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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】2.1.2演绎推理

时间:2013-11-12


2.1.2

2.1.2
【学习要求】 1.理解演绎推理的意义.
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演绎推理

2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简 单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. 【学法指导】 演绎推理是数学证明的主要工具,其一般模式是三段 论.学习中要挖掘证明过程

包含的推理思路,明确演绎 推理的基本过程.

填一填· 知识要点、记下疑难点

2.1.2

1.演绎推理:由概念的定义或一些真命题,依照_______ 一定的
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逻辑规则 __________得到 正确结论 的过程, 通常叫做演绎推理.
2.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论 必然为真 . 3.演绎推理经常使用三段论推理,三段论一般可表示: ________________;所以,S 是 P. M是P,S是M

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2.1.2

探究点一
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演绎推理与三段论

问题 1 分析下面几个推理,找出它们的共同点. (1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电; (2)一切奇数都不能被 2 整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1) 不能被 2 整除; (3)三角函数都是周期函数,正切函数是三角函数,因此正切函 数是周期函数; (4)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A 与∠B 是两条平行 直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180° .

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2.1.2

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问题中的推理都是从一般性的原理出发, 推出某个特殊

情况下的结论.

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2.1.2

问题 2 演绎推理有什么特点?

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演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的

前提是一般性原理, 结论是蕴含于前提之中的个别、 特殊事实.

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2.1.2

问题 3
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演绎推理的结论一定正确吗?



在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只

要前提是真实的, 推理形式是正确的, 结论必定是正确的.

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2.1.2

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问题 4 演绎推理一般是怎样的模式?
答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊 情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

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例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形, 所以菱形的对角线互相平分;
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(2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形 的底角,则∠A=∠B; (3)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.
解 (1)平行四边形的对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形的对角线互相平分.结论

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2.1.2

(2)等腰三角形的两底角相等,大前提 ∠A,∠B 是等腰三角形的底角,小前提 ∠A=∠B.结论

(3)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}
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为等差数列,大前提 通项公式为 an=2n+3 时,若 n≥2, 则 an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提 通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.结论

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2.1.2

小结 用三段论写推理过程时, 关键是明确大、 小前提, 三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指 出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原
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理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚 至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前提时,可 找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

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2.1.2

跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式: (1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5,所以△ABC 是 直角三角形;
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(2)函数 y=2x+5 的图象是一条直线; (3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是 直角三角形,大前提
△ABC 三边的长依次为 3,4,5,而 32+42=52,小前提 △ABC 是直角三角形.结论

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2.1.2

(2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,大前提 函数 y=2x+5 是一次函数,小前提 函数 y=2x+5 的图象是一条直线.结论
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(3)三角函数是周期函数,大前提 y=sin x(x∈R)是三角函数,小前提 y=sin x(x∈R)是周期函数.结论

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探究点二 例2

三段论的错误探究 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:

(1)整数是自然数, -3 是整数,
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-3 是自然数. (2)常函数的导函数为 0, 函数 f(x)的导函数为 0, f(x)为常函数. (3)无限不循环小数是无理数, 1 (0.333 33?)是无限不循环小数, 3 1 是无理数. 3

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2.1.2



(1)结论是错误的,原因是大前提错误.自然数是非负整数.

(2)结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性
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原理中结论为“导函数为 0”, 因此演绎推理的结论也应为“导 函数为 0”.
1 (3)结论是错误的,原因是小前提错误.3(0.333 33?)是循环小数 而不是无限不循环小数.

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2.1.2

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小结 演绎推理的结论是否正确, 取决于该推理的大前 提、小前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理 中的错因实质就是判断大前提、 小前提和推理形式是否 正确.

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跟踪训练 2 原因:

指出下列推理中的错误,并分析产生错误的 大前提 小前提 结论 小前提 结论

(1)因为中国的大学分布在中国各地,
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北京大学是中国的大学, 所以北京大学分布在中国各地. 而菱形是所有边长都相等的凸多边形, 所以菱形是正多边形.

(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形, 大前提

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2.1.2


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(1)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大

学”, 它表示中国的各所大学, 而小前提中 M 虽然也 是“中国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者 是两个不同的概念,故推理形式错误.
(2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长 都相等,内角也都相等的凸多边形才是正多边形.

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2.1.2

探究点三 例 3

三段论的应用

如图,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,

BE⊥AC,D,E 是垂足,求证:AB 的中点 M 到 点 D,E 的距离相等.
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证明

(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三

角形,大前提
在△ABD 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° ,小前提

所以△ABD 是直角三角形.结论

同理,△AEB 也是直角三角形.

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2.1.2

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线,小前提 1 所以 DM= AB.结论 2 1 同理 EM= AB.所以 DM=EM. 2 小结 应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内
在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质 (大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才 能得出正确的结论.如果大前提是显然的,则可以省略.

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2.1.2

跟踪训练 3 已知:在空间四边形 ABCD 中, 点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,如图所示, 求证:EF∥平面 BCD.
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证明

三角形的中位线平行于底边,大前提

点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,小前提
所以 EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此 平面平行,大前提 EF?平面 BCD,BD?平面 BCD,EF∥BD,小前提
EF∥平面 BCD.结论

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2.1.2

1.下面几种推理过程是演绎推理的是
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(

)

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 1 ? 1? ? D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2), ? 2? n-1? 由此归纳出{an}的通项公式

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2.1.2

解析 推理.
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A 是演绎推理,B、D 是归纳推理,C 是类比

答案

A

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2.1.2
3

2.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),又 y= log 1 x 是对数函数(小前提), 所以 y= 下列说法正确的是 A.大前提错误导致结论错误
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log 1 x
3

是增函数(结论). ” ( A )

B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误

解析 y=logax 是增函数错误.故大前提错.

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2.1.2

3.推理:“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边
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形,③所以三角形不是矩形.”中的小前提是 ( B ) A.① B.② C.③ D.①②

解析 三段论推理中小前提是指研究的特殊情况.

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2.1.2

4.把“函数 y=x2+x+1 的图象是一条抛物线”恢复成 三段论,则大前提:____________; 小前提:____________;
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结论:____________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 是二次函数 函数 y=x2+x+1 函数 y=x2+x+1 的图象是一条抛物线

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2.1.2

1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的
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推理方法;只要前提和推理形式正确,通过演绎推理 得到的结论一定正确. 2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推 理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的 大前提.


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