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山东省郓城一中2016届高三上学期第一次月考数学理试题

时间:2016-07-20


郓城一中高三第一次阶段性考试 数学(理)试题
2015/10

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ??2, ?1,0,1,2,3?, M ? ?0,1,2?, N ? ?0,1,2,3?, 则?CU M ? ? N = ( A. ?0, 1, 2

? B. ??2, ?13 , ?
0.2 1

)

C. ?0, 3? )

D. ?3?

?1? 2. 设 a ? log1 3, b ? ? ? ,c ? 2 3 ,则( ? 3? 2
A. a ? b ? c 3..下列说法正确的是 B. b ? a ? c ( )

C. b ? c ? a

D. c ? b ? a

A.命题“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ” B.若命题 p : ?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0 ,则命题 ?p : ?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0 C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 D. ?x ? 0, 2x ? 3x 4. 函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 A. [0, ??) B. [0, 4] ( ) C. [0, 4) D. (0, 4)

a 5.设 a,b ? R,那么“ >1 ”是“ a >b >0 ”的( b

)

A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

6 设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , ( f (t )) 处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t) 的部分图像为( )

1 ( ? 1, ? ?) 7. 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2) 在 上是减函数,则 b 的取值范围是( 2

)

A. ?? 1, ? ??

( ? 1, ? ?) B.

(? ?, ? 1] C.

( ? ?, ?1 ) D.

8. 已知函数 f(x)=sin x+ex+x2 010,令 f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x) =f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),则 f2 011(x)等于 ( ) x x A.sin x+e B.cos x+e x C.-sin x+e D.-cos x+ex 2 9.函数 f ? x ? ? 2 x ? ? a 的一个零点在区间 ?1, 2 ? 内,则实数 a 的取值范围是( ) x
A. ?1,3? B. ?1, 2 ? C. ? 0,3? D. ? 0, 2 ?

10. 用数学归纳法证明 :“(n +1)·(n + 2)·?·(n + n) = 2n·1·3·?·(2n - 1)”,从“k 到 k+1”左端需增乘的代数式为 ( ) A.2k+1
C. 2k+1 k+1

B.2(2k+1)
D. 2k+3 k+1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11 仔细观察下面○和●的排列规律: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●?? 若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和●中,●的个 数是________. 12. 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B ={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 13. 不等式 ln(-x)+ x 2 ? 1 >0 解集是 .

14. 若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 ?x(1-x),0≤x≤1, ?29? ?41? f(x)=? 则 f? ?+f? ?=______. ?4? ?6? ?sin π x,1<x≤2, 15 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图像如图所示,给出关于 f ? x ? 的下列命题:

①函数 y ? f ? x ? 在x ? 2 时,取极小值 ②函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 是减函数,在 ?1, 2? 是增函数, ③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点 ④如果当 x ? ? ?1, t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0,其中所有正确 命题序号为_________. 三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 设不等式 x ? 1 ? 3 的解集为 A,函数 g(x)=
2 2

3

x

-1的定义域为集合 B.

已知 α :x∈A∩B,β :x 满足 2x+p≤0.且 α 是 β 的充分不必要条件, 求实数 p 的取值范围. 17.(本小题满分 12 分) 记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集为(1,3) , 试解关于 t 的不等式 f (2t ? 8) ? f (2 ? 22t ) . 18. (本小题满分 12 分) ?a+mb? ? 已知 m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ?
2

a2+mb2 ≤ . 1+m

19. (本小题满分 12 分)
x 已知 f(x)=m + loga (a ? 0, a ? 1)的图像过点(8,2)、(1,-1)

(1).求 f(x)的解析式 2).令 g(x)=f( x 2 )-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值

20.(本小题满分 13 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x -anx-an=0 有一根为 Sn-1,
2

n=1,2,3,?.

(1)求 a1,a2; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=axlnx 图像上点 (e,f(e)) 处的切线与直线 y=2x 平行 ( 其中 e=

2.71828),g(x)=x -bx-2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x ? ?0, e?,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 b 的取值范围.

2

郓城一中高三第一次考试数学(理)参考答案
一 D D CC B 二 11. 14 12. 18 B C D C B 13. ? —?,—1? 14. 5 16 15.①③④

16.解: 依题意, x ?

1 3 1 3 ? 或x ? <- 得 A=(-∞,-1)∪(2,+∞), 2 2 2 2

B=?x? -1≥0 ? ?x

? ?3

? ?=(0,3],∴A∩B=(2,3]. ?

设集合 C={x|2x+p≤0},

p? ? 则 x∈?-∞,- ?. 2? ?

∵α 是 β 的充分不必要条件,∴(A∩B)?C. 则需满足 3 ? - ?p ? -6. 2

p

∴实数 p 的取值范围是(-∞,-6

?.

17.解:由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是减函数.??????????4 分 又因为 8 ? 2t ? 8,2 ? 22t ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (2t ? 8) ? f (2 ? 22t ) 等价于 8 ? 2t ? 2 ? 22t ? 即 | 22t ? 2t ? 6 ? 0
2

????????10 分

故 2t ? 3 即不等的解集为: t ? log 3 .????????12 分 18.证明: ∵m>0,∴1+m>0.

所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证.

19.解: (1)

?

f (8) ? 2 f (1) ??1

得m=-1,a=2 ? f ( x) ? ?1 ? log 2 x
x
2

(2)g(x)=-1+ log 2 令 h(x)=
x2 x ?1

(x-1) +1- log2 = log 2

x2 x ?1

(x>1)

=

( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?4 x-1 x ?1 x ?1
1 x ?1

所以当且仅当 x-1= 即 x=2 时 20. 解:

g(x) min =log 2 4=2
2

(1)当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1? 1? 1 ? ? 于是?a2- ?2-a2?a2- ?-a2=0,解得 a2= . 2? 2? 6 ? ? 2 (2)由题设(Sn-1) -an(Sn-1)-an=0, 2 即 Sn-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0. ① 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3= .由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立. (ⅱ)假设 n=k (k∈N*)时结论成立, 即 Sk=

k k+1

, 1 , 2-Sk

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 即 Sk+1=

k+1 ,故 n=k+1 时结论也成立. k+2 n 综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. n+1
21.解:(Ⅰ)由点 即 处的切线方程与直线 平行,得该切线斜率为 2,



所以

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,显然



所以函数

上单调递减.当





所以函数

上单调递增,

7分



② 因此

时,函数

上单调递增,

所以 (Ⅲ)对一切

10 分 恒成立,又





则 单调递增, 单调递减, 单调递增,



所以 因为对一切 恒成立,

故实数 的取值范围为

14 分


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