为三个棱锥),它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍,而“平面化”的思考则 是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁. 这些都可以用于求解其他立体几何问题, 并且作为一 般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科. ? ? (7)“ 你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答,操作上未 实现只是能力问题或暂时现象.对于本例,按照化棱台为棱锥的同样想法,可以有下面的解法. ?? 如图 6,正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,连结 DA1,DB1,DC1,DB,将其分成三个四棱锥D -A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中 ? ?VD ? A 1 = B 1 C 1 D 1

1 2 b h, 3

? ?VD ? AA1B1B = VD ? BB 1 C1C .(等底等高)

图6

图7

?? 为了求 VD ? AA1B1B ,我们连结 AB1,将其分为两个三棱锥D-ABB1 与D-AA1B1(图 7),因 ? ?S ?AA1B1 =

b S ?ABB1 , a

b VD ? ABB1 , a 1 1 1 ?? 但? VD ? ABB1 = VB1 ? ABD = · a2· h= a2h, 3 2 6
?? 故? VD ? AA1B1B = ?? 故? VD ? AA1B1B = VD ? ABB1 + VD ? AA1B1 ?? =

1 2 b 1 1 2 a h+ · a2h= (a +ab)h. 6 a 6 6

?? 从而 VABC D ? A1B1C1D1 = VD ? AA1B1B + VD ? BB 1 C1C + VD ? A1B1C1D1 ?? =

1 2 1 2 1 2 (a +ab)h+ (a +ab)h+ bh 6 6 3

??



1 (a2+ab+b2)h. 3

? ? (8)“ 你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能,至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱 台体积公式(方法是一样的).注意到 ? ? ?2a =S1,b2=S2,ab= S1S 2 , ?? 可一般化猜想棱台的体积公式为 ??? V台=

1 (S1+ S1S 2 +S2)h. 3

3?波利亚的解题观 ?? 对于波利亚的怎样解题表及有关著作,人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考 文献),我们将其归结为 5 个要点. ?? 3.1?程序化的解题系统 ?? 怎样解题表,就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题,把“解题中典型有用的智力活动”, 按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,从而 描绘出解题理论的一个总体轮廓,也组成了一个完整的解题教学系统.既体现常识性,又体现由常识上 升为理论(普遍性)的自觉努力. ?? 这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序,其中“实现计划”虽为主体工作,但较为容易完成, 是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置,“我们所需要的只是耐心”;其次,“弄清问题”是认识问 题、并对问题进行表征的过程,应成为成功解决问题的一个必要前提;与前两者相比,“回顾”是最容易 被忽视的阶段, 波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来, 是一个有远见的做法, 在整个解题表中“拟 定计划”是关键环节和核心内容. ??拟 “ 定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程,波利亚的建 议是分两步走:第一,努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等);第二,如果找不出直接的 联系,就对原来的问题做出某些必要的变更或修改,引进辅助问题,为此,波利亚又进一步建议:看着 未知数,回到定义去,重新表述问题,考虑相关问题,分解或重新组合,特殊化,一般化,类比等,积 极诱发念头,努力变化问题.这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配. ?? 于是,这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身,融理论与实践于一体. ?? 3.2?启发式的过程分析 ? ? (1) 还在当学生的时候,波利亚就有一个问题一再使他感到困惑:“是的,这个解答好像还行,它看 起来是正确的,但怎样才能想出这样的解答呢?是的,这个实验好像还行,它看起来是个事实,但别人 是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看,这实际上是既提

出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题, 波利亚说, 这“终于导致他写出本书”(指 《怎样解题》 ). ?? 波利亚认为“数学有两个侧面”,“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学;但 在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学. 这两个侧面都像数学本身一样古老. 但从某一 点说来,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有?照本宣科?地把处于发现过程中的数学照原样提供 给学生,或教师自己,或公众.”他以数十年的时间悉心研究数学启发法,其“怎样解题”的基本思想就 可以概括为“知识+启发法”. ?? 在解题表中,波利亚给出了“启发法小词典”,让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践,自己学 会怎样解题. ?? 这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识,波利亚认为,数学教育应“教会年轻人去思考”,培 养学生的“独立性、能动性和创新精神”;他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生,他赞成,良好 的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”,“应该帮助学生自己再发现所教的内容”,“学东西的 最好途径是亲自去发现它”;他特别重视发展学生的数学思维能力,强调数学教学要加强思维训练,要 发展学生运用所学知识的能力,发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯,他反复指出,数 学教育的目的不仅仅是传授知识, 还要“发展学生本身的内蕴能力”. 教师要“教学生证明问题”, 也要“教 他们猜想问题”.波利亚提出“合情推理”的概念,号召:“让我们教猜想吧!” ? ? (2) 在解题表的展开中,波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规 律”.波利亚不断地提问、不断地建议,“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它 们呢?”既驱使人们去分析解题过程,又要求人们去总结发现的规律.波利亚在《数学的发现》序言中提 出:“领会方法的最佳时机,可能是读者解出一道题的时候,或是阅读它的解法的时候,也可能是阅读 解法形成过程的时候”. ?? 波利亚书中的例题,其实就是对典型例题进行解题过程的分析,就是暴露数学解题的思维过程,也 就是教人“怎样学会解题”.在例 1 中,数学操作与思维开展相结合的图解或阐释,使我们既领会到了这 样的意图,也见到了这样的行动. ?? 波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析, 实质上已接触到心理层面, 但没有用到多少教育学或思维学的 相关名词, 基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露, 数学功底和过程体验发挥了重要作用. 这 正是数学家研究数学教育的优势,处处有数学的“真刀真枪”,绝非“纸上谈兵”.波利亚说“货源充足和 组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,在“知识”与“组织良好”之间,波利亚更强调后者,他 说“良好的组织使得所提供的知识易于用上,这甚至可能比知识的广泛更为重要.”用现在的话来说,波 利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用. ?? 3.3?开放型的念头诱发.

?? 波利亚解释说:“我们表中的问题和建议并不直接提到念头;但实际上,所有的问题和建议都与它 有关(可以说解题表中的每一个问句,都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头. ) ,弄清问题是 为好念头的出现做准备; 拟订计划是试图引发它; 在引发之后, 我们实现它; 回顾此过程和求解的结果, 我们试图更好地利用它.”他强调指出:“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助,促使 他自己想出一个好念头.”在《怎样解题》一书里,出现“念头”这个词不下四五十次. ?? 念头有什么用?波利亚说:“它会给你指出整个或部分解题途径”.“也许有些念头会把你引入歧途”, 但这并不可怕,“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个?好念头?”,最糟糕的是没有 任何念头,还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临,而不会做任何事情去加速其来到.” ?? 这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白,而且在内涵上更为丰富,其实质是开展积极活 跃的思维活动,产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语.那么产生念头的基础是什么呢?波利 亚的回答是:“过去的经验和已有的知识”.(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念 头的.如果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头.” ?? 波利亚一再提到“好念头”, 其实这就是直觉、 顿悟或灵感, “想出一个好念头是一种?灵感运动?”, “想 像力有了一个突然的跳跃,产生了一个好念头,这是天才的一次闪烁”,“是我们观点上的重大突变,我 们看问题方式的一个骤然变动,在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”. ?? 波利亚关于念头的种种议论,正是开展积极思维活动的激发与激活. ?? 3.4?探索性的问题转换 ?? 这里说的“问题转换”,在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”,它揭示了探索解题思 路的数学途径,也体现了解题策略的实际运用.波利亚强调:“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠 从可以接近它的方向去攻击堡垒,为了找出哪个方面是正确的方面,哪一侧是好接近的一侧,我们从各 个方面、各个侧面去试验,我们变更问题.”“变化问题使我们引进了新的内容,从而产生了新的接触, 产生了和我们有关的元素接触的新可能性.”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性,它使我们做 出有用接触的希望死而复苏.通过变化问题,显露它的某个新方面,新问题使我们的兴趣油然而生”. ?? 在“怎样解题”表中,波利亚拟出了启引我们不断转换问题的 30 多个问句或建议:把问题转化为一 个等价的问题,把原问题化归为一个已解决的问题,去考虑一个可能相关的问题,先解决一个更特殊的 问题、或更一般的问题、或类似的问题……那些启发新念头的问句,也往往与问题转换有关.“如果我 们不用?题目变更?,几乎是不能有什么进展的”——这就是波利亚的结论. ?? 3.5?朴素的数学解题元认知观念. ?? 元认知是对认知的再认知, 包括元认知知识, 元认知体验和元认知监控. 虽然元认知概念提出较晚, 但元认知思想早就存在,在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念.

?? 波利亚解题表的大量问句或建议,都不是问别人,而是自己给自己提问题、提建议,这是解题者的 自我诘问、自我反思.问题中的一部分,其对象针对具体的数学内容,属于认知性的;另一部分则以解 题者自身为对象,属于元认知性的.比如,“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这 里有一个与你现在的问题有关, 且早已解决的问题. 你能不能利用它?”等等, 都不涉及问题的具体内容, 都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思,都属于元认知提问,而不完全是认知提问. ?? 波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”,主要是有分析地领会所得的解法(参 见例 1 的回顾),它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图.至于解题表本 身所给出的解题程序(一种程序性知识),所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问, 都属于元认知知识.波利亚对具体范例的分析,基本上是对“问题及其解法”的再认知,已反映出开发元 认知的朴素?意图.? ?? 波利亚的另一些问句,如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能 不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度),“你能不能一 下子看出它来?”(题感)等,则属于朴素的元认知体验. ?? 至于解题表本身,则自始至终体现着元认知调控. ?? 综上所述,“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架,“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实 质,“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现,“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现,朴素的元认 知观念是波利亚解题思想的心理学基础. 而这一切的背后, 丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利 亚解题思想的物质基础,现代启发法是波利亚解题思想的灵魂,揭示“发现和发明的方法和规律”是波利 亚解题思想的目标. ?


波利亚与《怎样解题表》

波利亚与《怎样解题表》 1、乔治·波利亚乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的 方法和规律,亦...

波利亚的怎样解题表(修改版)

波利亚怎样解题表陕西师范大学 罗增儒 罗新兵 1 乔治· 波利亚乔治· 波利亚(George Polya,1887~1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学启发...

波利亚的怎样解题表

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波利亚解题表

波利亚解题表_教育学_高等教育_教育专区。波利亚怎样解题表 ?怎样解题表 ?? 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其...

波利亚与《怎样解题》表

波​利​亚​与​《​怎​样​解​题​》​表波利亚与《怎样解题》表乔治· 波利亚(George Polya,1887-1985)美籍匈牙利数学家。先后在布达佩斯...

波利亚教我们怎样解题

波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么?怎样联想?让我们看一看 他在表中所提出的建议和启发性问题吧。 “你以前见过它吗?你是否见过相同的问题...

波利亚《怎样解题》读后感

波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的 开始” , “当你有目的地向自己提出问题时,它就变成你自己的问题了” , “怎 样解题表”是《怎样解题》一书的...

波利亚“怎样解题表”在高等数学教学中的运用

可以说,波利亚的 “怎样解题表” 给 我们提供了进行解题训练的典范,它较好地反映了解题过程中的一些心理机制, 从而为我们的数学教育教学提供了一些有益的启示.[1...

波利亚-怎样解题-数学

波利亚-怎样解题-数学_教学研究_教育专区。第一部分 在教室中目的 1.帮助学生...前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和 建议;它们对于那些能独立...

罗增儒、罗新兵具体解释波利亚名著《怎样解题》

2?怎样解题表 ??波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对 “问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”...