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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十二节空间直角坐标系 理


第十二节 直线与圆锥曲线的位置关系 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想. 知识梳理 一、直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l 的方程为 g(x , y) = 0 ,圆锥曲线 C 的方程为 f(x , y) = 0 ,联立方程组 ?g x,y =0, ? ? 消去其中一个变量如

y,得到关于 x 的二次方程 t(x)=0(一般为二次 ? ?f x,y =0, 方程),设其判别式为 Δ ,则有 1.相交: (1)Δ >0?直线与椭圆相交; (2)Δ >0? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 Δ >0,当直线与双曲线的 渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 Δ >0 是直线与双曲线相交的充分条 件,但不是必要条件; (3)Δ >0? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 Δ >0,当直线与抛物线的 对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 Δ >0 也仅是直线与抛物线相交的充 分条件,但不是必要条件. 2.相切:Δ =0?直线与椭圆相切;Δ =0?直线与双曲线相切;Δ =0?直线与抛物线 相切; 3.相离:Δ <0?直线与椭圆相离;Δ <0?直线与双曲线相离;Δ <0?直线与抛物线相 离. 特别注意:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直 线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1 外一点 P(x0, y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: ① a b 点 P 在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲 线两支相切的两条切线,共四条;②点 P 在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两 条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线, 共四条; ③点 P 在两条渐近线上 但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④点 P 为原点时不存 在这样的直线. (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行 于对称轴的直线. 二、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1.以过焦点的弦为直径的圆和准线相切. 2.设 AB 为焦点弦,M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF. 3. 设 AB 为焦点弦, A, B 在准线上的射影分别为 A1 , B1 , 若 P 为 A1 B1 的中点, 则 PA⊥PB. 4.若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线 第 1 页 共 5 页 交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线. 三、弦长公式 若直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点 A,B,且 x1,x2 分别为 A,B 的横坐标,则|AB| 1 2 = 1+k |x1-x2|;若 y1,y2 分别为 A,B 的纵坐标,则|AB|= 1+ 2|y1-y2|;若弦 AB k 所在直线方程设为 x=ky+b,则|AB|= 1+k |y1-y2|.特别地,焦点弦(过焦点的弦)的弦 长的计算, 一般不用弦长公式计算, 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后, 利用定义求解. 四、圆锥曲线的中点弦问题 2 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2+ 2=1 中,以 P(x0,

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