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2014《创新设计》二轮专题复习1.3

时间:2014-07-14


第三讲 二次函数、基本初等函数、函数的应用

考点归类 深度剖析

考点一 二次函数 [冲关锦囊] 1.求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合, 特别是含参数的两种类型: “定轴动区间, 定区间动轴”的问题, 抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴 指的是对称轴.

2. 二次函数、 二次方程、 二次不等式之间可以相互转化. 一 般规律 (1)在研究一元二次方程根的分布问题时, 常借助于二次函数 的图象数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置;③判 别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时, 一般需借助于二次 函数的图象、性质求解. 3.在二次三项式函数中,如果二次项的系数含有参数,那 么应对二次项的系数是否为零分类讨论,以防丢解.

[考题剖析] 【例 1】 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当 -3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1) +f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012

解析:由 f(x+6)=f(x)可知函数是周期为 6 的周期函数,又 因为当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x) =x 可知,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4) =f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,故 而 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1, 故而 f(1)+f(2)+f(3)+? +f(2 012)=335×1+f(1)+f(2)=338. 答案:B

(2)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为 __________.
2 a 解析:由题意知 a2-4b=0,所以 f(x)<c 可换为 x2+ax+ 4 a ? 2 2 ?m+m+6=- ? 2 m + 6 ? a -c<0,∴? ,∴c= 4 -m(m+6)= - a2 4 m?m+6?= 4 -c ? ? m(m+6)=9. 答案:9

[对点训练] 1. 设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

)

A

B

C

D

解析:A 选项中,由于二次函数开口向下,所以 a<0,由 于函数与 y 轴交点在 y 轴下方,所以 c<0,又 abc>0,所以 b b >0, 所以函数的对称轴 x=-2a>0, 显然 A 不正确; B 选项中, b a<0,c>0,b<0,所以对称轴 x=-2a<0,所以 B 也不正确; b C 选项中,a>0,c<0,所以 b<0,所以对称轴 x=-2a>0, 所以 C 也错误,所以 D 正确. 答案:D

2. (2013· 福建质检)设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1] 上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]

解析:由函数 f(x)=ax2-2ax+c=a(x-1)2-a+c 可得,该 函数图象的对称轴为 x=1,又由该函数在区间[0,1]上是减函数, 可知二次函数的图象开口向上,即得 a > 0 ,且 f(0) = f(2) ,由 f(m)≤f(0),可得 0≤m≤2,故应选 D. 答案:D

考点二 指数函数、对数函数、幂函数 [冲关锦囊] 1.对于两个数都为指数或对数的大小比较:如果底数相同, 直接应用指数函数或对数函数的单调性比较;如果底数与指数 (或真数)皆不同,则要增加一个中间量进行过渡比较,或利用换 底公式统一底数进行比较.底数不同、真数相同比较大小用数形 结合. 2.对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注 意对底数进行讨论,解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次 再利用性质求解.

3.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂, 一般从两个方面考查 (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图 象上升;α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反 之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凹; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凹.

[考题剖析] 【例 2】 (1)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52, c=log23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

1 1 解析:a=log32=log 3 b=log52=log 5 2 2 ∵1<log23<log25,∴a>b. 又 c=log23>1,∴c>1>a>b,故选 D. 答案:D

(2)(2013· 广州综合)已知幂函数 y=(m -5m+7) x (0,+∞)上单调递增,则实数 m 的值为( ) A.3 B.2 C.2 或 3 D.-2 或-3

2

m 2-6

在区间

解析:由幂函数的概念知系数为 1,求出 m 的值后检验单调 性.由函数是幂函数得 m2-5m+7=1,解得 m=2 或 m=3,当 m=2 时,幂函数 y=x-2 在区间(0,+∞)上是减函数,故 m=2 舍去;当 m=3 时,幂函数 y=x3 在区间(0,+∞)上是增函数, 故 m=3. 答案:A

[对点训练] 3.(2013· 银川模拟)设 a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x >1),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a

解析:因为 1<a=20.3<2,0<b=0.32<1,c=logx(x2+0.3) >logxx2=2(x>1),故选 B. 答案:B

1 4.当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是( ? ? 2 ? 2? A.?0, ? B.? ,1? 2? ? ? 2 ? C.(1, 2) D.( 2,2)

)

解析:如图,当 a>1 时,显然不成立.若 0<a<1 时,当 1 1 1 2 x=2时,4 2 = 4=2,此时对数 loga2=2 得 a= 2 ,根据对数的 1 2 x 图象和性质可知, 要使 4 <logax 在 0<x≤2时恒成立, 则有 2 < a<1.故选 B. 答案:B

5.(2013· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R), f[lg(log210)]=5,则 f[lg(lg2)]=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 ? 1 ? 解析:∵lg(log210)=lg?lg2?=-lg(lg2), ? ? ∴a[-lg(lg2)]3+bsin[-lg(lg2)]+4=5, ∴a[lg(lg2)]3+bsin[lg(lg2)]=-1, ∴f[lg2(lg2)]=a[lg(lg2)]3+bsin[lg(lg2)]+4=3. 答案:C

考点三 函数与方程 [冲关锦囊] 1.函数的零点不是点 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数, 而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是一个数字,而不 是一个坐标.

2.函数零点具有的性质 对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数零点 具有以下性质: (1)当它通过零点(不是偶次零点)时,函数值变号; (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

3.函数零点的判断方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就 有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上 是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性 质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数: 画出两个函数的图象, 看其交点的 个数, 其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点.

[考题剖析] 【例 3】 (1)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D .3

解析:原题可以转化为函数 y1=2x-2 与 y2=-x3 的图象在 区间(0,1)内的交点个数问题,可知在区间(0,1)内只有一个交点, 正确答案为 B.

答案:B

(2)函数 f(x)=x

1 2

?1?x -?2? 的零点个数为( ? ?

)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:在同一坐标系中,分别画出 y=x 和 如图所示,可知函数 f(x)=x
1 2

1 2

?1?x y=?2? 的图象, ? ?

?1?x -?2? 有一个零点,选择 ? ?

B.

答案:B

[对点训练] 6.函数 f(x)=xcosx2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C.6 D.7

)

解析:令 f(x)=0,得 x=0 或 cosx2=0,因为 x∈[0,4],所以 x2∈[0,16]. ?π ? 由于 cos?2+kπ?=0(k∈Z), ? ? π 3π 5π 7π 9π 2 故当 x =2, 2 , 2 , 2 , 2 时,cosx2=0. 所以零点个数为 6. 答案:C

7.(2013· 大连联考)在下列区间中,函数 f(x)=e x-4x-3 的 零点所在的区间为( ) ? 3 ? 1 1? 1? ? ? ? A. -4,-2 B. -2,-4? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1? C.?-4,0? D.?0,4? ? ? ? ?


解析:对于 A,注意到

3 3 ? 3? ? 3? f?-4?=e 4 -4×?-4?-3=e 4 >0, ? ? ? ?

1 1 ? 1? ? 1? f?-2?=e 2 -4×?-2?-3=e 2 -1>0,因此函数 f(x)=e-x-4x-3 ? ? ? ? ? 3 ? 1? 1? 的零点可能不在区间?-4,-2?上;对于 B,注意到 f?-2?>0, ? ? ? ? 1 1 1 ? 1? ? 1? f ?-4? = e 4 - 4× ?-4? - 3 = e 4 - 2 < 4 4 - 2 < 0 ,因此在区间 ? ? ? ? ? 1 1? ?- ,- ?上函数 f(x)=e-x-4x-3 一定存在零点; 4? ? 2

? 1? 对于 C,注意到 f?-4?<0,f(0)=-2<0,因此函数 f(x)=e ? ? ? 1 ? -x -4x-3 的零点可能不在区间?-4,0?上;对于 D,注意到 f(0) ? ? 1 1 1 ?1? 1 =-2<0, f?4?=e 4 -4×4-3=e 4 -4<4 4 -4<0, 因此函数 f(x) ? ? ? 1? -x ? =e -4x-3 的零点可能不在区间 0,4?上.综上所述,选 B. ? ?

答案:B

8.(2013· 东北模拟)已知函数

2 ? ?a-x -4x,x<0, f(x)=? ? ?f?x-2?,x≥0,

且函

数 y=f(x)-2x 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[-4,0] B.[-8,+∞) C.[-4,+∞) D.(0,+∞)

解析:当 x>0,函数 f(x)具有周期性,当 a=0 时,图象如下 图所示.

此时 x<0 有 1 个交点,当 x≥0 时,有 2 个交点,共 3 个交 点.

当图象向下平移 4 个单位时,图象如下图所示.

此时也为 3 个交点,故至多向下平移 4 个单位,故答案选 C. 答案:C

考点四 函数的实际应用 [冲关锦囊] 1.解函数应用题的步骤: (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量 关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实 际问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

2.解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面; (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.

[考题剖析] 【例 4】 (1)设 a>0,b>0.( ) A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

解析:由 2a+2a=2b+3b,有 2a+3a>2b+3b,令函数 f(x) =2x+3x,知 f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵f(a)>f(b),∴a>b, A 正确,B 错误;由 2a-2a=2b-3b,有 2a-2a<2b-2b,令函 数 f(x)=2x-2x,则 f′(x)=2xln2-2,函数 f(x)=2x-2x 在(0,1- log2ln2)上单调递减,在(1-log2ln2,+∞)上单调递增,当 a,b ∈(0,1-log2ln2)时, 有 f(a)<f(b), 得 a>b, 当 a, b∈(1-log2ln2, +∞)时,有 f(a)<f(b),得 a<b,故 C、D 错误.答案选 A. 答案:A

(2)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向 作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量,包括两部分:

(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 1 |v-c|×S 成正比,比例系数为10; 1 (2)其他面的淋雨量之和, 其值为2.记 y 为 E 移动过程中的总 3 淋雨量.当移动距离 d=100,面积 S=2时, ①写出 y 的表达式; ②设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移 动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

解析: 3 1 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为20|v-c|+2, 1? 5 100? 3 故 y= v ?20|v-c|+2?=v(3|v-c|+10). ? ? (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15. v

?5?3c+10? -15,0<v≤c, ? v 故 y=? ?5?10-3c?+15,c<v≤10. v ? 10 ①当 0<c≤ 3 时, y 是关于 v 的减函数. 故当 v=10 时, ymin 3c =20- 2 . 10 ②当 3 <c≤5 时, 在(0, c]上, y 是关于 v 的减函数; 在(c,10] 50 上,y 是关于 v 的增函数,故当 v=c 时,ymin= c .

[对点训练] 9.(2013· 长春联考)某位股民购进某支股票,在接下来的交 易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又 经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况 (不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

解析:设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后 的价格为 a(1 + 10%)n = a×1.1n ,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1 - 10%)n = a×1.1n×0.9n = a×(1.1×0.9)n = 0.99n· a< a,故该股民这支股票略有亏损. 答案:B

10.(2013· 河北质检)如图,直角坐标平 面内的正六边形 ABCDEF 的中心在原点, 边长为 a,AB 平行于 x 轴,直线 l:y=kx +t(k 为常数)与正六边形交于 M、N 两点, 记△OMN 的面积为 S,则关于函数 S=f(t) 的奇偶性的判断正确的是( ) A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关

解析:设 M 点关于原点的对称点为 M′,N 点关于原点的 对称点为 N′,易知点 M′、N′在正六边形的边上.当直线 l 在某一个确定的位臵时, 对应有一个 t 值, 那么易得直线 M′N′ 的斜率仍为 k,对应的直线 M′N′在 y 轴上的截距为-t,显然 △OMN 的面积等于△OM′N′的面积,因此函数 S=f(t)一定是 偶函数,选 B. 答案:B

易错矫正(三) 忽视分段函数中自变量的限制条件致误 [考题范例] (2013· 杭州月考) 2 ? ?x +bx+c?x≤0?, 设函数 f(x)=? ? ?2 ?x>0?, 若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

[失误展板] 错解:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c. 因为 f(-2)=f(0),f(-1)=-3, 2 ? ? ??-2? -2b+c=c, ?b=2, 所以? 解得? 2 ? ? ??-1? -b+c=-3. ?c=-2. 所以
2 ? ?x +2x-2,?x≤0? f(x)=? ? ?2, ?x>0?

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得 x2+2x-2=x 得 x=-2 或 x=1; 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2. 所以方程 f(x)=x 的解为:-2、1、2.

错因: 当 x≤0 时, 由 f(x)=x 得出两个 x 值, 但其中的 x=1 不符合 要求,上述解法中没有舍去此值,因而导致了增解.分段函数问 题分段求解,但一定注意各段的限制条件.

[正确解答] 解析:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,因为 f(-2)=f(0), 2 ? ? ??-2? -2b+c=c, ?b=2, f(-1)=-3,∴? 解得? 2 ? ? ??-1? -b+c=-3, ?c=-2,
2 ? ?x +2x-2?x≤0?, ∴f(x)=? ? ?2 ?x>0?.

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去. 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2.

关注考向 前瞻预测

以新定义的方式考查函数的图象和性质是高考命题的一个 新动向, 主要考查学生在新的情景中使用已知的数学知识分析解 决问题的能力.2013 年辽宁卷第 12 题是一个突出的范例.

(2013· 辽宁卷)已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2 +2(a-2)x-a2+8.设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x), g(x)}(max{p,q})表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中 的较小值),记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B =( ) A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16

解析: f(x)=x2-2(a+2)x+(a+2)2-4a-4=[x-(a+2)]2-4a-4. g(x)=-[x2-2(a-2)x+(a-2)2]+12-4a =-[x-(a-2)]2+12-4a. ∴A-B=-4a-4-(12-4a)=-16. 答案:C

设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D,存在唯 f?x1?+f?x2? 一的 x2∈D,使得 =C 成立(其中 C 为常数),则称函数 2 y=f(x)在 D 上的均值为 C,现在给出下列 4 个函数:①y=x3;② y=4sinx;③y=lgx;④y=2x.则在其定义域上的均值为 2 的所有 函数是( ) A.①② B.③④ C.①③④ D.①③

解析:经验证,①③是正确的;对于②,x2 不唯一;对于④, 若满足题中的定义,则 f(x1)+f(x2)=4,f(x2)=4-f(x1),由 x1 的 任意性,知 f(x2)需满足能取到负值,而这是不可能的.故选 D. 答案:D


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