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2010届嘉兴市高中数学(文科)基础知识测试

时间:2012-12-17


2010 届嘉兴市基础知识测试 数学试题卷(文科)
一. 选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的 ) 1.设全集 U ? {0,1,2,3,4} ,集合 A ? {0,1,2} ,集合 B ? {2,3} ,则 (C U A) ? B =( A. ? B. {1,2,3,4} C. {0

,1,2,3,4} ) C.第三象限 ) D.第四象限
.



D. {2,3,4}

2.在复平面内,复数 z ? i (1 ? 2i ) 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限

3. 下列电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的必要不充分条件的是(

4.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是 一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( )
主视图 左视图

3 A. ? 2

B. 2?

C. 3?

D. 4?

5. 函数 y ? sin(2 x ? 程可以是( )

?
3

) 的图象可由函数 y ? sin 2 x 的图象经过平移而得到,这一平移过

俯视图

A.向左平移

?
6

B.向右平移

?
6

C.向左平移

?
12

D.向右平移

?
12


6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ?

B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

7. 一个单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了解职工的某种情况, 决定采取分层抽样的方法.抽取一个容量为 10 的样本,每个管理人员被抽到的概率为( A. )

1 80

B.

1 24

C.

1 8

D.

1 4


8. 已知 a ? (

2 5 5 3 4 ,? ), b ? ( , ) ,则下列关系式正确的是( 5 5 5 5

A. a ? b

B. (a ? b) ∥ (a ? b)

C. a ? (a ? b)
1

D. (a ? b) ? (a ? b)

9.数列 ?a n ? 满足其中任何连续的两项之和为 20,并且 a 5 ? 7 ,则 a 2009 =( A.2 10. 已知 B.4 C.7 D.9



1 1 x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0), 直线 ? ? 1 与轴, 轴分别交于点 A, 则 | AB | 的最小值为 B, ( 2 a b a b
B.2 C.3 D.4



A.1

二.填空题(本大题有 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 把答案填在答题卷的相应位 置) 11. sin 300? 12. 函数 y ? (0.2) x
2

开始 .
?6 x ? 8

S=0 的单调递增区间是 . i=3 . S=S+i i=i+1 否 _ ____ . i>10? 是 输出 S 结束

13.如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为 14.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 点重合,则 p 的值为 .

x2 ? y 2 ? 1 错误!未找到引用源。的右焦 3

?1 x ? 0, ? 15.设函数 f ( x ) ? ?0 x ? 0, ,则函数 g( x) ? x 2 f ( x ? 1) ? 4 的零点是 ? ? 1 x ? 0. ?
?x ? y ? 4 ? x?1 ?

16. 已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的 ? 最大值等于____ _____.

17.称一个函数是―好函数‖当且仅当其满足: (1)定义在 R 上; (2)存在 a ? b ,使其在 ( ??, a ), (b,??) 上 单调递增,在 ( a , b ) 上单调递减.则以下函数是好函数的有 .

① y ? x ? 2 ;② y ? x x ? 2 ;③ y ? x 3 ? x ? 1 ;④ y ? x3 ? x ? 3 .

三. 解答题(本大题有 6 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 已知: B、 是 ?ABC 的内角,a , b , c 分别是其对边长, A、 C 向量 m ? ( 3 , cos A ? 1) ,n ? (sin A,?1) ,m ? n . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2, cos B ?
3 ,求 b 的值. 3

2

19. (本题满分 14 分) 已知等比数列 ?a n ? , a 2 ? 2, a 5 ? 128, (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 a n ,数列 ?bn ?的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 360 ,求 n 的值.

20.(本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? CD , PA ? 1, PD ? 2 (1)求证: PA ? 平面 ABCD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4
3 2

A B

D C

4 (1)若 f ( x ) 在 x ? 处取得极值,求实数 a 的值; 3

(2)在( 1 )的条件下,若关于 x 的方程 f ( x ) ? m 在 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,求实数 m 的取 值范围; (3)若存在 x 0 ? (0,??) ,使得不等式 f ( x 0 ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分)

3 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ( ?1,0) , F2 (1,0) ,点 M (1, ) 在椭圆 C 上,抛物线 E 以椭圆 C 的中心为顶 2
点, F2 为焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过点 F2 ,且交 y 轴于 D 点,交抛物线 E 于 A,B 两点. ①若 F1 B ? F2 B ,求 | AF2 | ? | BF2 | 的值; ②试探究:线段 AB 与 F2 D 的长度能否相等?如果 | AB |?| F2 D | ,求直线 l 的方程.

3

2010 届嘉兴市基础知识测试 数学试题卷(文科)参考答案
一.选择题 1~5: D A B A A 二.填空题 11. ? 6~10 DCDCB

3 ; 12. ( – ? ,3]; 2

13. 52;

14. 4;

15. -2;

16.

10 .

17. ②③

18.解:(1)? m ? n ,? m ? n ?

? 3, cos A ? 1?? ?sin A,?1? ?

3 sin A ? ?cos A ? 1?? ?? 1? ? 0

? 3 sin A ? cos A ? 1

……4 分 ……6 分

?? 1 ? ? sin? A ? ? ? 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ,? A ? ? , 6 6 6

……7 分

?A?

?
3

.

……8 分

(2)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

1 6 3 2 ,? sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ? 3 3 3
2?

……10 分

由正弦定理:

a b a sin B ? , ……11 分,? b ? =? sin A sin B sin A

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 . ……14 分 3 3 3 2
3

19.解答: (1)? a2 ? a1q ? 2 , a5 ? a1q4 ? 128 , ……2 分? q ? 64,? q ? 4, a1 ?

1 2

……4 分

? an ? a1q n ?1 ?

1 n ?1 ? 4 ? 2 2 n ?3 2

……7 分

(2) bn ? log2 an ? log2 22n?3 ? 2n ? 3 ,……9 分

?bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2 ,

?{bn } 是以 b1 ? ?1 为首项,2 为公差的等差数列,……11 分
? Sn ? (?1 ? 2n ? 3)n ? 360 ,? n2 ? 2n ? 360 ? 0 ,? n ? 20 或 n ? ?18 (舍去) 2
……14 分

? n ? 20

20、 (1)因为四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? 1, PD ? 2
2 2 2 所以 PD ? PA ? AD ,所以 PA ? AD

……4 分 ……8 分

又 PA ? CD , AD ? CD ? D ,所以 PA ? 平面 ABCD
4

(2)四棱锥 P ? ABCD 的底面积为 S ABCD ? 1 ,

……10 分

因为 PA ? 平面 ABCD ,所以四棱锥 P ? ABCD 的高 h 为 1,……12 分 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ? S ABCD ? h ?

1 . 3

……14 分 ……2 分

21.解: (1) f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax, 由题意得 f ?( ) ? 0, 解得 a ? 2 ,经检验满足条件. (2)由(1)知 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4, 则f ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 0, ……3 分

4 3

x?

4 (舍去)……5 分 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: x -1 (-1,0) - -1 ↘ 0 0 -4 (0,1) + ↗ -3 1

f ?(x) f (x)

……7 分 ∵关于 x 的方程 f ( x) ? m在[?1,1] 上恰有两个不同的实数根,? ?4 ? m ? ?3 (3)由题意得, f ( x) max ? 0即可 , f ( x) ? ? x ? ax ?4 ,
3 2

……9 分

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? ?3x( x ?

2 a) ……10 分 3

①若 a ? 0, 则当x ? 0时, f ?( x) ? 0, ? f ( x)在(0,??) 单调递减.

? f (0) ? ?4 ? 0 ,?当x ? 0时, f ( x) ? ?4 ? 0 ,
∴当 a ? 0时, 不存在x0 ? (0,??), 使f ( x0 ) ? 0. ②当 a>0 时 f ( x), f ?( x) 随 x 的变化情况如下表: x

2 ( 0, a ) 3
+ ↗

2 a 3
0



2 a ,+ ? ) 3
— ↘ ……13 分

f ?(x) f (x)

4a 3 ?4 27

2 4a 3 3a 3 ?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f ( a) ? ? 4. 由 ? 4 ? 0得a ? 3. 3 27 27
综上得 a>3 ……15 分
5

22.解: (1)由题意,设椭圆 C 的方程:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
……2 分

3 3 ? 2a ? (?1 ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 4 , 2 2
? a ? 2 ,又 c ? 1 ?b ? 3 ,故椭圆 C 的方程:
(2)由题意可得,抛物线 E : y 2 ? 4 x , 设 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 联立方程组, ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

……4 分

……5 分

? y ? k ( x ? 1) , 消去 y 得: k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 , ……7 分 2 ? y ? 4x

? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 恒成立,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

x1 ? x 2 ? 2 ?

4 , k2

x1 ? x2 ? 1

……8 分

2 2 ①? F1 B ? F2 B , x2 ? y2 ? 1 , 2 又 y 2 ? 4x2 ,

x1 ? x2 ? 1 ,

2 ? x2 ? 4 x2 ? x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 4 , | AF2 | ? | BF2 | ? x1 ? x2 ? 4
②假设 | AB |?| F2 D | 因为直线 l 过点 F2 ,所以 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? 又 D(0,?k ) , F2 (1,0) , 由 | AB |?| F2 D | , ……12 分

4 k2

? DF2 |? 1 ? k 2 |
?4 ? 4 ? 1? k 2 2 k

k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,所以 k 2 ? 8 ? 4 5 ,(负的已舍去)
从而 k ? ?2 2 ? 5 ,所以当 l 的方程为 y ? ?2 2 ? 5 ( x ? 1) 时有 | AB |?| F2 D | .……15 分

6


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