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2015-2016学年高中数学 本册综合能力测试 新人教A版必修4

时间:2015-12-11


本册综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 8 1.(2015·泰安期末)tan π 的值为( 3 A. 3 3 ) B.- 3 3

C. 3 [答案] D

D.- 3

8 2 2 [解析] tan π =tan(2π + π )=tan π =- 3. 3 3 3 → 2.(高考辽宁理)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( 3 4 A.( ,- ) 5 5 3 4 C.(- , ) 5 5 [答案] A [解析] 本题考查平面向量的坐标运算,单位向量的求法. → AB ?3,-4? 3 → → → 因为AB=(3,-4),|AB|=5,所以与向量AB同向的单位向量为 = =( , → 5 5 |AB| 4 - ),选 A. 5 12 ?π ? 3.若 sinα = ,α ∈? ,π ?,则 tan2α 的值为( 13 ?2 ? 60 A. 119 60 C.- 119 [答案] B 12 ?π ? [解析] ∵sinα = ,α ∈? ,π ?, 13 ?2 ? 5 12 ∴cosα =- .∴tanα =- . 13 5
1

)

4 3 B.( ,- ) 5 5 4 3 D.(- , ) 5 5

)

120 B. 119 120 D.- 119

∴tan2α =

2tanα 120 = . 2 1-tan α 119 5 10 π , sin(β -α )= , 且 α ∈[ , π ], β ∈[π , 5 10 4

4. (2015·成都一诊)若 sin2α = 3π ],则 α +β 的值是( 2 7π A. 4 5π 7π C. 或 4 4 [答案] A )

9π B. 4 5π 9π D. 或 4 4

π π 5 π [解析] 因为 α ∈[ ,π ],故 2α ∈[ ,2π ],又 sin2α = ,故 2α ∈[ ,π ], 4 2 5 2

a∈[ , ],∴cos2α =-

π 4

π 2

2 5 3π π 5π ,β ∈[π , ],故 β -α ∈[ , ],于是 cos(β - 5 2 2 4

3 10 α )=- , ∴cos(α +β )=cos[2α +(β -α )]=cos2α cos(β -α )-sin2α sin(β 10 2 5 3 10 5 10 2 5π 7π -α )=- ×(- )- × = ,且 α +β ∈[ ,2π ],故 α +β = . 5 10 5 10 2 4 4 5.已知 a=(1,-1),b=(x+1,x),且 a 与 b 的夹角为 45°,则 x 的值为( A.0 C.0 或-1 [答案] C [解析] 由夹角公式:cos45°= 或 x=-1. 6.设 a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos 13°-1,c= A.c<a<b C.a<b<c [答案] A [解析] a=sin62°,b=cos26°=sin64°,c= 3 =sin60°,∴b>a>C. 2 B.b<c<a D.b<a<c
2

)

B.-1 D.-1 或 1

x+1-x 2 2 = ,即 x +x=0,解得 x=0 2 2 2 2· ?x+1? +x

3 ,则有( 2

)

→ → AB AC → → → 7.(2015·广东实验中学质检)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足( + )·BC=0 → → |AB| |AC|

2



AC 1 · = ,则△ABC 为( → → 2 |AB| |AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 [答案] D

AB





)

[解析] 设∠BAC 的角平分线为 AD,则

AC → + =λ AD.由已知得 AD⊥BC,∴△ABC → → |AB| |AC|

AB



1 为等腰三角形.又 cosA= ,∴A=60°,△ABC 为等边三角形,故选 D. 2 8.(2015·东北四市模拟)将函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换可以得到函数 y= cos2x 的图象( )

π 1 A.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变) 2 2 π 1 B.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变) 2 2 π 1 C.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变) 4 2 π 1 D.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变) 4 2 [答案] A [解析]

y=cos2x=sin(2x+ ),将 y=sinx 的图象先向左平移 个单位得到 y=

π 2

π 2

π 1 π sin(x+ )的图象, 再沿 x 轴将横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变)得到 y=sin(2x+ ) 2 2 2 的图象,故选 A. 9. 函数 y = tan( ( ) A.6 C.-4 [答案] A [解析] ∵点 B 的纵坐标为 1, π π ∴tan( x- )=1, 4 2
3

π π → → → x - ) 的部分图象如右图,则 ( OA + OB )· AB = 4 2

B.4 D.-6



π π π x- = ,∴x=3,即 B(3,1). 4 2 4

π π π π 令 tan( x- )=0,则 x- =0,解得 x=2, 4 2 4 2 → → → ∴A(2,0),∴OA+OB=(5,1),AB=(1,1). → → → ∴(OA+OB)·AB=6.

kx+1?-2≤x<0?, ? ? 10.函数 y=? 8π 2sin?ω x+φ ??ω >0,0<x≤ ? ? 3 ?

的图象如下图,则(

)

1 1 π A.k= ,ω = ,φ = 2 2 3 1 1 π B.k= ,ω = ,φ = 2 2 6 1 π C.k= ,ω =2,φ = 2 6 1 π D.k=-2,ω = ,φ = 2 3 [答案] B [解析] ∵直线过点(-2,0), 1 ∴-2k+1=0,∴k= . 2 ∵ 2π 1 1 2π 8 5 =T,∴ T= × = π - π =π , ω 4 4 ω 3 3

1 1 8 ∴ω = ,∴y=2sin( x+φ )过点( π ,-2), 2 2 3 4π π ∴-2=2sin( +φ ),∴φ = . 3 6 → → 11.(2015·杭州模拟)如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则AO·BC的值是( )

A.-8

B.-1
4

C.1 [答案] D

D.8

→ 1 → → → → → [解析] 取 BC 的中点 D,连接 AD、OD,则有 OD⊥BC,AD= (AB+AC),BC=AC-AB, 2 →

AO·BC=(AD+DO)·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC= (AB+AC)·(AC-AB)
1 →2 →2 1 2 2 = (AC -AB )= ×(5 -3 )=8,选 D. 2 2 12.(2015·广东深圳调研)关于 x 的方程 x -xcosAcosB-cos =0 有一个根为 1,则 2
2 2



→ →

→ →

→ →

→ →

→ 1 → → 2

→ →

C

在△ABC 中一定有( A.∠A=∠B C.∠B=∠C [答案] A [ 解析 ]

) B.∠A=∠C π D.∠A+∠B= 2

∵ 1 是方程的根,∴ 1 - cosA·cosB - cos = 0 ,∴ cosAcosB = sin ,∴ 2 2

2

C

2

C

2cosAcosB=1-cosC,∴2cosA·cosB=1+cos(A+B),把 cos(A+B)展开,cos(A-B)=1, ∴∠A=∠B.故选 A. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若 tanα =3,则 sinα cosα 的值等于________. [答案] 3 10

sinα cosα tanα 3 3 [解析] sinα cosα = 2 = 2 = = . 2 sin α +cos α tan α +1 1+9 10 π 14. 已知: |a|=2, |b|= 2, a 与 b 的夹角为 , 要 λ b-a 与 a 垂直, 则 λ 为________. 4 [答案] 2 [解析] 由题意 a·(λ b-a)=0,即 λ a·b-|a| =0,∴λ ·2× 2× λ =2. 15 .已 知 13sinα + 5cosβ = 9,13cosα + 5sinβ = 15 ,那 么 sin(α + β ) 的值 为 ________. [答案] [ 解析] 56 65 将两等式的两边分别平方再相加得 169+130sin(α + β ) + 25 = 306 ,所以
5
2

2 -4=0,即 2

56 sin(α +β )= . 65 → → → 16.在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=2.D、E 是 BC 边上的点,且AD·BC=0,CE= → → → 2EB,则AD·AE=________. [答案] 1 → → → → [解析] ∵AD·BC=0,∴AD⊥BC. 又 AB=AC,∴点 D 为 BC 的中点, → 1 → → ∴AD= (AB+AC), 2 →

AE=AC+CE= AB+ AC,
2→ 1→ → → 1 → → ∴AD·AE= (AB+AC)·( AB+ AC) 2 3 3 1 →2 → → →2 = (2AB +3AB·AC+AC ) 6 1 = (8+3×2×2×cos120°+4)=1. 6 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)已知函数 f(x)=2sin(π -x)cosx. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 2 [解析] (1)f(x)=2sin(π -x)cosx=2sinxcosx=sin2x 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π (2)由- ≤x≤ ,知- ≤2x≤π 6 2 3 ∴- 3 ≤sin2x≤1 2

→ →

2→ 1→ 3 3

π π 3 ∴f(x)在区间[- , ]上的最大值为 1,最小值为- . 6 2 2 18.(本题满分 12 分)已知向量 a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中 e1=(1,0),e2=(0,1), 求:(1)a·b;|a+b|;(2)a 与 b 的夹角的余弦值. [解析] (1)a=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2),

b=4(1,0)+(0,1)=(4,1), a·b=3×4+(-2)×1=10.
6

∵|a+b| =(a+b) =a +2a·b+b =|a| +20+|b| =13+20+17=50, ∴|a+b|=5 2.

2

2

2

2

2

2

a·b 10 10 221 (2)cos<a,b>= = = . |a||b| 221 13· 17
19.(本题满分 12 分)(2015·济宁模拟)已知向量 a=(cosθ ,sinθ ),θ ∈[0,π ], 向量 b=( 3,-1). (1)若 a⊥b,求 θ 的值; (2)若|2a-b|<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵a⊥b,∴ 3cosθ -sinθ =0, π 得 tanθ = 3,又 θ ∈[0,π ],∴θ = . 3 (2)∵2a-b=(2cosθ - 3,2sinθ +1), ∴|2a-b| =(2cosθ - 3) +(2sinθ +1) 1 3 =8+8( sinθ - cosθ ) 2 2 π =8+8sin(θ - ), 3 π π 2 又 θ ∈[0,π ],∴θ - ∈[- , π ], 3 3 3 π 3 ∴sin(θ - )∈[- ,1], 3 2 ∴|2a-b| 的最大值为 16. ∴|2a-b|的最大值为 4. 又|2a-b|<m 恒成立. ∴m>4. 20 . ( 本 题 满 分 12 分 )(2015· 山 东 潍 坊 高 一 期 末 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ω x + π φ )(ω >0,0<φ < )的部分图象如图所示. 2
2 2 2 2

(1)求 f(x)的解析式;
7

1 (2)将函数 y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,再将所得 2 π 函数图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递增区间; 6 π 5π π π (3)当 x∈[- , ]时,求函数 y=f(x+ )- 2f(x+ )的最值. 2 12 12 3 3 11 π 9 3 [解析] (1)由图得: T= π - = π = π , 4 6 3 6 2 ∴T=2π , 2π ∴ω = =1.

T

11 11 又 f( π )=0,得:Asin( π +φ )=0, 6 6 ∴ 11 11 π +φ =2kπ ,φ =2kπ - π , 6 6

π π ∵0<φ < ,∴当 k=1 时,φ = . 2 6 又由 f(0)=2,得:Asinφ =2,A=4, π ∴f(x)=4sin(x+ ). 6 π 1 (2)将 f(x)=4sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变得到 6 2

y=4sin(2x+ ),再将图象向右平移 个单位得到 g(x)=4sin[2(x- )+ ]=4sin(2x
π - ), 6 π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z)得: 2 6 2

π 6

π 6

π 6

π 6

kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z),
π π ∴g(x)的单调增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 6 3 π π (3)y=f(x+ )- 2f(x+ ) 12 3 π π π π =4sin[(x+ )+ ]- 2×4sin[(x+ )+ ] 12 6 3 6 π π =4sin(x+ )-4 2sin(x+ ) 4 2

π 6

π 3

8

π π =4(sinx·cos +cosx·sin )-4 2cosx 4 4 =2 2sinx+2 2cosx-4 2cosx=2 2sinx-2 2cosx π =4sin(x- ). 4 π 5 π 3 π ∵x∈[- , π ],x- ∈[- π , ], 2 12 4 4 6 π 1 ∴sin(x- )∈[-1, ], 4 2 ∴函数的最小值为-4,最大值为 2. 21. (本题满分 12 分)(2015·厦门模拟)已知向量 a=(cosα , sinα ), b=(cosx, sinx),

c=(sinx+2sinα ,cosx+2cosα ),其中 0<α <x<π .
π (1)若 α = ,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应的 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan2α 的值. 3 π [解析] ∵b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα ,cosx+2cosα ),α = . 4 ∴f(x)=b·c =cosxsinx+2cosxsinα +sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+ 2(sinx+cosx). π 令 t=sinx+cosx( <x<π ),则 t∈(-1, 2), 4 且 2sinxcosx=t -1. ∴y=t + 2t-1=(t+ 当 t=-
2 2

2 2 3 ) - ,t∈(-1, 2). 2 2

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sinx+cosx=- . 2 2 2

π 2 π 1 即 2sin(x+ )=- ,sin(x+ )=- , 4 2 4 2 ∵ ∴ π <x<π , 4 π π 5π <x+ < . 2 4 4

π 7π 11 ∴x+ = ,即 x= π . 4 6 12 3 11 所以函数 f(x)的最小值为- ,相应的 x 的值为 π . 2 12
9

π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a·b cos = =cosα cosx+sinα sinx=cos(x-α ), 3 |a||b| ∵0<α <x<π ,∴0<x-α <π . π ∴x-α = , 3 ∵a⊥c, ∴cosα (sinx+2sinα )+sinα (cosx+2cosα )=0, 化简得 sin(x+α )+2sin2α =0. π 代入 x-α = 得 3 π 5 3 sin(2α + )+2sin2α = sin2α + cos2α =0, 3 2 2 ∴tan2α =- 3 . 5

22.(本题满分 12 分)(2015·福建文)已知函数 f(x)=10 3sin cos +10cos . 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度, 再向下平移 a(a>0)个单位长度后得到函 6 数 g(x)的图象,且函数 g(x)的最大值为 2. ①求函数 g(x)的解析式; ②证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0. [解析] (1)因为 f(x)=10 3sin cos +10cos 2 2 2 π =5 3sinx+5cosx+5=10sin(x+ )+5. 6 所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π . π (2)①将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到 y=10sinx+5 的图象,再向下平移 6

x

x

2

x

x

x

2

x

a(a>0)个单位长度后得到 g(x)=10sinx+5-a 的图象.
已知函数 g(x)的最大值为 2,所以 10+5-a=2,解得 a=13. 所以 g(x)=10sinx-8. ②要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个 4 互不相同的正整数 x0,使得 10sinx0-8>0,即 sinx0> . 5

10

4 3 π 4 由 < 知,存在 0<α 0< ,使得 sinα 0= . 5 2 3 5 4 由正弦函数的性质可知,当 x∈(α 0,π -α 0)时,均有 sinx> . 5 因为 y=sinx 的最小正周期为 2π , 4 所以当 x∈(2kπ +α 0,2kπ +π -α 0)(k∈Z)时,均有 sinx> . 5 π 因为对任意的整数 k,(2kπ +π -α 0)-(2kπ +α 0)=π -2α 0> >1, 3 4 所以对任意的正整数 k,都存在正整数 xk∈(2kπ +α 0,2kπ +π -α 0),使得 sinxk> . 5 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.

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