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数列 Microsoft Word 文档


数列的概念 一、填空题 1、写出下列数列的一个通项公式:

1)1,?2,3,?4,5,?6,?

an ? an ? an ? an ? an ? an ?

2 3 4 5 2) ? 1, ,? , ,? ? 3 5 7 9 4 1 4 2 3) , , , ? 5 2 11 7
4)1, 2 , 3 ,2

, 5 ?

5)9,99,999,9999,? 6)0.7,0.77,0.777,0.7777,?

2、在数列 ?an ?中已知 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 1 ,则 a4 ? 3、数列 ?an ?的通项公式为 an ?

1 log 2 ?n ? 2 ??n ? 10 ? ,则 a6 ? 3
项,数列 n ? 9n ? 1 的最小项是该
2

4、数列 n ? 8n ? 1 的最小项是该数列的第
2

?

?

?

?

数列的第


*
2

5、数列 ?an ?中, a1 ? 2 ,对所有 n ? 2 且 n ? N 都有 a1a2 a3 ? an ? n ,则 a3 ? a4 ? 6、若数列 ?an ?前 n 项和为 sn ? 二、简答题 7、已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? n ? 8n ? 5 ,则
2

2n ? 1 ,则 a8 ? n

1)70 是这个数列中的项吗?如果是,是第几项? 2)列表给出这个数列的前 5 项,并作出前 5 项的图像 3)这个数列所有项中有没有最小项?若果有,是第几项?

8、在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项 9、设 f (n) =1+

1 1 1 + +…+ (n ? N * ) ,求 f (n ? 1) ? f (n) 2 3n ? 1 3

10、已知数列 ?an ?前 n 项和为 sn ? n ? n ? 1 ,求该数列的通项公式
2

等差数列 1.等差数列的有关公式,设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , ⑴ 通 项 公 式 : a n ? a1 ? ; ⑵ 通项公式推广:

an ? am ?

. ( 3 ) 若 ?an ? 为 等 差 数 列 , 且 m ? n ? p ? q
?

?m, n, p, q ? N ? ,则 a


m

, an , a p , aq , 之间的等量关系为

.特别地,

时, am ? an ? 2a p . .
?

2.已知 a ,1, 2 成等差,则 a ?

3.已知数列 ?an ? , a1 =1, an?1 ? an ? 2 , n ? N ,则 an =____ 4.已知 a1 , a2 , a3 ,?, an , an?1 ,?, a2n 是公差为 d 的等差数列,则 ⑴ a2 , a4 , a6 ,?, a2n 是公差为 ⑵ 的等差数列; 的等差数列. ;a15 ?



?kan ? b?是公差为

5. 在等差数列 ?an ? 中, 已知 a3 ? 10, a9 ? 28 , 则 a12 ?



6.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 那么 a3 ? ______. 7.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 =

1 , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,则 n ? ________. 3
,b ? ,c ? . .

8、⑴ 已知 a , b ,﹣10, c ,﹣20 成等差,则 a ? ⑵ 等差数列 ?an ? 中,已知 d ? ? ⑶ 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 3,

1 , a7 ? 8 ,则 a n ? 3

1 1 ? ? 5, n ? N ? ,则 an ? an ?1 an
. . . .



⑷ 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 的值为 9.已知等差数列 ?an` ? 满足 a5 ? ?1 , d ? 4 ,则 a n ? 10.在等差数列 ?an` ? 中, a 2 ? 2 , a3 ? 4 ,则 a10 ? 11.在等差数列 ?an` ? 中, a1 ? a6 ? 12 , a 4 ? 7 ,则 a3 ? 12.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ?

? a7 =



1.等差数列的前 n 项和公式

Sn ?

=



2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和

?S ? (1)数列 ? n ? 是 ?n?

数列;

(2)数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,



___数列; . . .

3.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a50 ? 101,则 S 50 ? 4.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 5 , a9 ? 24 ,则 S n ? 5.已知等差数列 ?an ? 中,若 a9 ? 20 ,则 S17 ? 【例 1】填空题: ⑴ 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 100 , d ? ?2 ,则 S 50 ? ⑵ 在等差数列 ?an ? 中, S n ? 5n 2 ? 3n ,则 a n ? ⑶ 在等差数列 ?an ? 中, a4 ? a14 ? 2 ,则 S17 ? 变:① 已知 a9 ? 17 ,则 S17 ? . .



;② 已知 S17 ? 17 ,则 a9 ?

⑷ 等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则该数列的前 3m 项和为 【例 2】在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 1 , a5 ? ?5 . ⑴ 求 ?an ? 的通项公式 an ;⑵ 求 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最大值.

等比数列 1 、 如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a, G , b 成 等 比 数 列 , 那 么 G 叫 做 a 与 b 的 .

2.等比数列的有关公式,设等比数列 ?a n ? 的公比为 q , ⑴ 通项公式: a n ? a1 ? 3.等比数列的常用性质 ⑴ 若 ?an ? 为等比数列,且 m ? n ? s ? t 系为 ⑵ 通项公式推广: an ? am ? .

?m, n, s, t ? N ?,则 a
?

m

, an , as , at , 之间的等量关


.特别地,当 m ? n ? 2 s 时, . . .

4.如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么 b ? 5.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , q ? ?2 ,则 a6 ? 6.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 20 , a6 ? 160,则 an =

7.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 2 , a ? 2 , a ? 8 ,则 an = 8.已知等比数列 ?an ? 中, a1a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,则 an = 二、课堂活动: 【例 1】填空题: ⑴ 等比数列 ?an ? 中, a5 ? 4 , a7 ? 6 ,则 a9 ? ⑵ 等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 2 ? 30 , a3 ? a4 ? 60 ,则 a7 ? a8 ? . .

5.已 .

⑶ 在 243 和 3 中 间 插 入 3 个 数 , 使 这 5 个 数 成 等 比 数 列 , 则 这 三 个 数 分 别 为 . ⑷ 等 比 数 列

?an ?

中 ,

a1 ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 , 则

a3 ? a5 ?
an?2 ? a n ? a n ?1 ? n ? N ? ?. 2

. 【 例 2 】 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,

求证: ?an?1 ? an ?是等比数列.

1.等比数列的前 n 项和公式 当 q ? 1 时, Sn ? ;当 q ? 1 时 Sn ? = .

2.等比数列的前 n 项和的性质 公比不为 ?1 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 则 Sm , S 2 m ? S m , S 3 3.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?4 , q ?
m

…仍成比数列. ?2S m , . . .

1 ,则 S10 ? 2

4.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a k ? 243, q ? 3 ,则 S k ?

7 63 , S6 ? ,则 a n ? 2 2 1 31 6.在等比数列 ?an ? 中, q ? , S 5 ? ? ,则 a1 ? 2 8
5.在等比数列 ?an ? 中, S 3 ?

; an ?

. .

7.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,数列 ?an ? 为等比数列,则实数 a 的值为 8.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? 3 ,则满足 Sn ? 1000 的 n 的最小值是 【例 1】填空题: ⑴ 已知 a1 ? 2 , S 3 ? 26 ,则 q ? ; an ? . .

⑵ 在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 0 ,已知 a2 ? 1 , an?2 ? an?1 ? 6an ,则 S 4 ?

1.等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 2.常见的裂项公式有: 3.(1)

或 推导方法:

推导方法:

1 ? n(n ? 1)

(2)

1 ? n ( n ? 2)

(3)

1 n ? n ?1

?

3.求和: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 4.求和: 1 ? 2 ? 2 ? ? 2
2 100

?

5.数列

1 1 1 , ,? ? ?, ? 的前 n 项和为 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1
1 2 1 1 1 ,3 ,? n ? n ,? 的前 n 项和为 4 8 2

5.数列 1 ,2

6.已知函数 f ? x ? ?

2x ,则 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2x ? 2
9 ? ?8 ? ? ?f ? ? ?f ? = ? ?1 0 ? ?1 0 ?



?1 ? ?2 ? f ? ?? f ? ? ? ?1 0 ? ?1 0 ?

,5555 ,? 的前 n 项和为 7. 5,55,555
8、 (1)数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 an ? 到引用源。等于 (2) 12 ? 22 ? 33 ? 42 ?

1 错误!未找到引用源。 ,则 S5 错误!未找 n(n ? 1)

? (?1)n?1 n2 的值为 ,(1 ? 2 ? 22 ? ? 2n?1 ),
的前 99 项之和为

(3)数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),

(4)已知 an ? n ? 2n?1 ,则数列{an}的前 n 项和 S n ? 8.

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 ,? , n ,? 的前 n 项和为 2 2 2 2

9.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13

(1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?


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