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高中数学 1.2.3直线和平面所成角课件 苏教版必修2


直 线 和 平 面 所 成 的 角 ? 平面的一条斜线和 它在这个平面内的射影 ? 所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的 角。 一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角。 直线和平面所成角的范围是[0?,90?]。 D1 A 1 B1 C1 练 习 C D 1 A B 如图,正方体ABCD—A

1B1C1D1中,分别指 出对角线A1C与六个面所成的角. A l l是平面? 的斜线,A是l 上任意一点,AB是平面 ? 的垂线,B是垂足, OB是斜线l的射影,θ是 斜线l与平面? 所成的角. O ? C ? B D θ与∠AOD的大小关系如何? A l θ与∠AOD的大小关系如何? 在Rt△AOB中, O ? C B D ? AB sin? ? AO 在Rt △AOC中, 最小角原理 斜线和平面所成 的角,是这条斜线和 平面内任意的直线所 成的一切角中最小的 角。 AC sin ?AOD ? AO ∵AB<AC, ∴sinθ<sin∠AOD ∴θ<∠AOD 例题 . 如图,在Rt△ ABC中,已知 例 1 ∠C=90?,AC=BC=1,PA⊥平面ABC,且 PA= 2 ,求PB与平面PAC所成的角. P A C B 解:PA ⊥平面ABC ? BC ⊥平面PAC PA ? 平面ABC 又AC ⊥BC PA ? AC=A ? PB与平面PAC所角为∠BPC ? ? AC=1, PA= 2 PC= 3 3 3 ? BC ⊥平面PAC P 2 又BC=1,tan ∠BPC= ? ∠BPC=30? 即BP与平面PAC所成的角为30? . A 1 B 1 C .如图,AO是平面π的 斜线,AB ⊥平面π于B例 ,2 OD是π内不与OB重合的直 线,∠AOB=? ,∠BOD= ? ,∠AOD=? ,求证:cos ? ? =cops ? cos ? A O ? ? C B D 证明:设A在平面π内的射影为B,则B必在OB 上,过A作AC⊥OD于C,连结BC,易得BC⊥OC. cos ? = ? OB OA cos ?= cos ? cos ? = OC OB OB OA cos ? OC OB OC ?= OA OC ? = OA cos ? .线段MN长6厘米,M到平面β的距离是1厘米, 例3 MN与平面β所成角的 N到平面β的距离是4厘米,求 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4 N N . 如图,已知Rt△ ABC的斜边BC在平面 例 4 ?所成的角分别为 ?内,两直角边AB.AC 和平面 45?和 30?,求斜边BC上的高AD和平面?所成的 角. A O ? B D D C 练习 1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ? (不一定) 2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗? (相等) 3. AO与平面?斜交,O为斜足,AO与平面?成?角, B是A在?上的射影,OD是?内的直线,∠BOD=30?, ∠AOD=60?,则sin ? = 。 6 3 A 4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍, 求斜线和平面β所成的 角。 ( 60? ) B β O 如图,斜线段AB是其射影OB的

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