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高一数学抽象函数常见题型解法综述


抽象函数常见题型解法综述
赵春祥 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见 题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。
2 2 解: f ( x 2 ) 的

定义域是[1,2],是指 1 ? x ? 2 ,所以 f ( x 2 ) 中的 x 满足 1 ? x ? 4

从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析: 一般地, 已知函数 f (? ( x)) 的定义域是 A, 求f (x) 的定义域问题, 相当于已知 f (? ( x)) 中 x 的取值范围为 A,据此求 ? ( x) 的值域问题。

,2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。 例 2. 已知函数 f ( x) 的定义域是 [?1
2

,2] , 意 思 是 凡 被 f 作 用 的 对 象 都 在 [?1,2] 中 , 由 此 可 得 解 : f ( x) 的 定 义 域 是 [?1

1 1 11 ? 1 ? log 1 (3 ? x) ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? x ? ( ) ?1 ? 1 ? x ? 2 2 4 2
所以函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域是 [1,
2

11 ] 4

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 f (? ( x)) 的定义域。 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。 这类问题实质上相当于已知 ? ( x) 的 值域 B,且 B ? A ,据此求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。 二、求值问题

? 例 3. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ),同时满足下列条件:① f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 ;② 5

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 f(3),f(9)的值。
解:取 x ? 2,y ? 3 ,得 f (6) ? f (2) ? f (3) 因为 f ( 2) ? 1,f (6) ? 又取 x ? y ? 3 得 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ?

1 4 ,所以 f (3) ? ? 5 5

8 5

评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 x ? 2,y ? 3 ,这样便把已知条件

f (2) ? 1,f (6) ?
三、值域问题

1 与欲求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 5

例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立, 且存在 x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。
2 解:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)] ,即有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。

若 f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 ,对任意 x ? R 均成立,这与存在实数

x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。
由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意 x、y ? R 均成立,因此,对任意 x ? R ,有

x x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )] 2 ? 0 2 2 2 2 2
下面来证明,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (0) ? f ( x0 ? x0 ) ? f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0

这与上面已证的 f (0) ? 0 矛盾,因此,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 所以 f ( x) ? 0 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转 化的必要手段。 四、解析式问题

例 5. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x, 函数 f ( x) 满足 的解析式。 解:在 f ( x) ? f (

f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x , 求f (x)

x ?1 ) ? 1? x x

(1) 中以 (2)

x ?1 代换其中 x,得: x

f(

x ?1 1 2x ? 1 ) ? f (? )? x x ?1 x 1 代换 x,得 x ?1 (3)

再在(1)中以 ?

f (?

1 x?2 ) ? f ( x) ? x ?1 x ?1

(1) ? (2) ? (3) 化简得: f ( x) ?

x3 ? x2 ?1 2 x( x ? 1)

评析:如果把 x 和

x ?1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关 x

键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这 种转化的重要策略。 五、单调性问题 例 6. 设 f ( x )定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x 、 y ,有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( x) 在 R 上为增函数。
2 证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]

若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0,y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾

所以 f (0) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0,f (? x) ? 1 ? 0 而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1

所以 f ( x) ?

1 ?0 f ( ? x)

又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0 所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x 2 ? x1 ? 0,f ( x 2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及 数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例 7. 已 知 函 数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数 x1、x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函数 f(x)的奇偶性。
解:取 x1 ? ?1 ,x2 ? 1 得: f (?1) ? f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x1 ? x2 ? ?1 得: f (1) ? f (?1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 0 再取 x1 ? x,x2 ? ?1则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) 因为 f ( x) 为非零函数,所以 f ( x) 为偶函数。

七、对称性问题 例 8. 已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f
?1

( x) ? f ?1 (2002? x) 的值。

解 : 已知式即在对称关系式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 中取 a ? 0,b ? 2002 ,所以函 数

y ? f ( x) 的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 y ? f ?1 ( x) 的
图象关于点(2002,0)对称。 所以 f
?1

( x ? 1001 ) ? f ?1 (1001? x) ? 0
?1

将上式中的 x 用 x ? 1001 代换,得 f

( x) ? f ?1 (2002? x) ? 0

评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为 常数,函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ,则函数 y ? f ( x) 的图象关 于点(a,b)成中心对称图形。 八、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且 当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)},
2 2

B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ,a ? R} ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
,n ? 0 ,得 f (1) ? f (1) ? f (0) ,因为 解:( 1 )在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? 1

f (1) ? 0 ,所以 f (0) ? 1 。
在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x,n ? ?x 因为当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 所以当 x ? 0 时 ? x ? 0,0 ? f (? x) ? 1

而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1

所以 f ( x) ?

1 ?1? 0 f ( ? x)

又当 x=0 时, f (0) ? 1 ? 0 ,所以,综上可知,对于任意 x ? R ,均有 f ( x) ? 0 。 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x2 ? x1 ? 0, 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为减函数。 (2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) 即有 x 2 ? y 2 ? 1 又 f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ? f (0) ,根据函数的单调性,有 ax ? y ? 2 ? 0 由 A ? B ? ? , 所 以 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 圆 面 x 2 ? y 2 ? 1 无 公 共 点 。 因 此 有

2 a ?1
2

? 1 ,解得 ? 1 ? a ? 1 。

评析: (1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想, 联想类比思维都有助于问题的思考和解决。


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