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07-13北约自主招生数学试题


2007 年北大自主选拔录取联合考试 数 学 试 题
1. 已知f ( x)=x ? 53x ? 196? | x ? 53x ? 196 |, 求f (1) ? f (2) ? ... ? f (50).
2 2

2. 求证:对任意实数k , x ? y ? 2kx ? (2k ? 6) y ? 2k ? 31 ? 0恒过两定点 .

r />2 2

? xy ? 2 x ? y ? 1 ? 3. 解方程组 ? yz ? 2 z ? 3 y ? 8 ? xz ? 4 z ? 3 x ? 8 ?
4. 长方体中a, b, c为棱长,a ? b ? c,求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中

. P,Q是长方体对角线两个端点)

1

2008 北大自主招生数学试题
1. 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

5 ?1 . 2

2. 已知六边形 AC1BA1CB1 中,AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1. 求证:△ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 面积的一半. 3. 已知 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 , a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 ,

min(a1 , a2 , a3 ) ? min(b1 , b2 , b3 ) 求证: a1 , a2 , a3 ) ? max(b1 , b2 , b3 ) . max(
4. 某次排球单循坏赛中,南方球队比北方球队多 9 支,南方球队总得分是北方球队的 9 倍. 求证:冠军是一支南方球队.(胜得 1 分,败得 0 分) 5. (理科)O-XYZ 坐标系内

xoy 平面系内, 0 ? y ? 2 ? x2 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体,

在点(1,0,1)设置一光源, xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2? , 求 C 上未被照到的长度.

2

2009 北大自主招生数学试题
1. 圆内接四边形 ABCD 中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求 ABCD 的外接圆半径. 2. 已知一无穷递增等差数列中有 3 项:13,25,41,求证:2009 为数列中一项. 3. 是否存在实数 x,使 tan x ? 3,cot x ? 3 均为有理数? 4. 已知对 ?x ? ? , a cos x ? b cos2x ? ?1 恒成立,求 a ? b 的最大值. 5. 某次考试共有 333 名学生做对了 1000 道题。做对 3 道及以下为不及格,6 道及以上为优秀. 每个人答对题数的奇偶性不全相同.问:不及格者与优秀者哪个多?

3

2010 北大自主招生(三校联招)
1. (仅文科做)若 0 ? x ? 1 ,求证: 其它版本:若 0 ? ? ? 2. 3.

x (25 分) ? arctan x ? x . 2

? ,求证: sin ? ? ? ? tan ? 2
5 ?1 . (25 分) 2

A, B 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为

(25 分) A, B 为 y ? 1 ? x 2 上在 y 轴两侧的点,求过 A, B 的切线与 x 轴围成面积的最小值.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 4. 向量 OA 与 OB 夹角为 ? , OA ? 1 , OB ? 2 , OP ? (1 ? t )OA , OQ ? tOB , 0 ≤ t ≤1 . ??? ? 1 PQ =f (t ) 在 t ? t0 时取得最小值,当 0 ? t0 ? 时,求 ? 的取值范围. (25 分) 5

5. (仅理科做)存不存在 0 ? x ?

? ,使得 sin x , cos x , tan x , cot x 按某种顺序成等差数列. (25 分) 2

4

2011 年“北约”13 校联考自主招生 数学试题
请注意:文科考生做 1 至 5 题,理科考生做 3 至 7 题.每题 20 分,共 100 分. 1. 已知平行四边形的两边长分别为 3 和 5,一条对角线长为 6,求另一条对角线长. 2. 求过抛物线 y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 与 y ? ?5x2 ? 2 x ? 3 的两交点的直线方程. 3. 在等差数列 {an } 中, a3 ? ?13 , a7 ? 3 , S n 为其前 n 项和。问数列 {S n } 中哪一项最小?并求出最小项值。 4. 在 ?ABC 中,若 a ? b ? 2c ,证明: C ? 60? . 5. 是否存在四个正实数,使得两两之积分别为 2、3、5、6、10、16?证明你的结论. 6. 设 C1 和 C2 是平面上两个不重合的固定圆周, C 是该平面上的一个动圆,它与 C1 和 C2 均相切. 问: C 的圆心轨迹是何种曲线?说明你的理由. 7. 求函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| ??? | 2011x ?1| 的最小值.

5

2012 年“北约”自主招生数学试题
一、本大题共 6 道小题,每道小题 7 分。 1. 函数 y ? x ? 2 ? 1 ? x ? x 为增函数,则 x 必属于区间( )

A. (??, ?2]
2. 方程

B. [?2, 0]

C. [0, ??)

D. ( ??, 0]
)

x ? 11 ? 6 x ? 2 ? x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的解的个数为( B. 3 C. 0

A. 1
3.

D. 无穷多个

已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)( x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 )

1 的等差数列, 4

则 m ? n 的值是(

A. 1
4.

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8
)

设 O 是锐角三角形 ABC 外接圆的圆心,它到三边 a, b, c 的距离分别是 k , m, n .则(

A. k : m : n ? a : b : c C. k : m : n ? sin A : sin B : sin C
5.

1 1 1 : : a b c D. k : m : n ? cos A : cos B : cos C B. k : m : n ?

已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,点 C 是圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 上的动点, )

则三角形 ABC 的面积的最小值是(

A. 3
6.

B. 2

C. 3 ? 2

D. 3 ? 2
)

从 1, 2,? , 2012 中挑选一些数,其中没有两数之和可以被其差整除.选出的这些数最多有(

A. 671 个

B. 672 个

C. 673 个

D. 以上都不对

二、计算题(第 7 小题 18 分,第 8、9 小题各 20 分) 7. 求出参数 a 的值使得方程

sin 2 x sin 4 x ? sin x sin 3 x ? a
在区间 [0, ? ) 上有唯一的解. 8. 9. 证明:内角相等的圆内接五边形必为正五边形. 证明:

2 ? 1 的任何正整数次幂均可写成 s ? s ? 1 的形式,其中 s 为正整数.
2 3

例如 ( 2 ? 1) ? 9 ? 8, ( 2 ? 1) ? 50 ? 49 .

6

2013“北约”自主招生试题
2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(每题 8 分,共 48 分) 1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( A. 2 B. )

C. D. 3 5 6 2.在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车, 每辆车只占一格,共有 种停放方法. A. 720 B. C. D. 20 518400 14400 3.已知 x2 ? 2 y ? 5 , y 2 ? 2 x ? 5 ( x ? y ),则 x3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 值为( A. ) D. )

?10

B.

?12

C.

?14

?16

4.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 2 ( n ? 1 ),则 a2013 值为(

A. 3019 ? 22012 B. 3019 ? 22013 C. 3018 ? 22012 D. 无法确定 5.在 ?ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ?ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ?ADC 交 AC 于 N , 则 BM ? CN 与 MN 的关系为( ) B A. BM ? CN ? MN M B. MN ? CN ? MN D C. BM ? CN ? MN D.无法确定 A

BC ? AC ? AB 6.模长都为 1 的复数 A, B, C 满足 A ? B ? C ? 0 ,则 的模长为( ) A? B ?C 1 A. B. C. D. 无法确定 ? 1 2 2 二、解答题(每题 18 分,共 72 分) 7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.
8.已知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,且 | a1 ? 2a2 |?| a2 ? 2a3 |? ? ?| a2013 ? 2a1 | 证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .

N

C

9.对于任意 ? ,求 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值. 10.有一个 m ? n 的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每 一行的数满足什么样的关系?请证明你的结论.

7


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