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数学:1.2《导数的计算》PPT课件(新人教A版-选修2-2)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-2

1.2《导数的计算》

教学目标
? 熟练运用导数的四则运算法则,并能灵活运

用 ? 教学重点:熟练运用导数的四则运算法则 ? 教学难点:商的导数的运用

一、复习目标
了解导数概念的实际背景

、理解导数的几何意义、掌握函 数y=xn(n?N*)的导数公式、会求多项式函数的导数.

二、重点解析
无限逼近的极限思想是建立导数概念, 用导数定义求函数 的导数的基本思想. f(x+?x)-f(x) 导数的定义: f?(x)=lim . ?x?0 ?x ?y 利用定义求导数的步骤: (1)求 ?y; (2)求 ?x ; ?y (3)取极限得 f?(x)=lim ?x . ?x?0 导数的几何意义是曲线的切线的斜率, 导数的物理意义是 某时刻的瞬时速度.

三、知识要点

1.导数的概念 对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 ?x, 那么函数 ?y y 相应的有增量 ?y=f(x0+?x)-f(x0), 比值 ?x 叫做函数 y=f(x) 在 ?y f(x0+?x)-f(x0) x0 到 x0+?x 之间的平均变化率, 即 . ?x = ?x ?y 如果当 ?x?0 时, 有极限, 就说函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, ?x 并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作: f(x0+?x)-f(x0) ?y . f?(x0) 或 y? | x=x0, 即: f?(x0)=lim ?x =lim ?x?0 ?x?0 ?x 2.导数的意义 (1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan?=f?(x0). (2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s?(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s?(t0).

3.几种常见函数的导数
(1)c?=0(c 为常数), (xn)?=nxn-1(n?Q); 4.如果 f(x), g(x) 有导数, 那么: [f(x)+g(x)]?=f?(x)+g?(x), [f(x)-g(x)]?=f?(x)-g?(x), [cf(x)]?=cf?(x).

典型例题 1
求下列函数的导数: (1)y=3x(x2+2); (2)y=(2+x3)2; (3)y=(x-1)(2x2+1); (4)y=(2x2+3)(3x-2). 解: (1)∵y=3x3+6x, ∴y?=(3x3)?+(6x)? =9x2+6. (2)∵y=4+4x3+x6, ∴y?=4?+(4x3)?+(x6)? =12x2+6x5. (3)∵y=2x3-2x2+x-1, ∴y?=6x2-4x+1. (4)∵y=6x3-4x2+9x-6, ∴y?=18x2-8x+9.

典型例题 2
已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集. 解: ∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)

=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).

典型例题 3
已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相 切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= x , ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y?=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 2-3x =0. 解得 x = 3 (∵x ?0). 整理得 2x0 0 2 0 0 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 3 , - 3 ). 8 4 2 注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在 的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题.
0

典型例题 4
求曲线 y=2- 1 x2 与 y= 1 x3-2 的交点处切线的夹角(用弧度数 2 4 作答). 解: 由 y=2- 1 x2 与 y= 1 x3-2联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 2 4 1 x2 的导函数为 y=-x, ∵y=2- 2 ∴它在 P 处的切线斜率 k1=-2, 1 3 同理, 曲线 y= 4 x -2 在 P 处的切线斜率 k2=3, k2-k1 由夹角公式 tan?=| 1+k k |=1 得 ?= ? . 4 2 1 故两曲线的交点处切线的夹角为 4 .

?

典型例题 5
求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y?=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y? | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1),
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1.

而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.

课后练习 1
求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-2); (2)y=(x-1)(x3+2x+6). 解: (1)∵y=x3-2x2+x-2, ∴y?=(x3)?-(2x2)?+(x)?-2? =3x2-4x+1. (2)∵y=x4-x3+2x2+4x-6, ∴y?=(x4)?-(x3)?+(2x2)?+(4x)?-6? =4x3-3x2+4x+4. 课后练习 2 一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单 位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, 2.01] 这段时间内质点的平 均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度. 解: (1)∵?S=3?2.012+2.01+1-(3?22+2+1) =0.1303. ?S ∴v= ?t = 0.1303 =13.03(m/s). 0.01 (2)∵v=S?=6t+1. ∴v | t=2=13.
即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s.

课后练习 3
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式. 解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.

课后练习 4
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点 坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4.

又切线在 x0 处斜率为 y? | x=x0=(x3+x-10)? | x=x0=3x02+1.
∴3x02+1=4. ∴x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

课后练习 5
已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切线方程; (2)证明: S 关于切点对称. (1)解: 由已知 y?=3x2-12x-1, ∴当 x=2 时, y? 最小, 最小值为 -13. ∴S 上斜率最小的切线的斜率为 -13, 切点为 (2, -12). ∴切线方程为 y+12=-13(x-2), 即 13x+y-14=0. (2)证: 设 (x0, y0)?S, (x, y) 是 (x0, y0) 关于 (2, -12) 的对称点, 则 x0=4-x, y0=-24-y. ∵(x0, y0)?S, ∴-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x )+6. 整理得 y=x3-6x2-x+6. ∴(x, y)?S. ∴曲线 S 关于切点 (2, -12) 对称.

课后练习 6
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8.

∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.

课后练习 7
设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线 在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式. 解: 由已知, P 点的坐标为(0, d). ∵曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0, ∴12?0-d-4=0. 解得: d=-4. 又切线斜率 k=12, 故函数在 x=0 处的导数 y?|x=0=12. 而 y?=3ax2+2bx+c, y?|x=0=c, ∴c=12. ∵函数在 x=2 处取得极值 0, ∴y?|x=2=0 且当 x=2 时, y=0. 12a+4b+12=0, 故有 8a+4b+20=0. 解得 a=2, b=-9. ∴y=2x3-9x2+12x-4.

已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的 单调性. 解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴2?23+2a=0. ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8. ∴f?(2)=6?22-8=16. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. ∴F?(x)=6x2+8x-8. 由 F?(x)>0 得 x<-2 或 x> 2 ; 3 2 由 F?(x)<0 得 -2<x< 3 . ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、 (-2, 2 ) 和 ( 2 , +∞), 并且 F(x) 在 (-2, 2 ) 上是减函数, 在 3 3 3 (-∞, -2) 上是增函数, 在 ( 2 , +∞)上也是增函数. 3

课后练习 8


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