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2015年高考理北京卷科数学试题及答案解析(word精校版)


2015 年高考北京 理科数学试题及答案解析
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.复数 i ? 2 ? i ? ? A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

?x ? y ≤ 0 , ? 2

.若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?
A.0 B.1 C.
3 2

D.2

3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. ? ?2 ,2 ? B. ? ?4 ,0 ? C. ? ?4 ,? 4 ?
开始

D. ? 0 ,? 8 ?

x=1,y=1,k=0

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

结束

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

6.设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

7.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ? x | ?1 ? x ≤ 0? C. ? x | ?1 ? x ≤ 1?

B. ? x | ?1 ≤ x ≤ 1? D. ? x | ?1 ? x ≤ 2?

8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x3 的系数为
5

. (用数字作答) . .

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2 π? ? 11.在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离为 3? ?
10.已知双曲线

?

?

12.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则

sin 2 A ? sin C



13.在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? x AB ? y AC ,则 x ? ;y? .

? 2x ? a ? x ? 1? ? 14.设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥ 1.
①若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

②若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13 分)
x x x 已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

16. (本小题 13 分) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:

A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为甲, B 组 选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

17. (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △ AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

18. (本小题 13 分)

1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0 ? ? 处的切线方程;
已知函数 f ? x ? ? ln

? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

19. (本小题 14 分) x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 P ? 0 , 1? 和点 A ? m ,n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 a b 2 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存在 点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题 13 分)

?2a ,an ≤ 18 , …? . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? n ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18
记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值.

?

?

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)


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