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2015年高考——平面解析几何文


2015 年高考—平面解析几何(文)
1.设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 B 的坐标为(0, a 2 b2

b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为

5 。 10<

br />
(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。

2. 已知点 F 为抛物线 E: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,点 ? ? 2, m? 在抛物线 E 上,且 ?F ? 3 . (I)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

3. 一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链 与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复 运动时,带动 ..N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1

(Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且 只有一个公共点,试探究: ?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

X2 =1(a>b>0)的一个焦点。C1 与 C2 的公共弦的 b2 ? ??? ? ??? 长为 2 6 .过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C1 相交于 C,D 两点,且 BD 与 AC 同向。
4.已知抛物线 C1 :X =4y 的焦点 F 也会椭圆 C1: a 2 +
2

y2

(1)求 C2 的方程; (2)若︱AC︱=︱BD︱,求直线 l 的斜率。

5.

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

1 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且点 ( 3 , ) 2 2 2 a b

在椭圆 C 上, (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 ? ? 1,P 为椭圆 C 上任意一点, (II) 设椭圆 E : 过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 于 A, B 两 4a 2 4b 2
点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ,

(i)求

OQ OP

的值; (ii)求 ?ABQ 面积的最大值。

2

6.如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)经过点 A(0,-1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1)且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

7. 已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A 、 B 和 C 、D ,记 ?AOC 的
2 2

面积为 S . (1)设 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S ? (2)设 l1 : y ? kx , C ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2

? 3 3? 1 , ? , S ? ,求 k 的值; 3 ? 3 3 ?

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变.

8.已知椭圆

x2 y 2 5 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , 2 a b 5

(1)求直线 BF 的斜率; (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P (P 异于点 B) , 故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q (Q 异于点 B) 直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM|=l |MQ| .
3

1)求 l 的值;

2)若 |PM|sin?BQP=

7 5 ,求椭圆的方程. 9

9. 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点.
(1)求 K 的取值范围; (2)若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

2

2

???? ?

????

10. 如图, 已知抛物线 C1:y=

1 2 2 2 x , 圆 C2:x + (y- 1) = 1 , 过点 P(t,0)(t>0) 作不过原点 O 的直线 PA, 4

PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线

4


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