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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入课件理

时间:2017-03-24


第十二篇 复数、算法、推理与证明 (必修3、选修2—2)

六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图 命题特点 1.复数的基本概念、复数相等的 充要条件以及复数的加减乘除四 则运算.运算是高考的热点,一般 为选择题,占 5 分. 2.循环结构和条件结构是高考考 查的热点,题型以选择题、填空题 为主,属容易题,占 5 分. 3.高考对归纳推理、类比推理很 少单独考查,但其思想方法会渗 透到解题中. 4.高考对演绎推理、直接证明与 间接证明以及数学归纳法的考 查,单独命题的可能性不大,但其 思想也会渗透到解题之中.

第1节 数系的扩充与复数的引入

最新考纲 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的 充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义, 能进行复数代数形式 的四则运算. 3.了解复数代数形式的加、减运 算的几何意义.

知识链条完善
考点专项突破 经典考题研析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.复数的几何意义是什么?
提示:复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b)及平面向量 ??? ? OZ =(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

2.复数模的几何意义是什么?
提示:复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内点 Z(a,b)到原点 O(0,0)的 ??? ? ??? ? 距离,亦即向量 OZ 的模| OZ |.

3.复数加减法的几何意义是什么?
提示:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行 四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即
? ???? ? ????? ???? ? ???? ? ??? ? ???? OZ = OZ1 + OZ 2 , Z1Z 2 = OZ 2 - OZ1 .

知识梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是 a ,虚部是 b (i是虚数

单位).
(2)复数的分类
) ?实数(b ? 0 复数z ? a ? bi ? ) ?纯虚数(a ? 0 ? 虚数 ( b ? 0) (a、b ? R) ? ? ) ?非纯虚数(a ? 0 ?

(3)复数相等 a+bi=c+di? a=c且b=d (4)共轭复数 a+bi与c+di互为共轭复数? a=c且b=-d (a,b,c,d∈R). (a,b,c,d∈R).

(5)复数的模 ??? ? 向量 OZ 的模叫做复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi| , 即|z|=|a+bi|=r= a 2 ? b 2 (r≥0,a,b∈R).

2.复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立 直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做 实轴 ,y轴叫做 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ; 除原点以外,虚轴上的点都表示 纯虚数 .

(3)复数的几何表示 复数 z=a+bi ??? ? 向量 OZ . 复平面内的点 Z(a,b) 平面

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:
z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad = = = ? ? 2 i (c+di≠0). 2 2 c ?d z2 c ? di (c ? di)(c ? di) c ? d

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有 z +z = z2+z1 ,(z +z )+z = z1+(z2+z3) .
1 2 1 2 3

(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3∈C,有 z1· z2=z2· z1,(z1· z2 )· z3=z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
【重要结论】 1.(1±i)2=±2i;
1? i 1? i =i; =-i. 1? i 1? i

2.-b+ai=i(a+bi). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).

夯基自测
1.(2016 潍坊模拟)设复数 z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数的虚部为( D ) (A) 3 (B)± 3 i (C)±1 (D)± 3

解析:复数 z=1+bi(b∈R)且|z|=2, 所以 1 ? b2 =2,解得 b=± 3 .

2.在复平面内复数z=i(1-2i)对应的点位于( A (A)第一象限 (B)第二象限

)

(C)第三象限

(D)第四象限

解析:复数z=i(1-2i)=2+i, 因为复数z的实部2>0,虚部1>0,

所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

3.(2016 泉州模拟)复数
3 (A)- i 5 3 (B) i 5

2?i 的共轭复数是( C 1 ? 2i

)

(C)-i

(D)i

解析:复数

2 ? i (2 ? i)(1 ? 2i) 5i = = =i,其共轭复数为-i. 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

4.(2016眉山模拟)若(x-i)i=y+2i(x,y∈R),则复数x+yi= 解析:若(x-i)i=y+2i=1+xi(x,y∈R),则y=1且x=2,所以x+yi=2+i. 答案:2+i

.

5.下面四个命题: ①3+4i比2+4i大; ②复数3-2i的实部为3,虚部为-2i;

③z1,z2为复数,z1-z2>0,那么z1>z2;
④z1,z2为复数,若+=0,则z1=z2=0. 其中不正确的命题有 (写出所有不正确命题的编号).
解析:只有当两个复数都是实数时才能比较大小,①错; 复数 3-2i 的虚部为-2,②错; 当 z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=3>0,但 z1 与 z2 不能比较大小,③错;
2 当 z1=1,z2=i 满足 z12 + z 2 =0,但 z1≠0,z2≠0,④错.

答案:①②③④

考点专项突破
考点一 复数的基本概念

在讲练中理解知识

【例1】 (1)(2016开封二模)已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1” 是“z为纯虚数”的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 (2)(2015高考福建卷)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则 a,b的值分别等于( ) (A)3,-2(B)3,2 (C)3,-3(D)-1,4 解析:(1)当a=1时,复数z=(a2-1)+(a-2)i是一个纯虚数.当复数z=(a21)+(a-2)i是一个纯虚数时,a2-1=0且a-2≠0,则a=±1,不能推出a=1.故 “a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件.故选A. (2)因为(1+i)+(2-3i)=a+bi,所以3-2i=a+bi, 所以a=3,b=-2,故选A.

(3)下面是关于复数 z= p1:|z|=2;p2:z =2i;
2

2 的四个命题: ?1 ? i

p3:z 的共轭复数为 1+i;p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( ) (A)p2,p3 (B)p1,p2 (C)p2,p4 (D)p3,p4

解析:(3)因为 z=

2(?1 ? i) 2 2( ?1 ? i) = = =-1-i, ?1 ? i (?1 ? i)(?1 ? i) 2

所以|z|= 2 , z =-1+i,故 p1,p3 为假命题 所以 z2=(-1-i)2=2i,z 的虚部为-1,故 p2,p4 为真命题,故选 C.

反思归纳

有关复数的概念问题,一般涉及复数的实部与虚部、模、

虚数、纯虚数、实数、共轭复数等,解决时,一定先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定其实部和虚部.

【即时训练】 (1)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( (A)-4 (B)4 5

)

(C)4

(D)

4 5

解析:(1)(3-4i)z=|4+3i|= 42 ? 32 =5, 所以 z=
5 (3+4 i) 5 3+4i 3 4 = = = + i, 3 ? 4i (3- 4 i)(3+4 i) 5 5 5
4 ,故选 D. 5

因此复数 z 的虚部为

(2)(2016 哈尔滨六中高三期中)若复数 z 满足 i·z=数的虚部是( (A)1 i 2

1 (1+i),则 z 的共轭复 2

)
1 i 2

(B)

(C)-

1 2

(D)

1 2

1 1 ? ( 1 ? i) ? (1 ? i)i 1 1 解析: (2)由 i·z=- (1+i) ? z= 2 = 2 = (-1+i),则 z 的 2 2 i i?i

共轭复数是 z =

1 1 (-1-i),其虚部是- .故选 C. 2 2

考点二 复数代数形式的运算(高频考点) 高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅰ、2014高考新课标全国卷Ⅱ、2015 高考新课标全国卷Ⅰ、2015高考新课标全国卷Ⅱ 【例2】 (1)(2015高考新课标全国卷Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)= -4i,则a等于( (A)-1 (B)0 ) (C)1 (D)2

解析:(1)由(2+ai)(a-2i)=-4i,得 4a+(a2-4)i=-4i,
? ? 4 a ? 0, 所以 ? 2 解得 a=0.故选 B. ? ? a ? 4 ? ?4,

(1 ? i)3 (2)(2014 高考新课标全国卷Ⅰ) 等于( 2 (1 ? i)

)

(A)1+i

(B)1-i

(C)-1+i

(D)-1-i

解析:(2)法一 =

(1 ? i)3 1 ? i3 ? 3i ? 3i 2 = 2 ?2i (1 ? i)

?2 ? 2i 1 ? i i ? 1 = = =-1-i. ?2i i ?1

故选 D. 法二
(1 ? i)3 1? i 2 2 =( ) (1+i)=i (1+i)=-1-i.故选 D. 2 1? i (1 ? i)

反思归纳

复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法

关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.

【即时训练】 (1)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z 等于( (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i
3?i 2 ) 等于( 1? i

)

(2)(2016 马鞍山二模)复数( (A)-3-4i (B)-3+4i

)

(C)3-4i

(D)3+4i

解析:(1)z=

2i(1 ? i) 2i = =-1+i.故选 A. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

(2)(

3 ? i 2 (3 ? i)(1 ? i) 2 2 ) =[ ] =(1-2i) =-3-4i.故选 A. 1? i 2

考点三

复数的几何意义
2i 在复平面内所 1? i

【例 3】 (1)(2015 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,则复数 对应的点位于( (A)第一象限 ) (B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限

(2)(2014 高考新课标全国卷Ⅱ)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对 称,z1=2+i,则 z1z2 等于( ) (A)-5 (B)5 (C)-4+I (D)-4-i
2i 2i(1 ? i) = =-1+i, 1? i 2

解析:(1)因为 所以复数

2i 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.故选 B. 1? i

(2)z1=2+i,由题意,z2=-2+i, 所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 故选A.

反思归纳

判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数

化成a+bi(a、b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点 所在的象限及坐标.

【即时训练】 (2016 宝鸡模拟)如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别 ??? ? ??? ? 是 OA , OB ,则复数 z1·z2 对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

解析:由复数的几何意义知z1=-2-i,z2=i,
所以z1z2=(-2-i)i=-2i-i2=1-2i, 其对应的点的坐标为(1,-2)位于第四象限.故选D.

备选例题
【例 1】 (2016 郑州模拟)设 i 是虚数单位,若复数 m+ 则 m 的值为( (A)-3 (B)-1 ) (C)1 (D)3
10 (m∈R)是纯虚数, 3+i

解析:因为 m+ 故选 A.

10 (3- i) 10 =m+ =m+3-i 为纯虚数,所以 m+3=0,即 m=-3. 3+i (3+i)(3- i)

【例2】 (2016岳阳模拟)已知z=x+yi,x,y∈R,i为虚数单位,且 z=(1+i)2,则ix+y= 解析:因为(1+i)2=2i, 所以x+yi=2i, 所以x=0,y=2. .

所以ix+y=i2=-1.
答案:-1

经典考题研析

在经典中学习方法
复数运算的综合问题

【典例】 (2015 高考新课标全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 ( (A)1
审题指导 关键点 已知
1+z =i 1? z

1+z =i,则|z|等于 1? z

) (B) 2 (C) 3 (D)2

所获信息 关于复数 z 的等式 求复数 z 的模 解题突破:利用复数的运算求出 z

求|z|

解析:由已知

1+z =i, 1? z

(i ? 1)2 i ?1 ?2i 可得 z= = = =i, i ? 1 (i ? 1)(i ? 1) ?2

所以|z|=|i|=1, 故选 A.

命题意图:本题主要考查了复数的乘法和除法运算,考查了复数的模等 基础知识,同时还考查了对算式变形、运算的能力.


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