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北师大版必修5数列全章5节学案:高二数学等比数列和通项公式


§1.4 等比数列的概念和通项公式
●学习目标 1.理解等比数列的概念;能根据定义判断一个数列是不是等比数列; 2.类比等差数列的通项公式,探索“累乘法”求等比数列的通项公式,掌握求等 比数列通项公式的方法,并能用公式解决一些简单的实际问题; 3.能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数、指定的项; 3.深刻理解等比中项概念,熟练掌握等比数列的性质; ●教学重点

等比数列的概念,等比数列通项公式、性质的推导与应用; ●教学难点 概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法;体会等比数列与指数函数之间 的联系;灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题; ●内容归纳 1.等比数列定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比 q .即:

an?1 ? q (n? N? ,q ? 0 ) an
注意:隐含条件:任一项 an ? 0且q ? 0 ; 2.等比数列的通项公式推导 (1)归纳法:与等差数列通项公式推导类似 (2)累乘法:由等比数列的定义,前 n ? 1 个等式有:

a3 an a2 ? q, ?q ?q a2 a1 an ?1 ; ;??;
a a a a 1 将上述 n ? 1 个等式相乘, 便可得: 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? q n?1 , an ? a1 ? q n?( n ? 2 ) 即: a1 a2 a3 an?1
当 n ? 1 时,左边 ? a1 ,右边 ? a1 ,所以等式成立, ∴等比数列通项公式为:
an ? a1 ? q n?1
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又由等比数列定义,有 an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 注意: (1)既是等差又是等比数列的数列:当公比 q ? 1 时该数列既是等比数列也 是等差数列。既是等差又是等比数列的数列:非零常数列。 (2)等比数列的单调性:由 an ? an?1 ? a1q n ?1 ? a1q n ?2 ? a1q n ?2 (q ? 1)
1 ○当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列 {a n } 是递增数列; 2 ○当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,等比数列 {a n } 是递减数列; 3 ○当 a1 ? 0 , q ? 1 时,等比数列 {a n } 是递减数列; 4 ○当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,等比数列 {a n } 是递增数列; 5 ○当 q ? 0 时,等比数列 {a n } 是摆动数列; 6 ○当 q ? 1 时,等比数列 {a n } 是常数列。

(3)等比数列与函数:等比数列的通项公式 an ? a1q n ?1 是一个常数与指数式的乘 积,表示这个数列的各点 (n, an ) 均在函数 y ? a1q x ?1 的图象上的一些孤立点. (4)若 ?a n ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ?、{
an }也是等比数列; bn

3.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a, G, b 成等比数列,那么称这个 数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab ( a , b 同号) ; 4.等比数列的性质: (1)若 {an } 为等比数列,则 an ? am q n ? m ; (2)若 {an } 为等比数列, m ? n ? p ? q (m, n, q, p ? N ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ; (3) 若一个数列{an } 的通项公式为 an ? aq n (a ? 0, q ? 0) , 则这个数列是首项为 aq , 公比为 q 的等比数列. 5.求公比的方法:
a a (1) q ? 2 ? 3 a1 a2 a (2) q ? n an ?1

? a ? n ?1 ? a ? n ? m (3) q ? ? n ? = ? n ? ? a1 ? ? am ?
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1

6.证明数列是等比数列的方法: 定义法,中项法,通项公式法 ●例题与练习
1 1 1 1 1. 判断下列数列是否为等比数列: 1,1,1,1 ; 0,1, 2, 4,8 ; 1,? , ,? , ; (1) (2) (3) 2 4 8 16 1 2.求出下列等比数列中的未知项: (1) 2, a,8 ; (2) ?4, b, c, ; 2

3. 在等比数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3 , q ? ?2 ,求 a6 ; (2)已知 a3 ? 20 , a6 ? 160 ,求 an ; (3)已知 a5 ? 4 , a7 ? 6 ,求 a12 ; (4)已知 a3 ? 16, a1a 2 ? a10 ? 2 65 ,求 a n 与 a 6 ; (5)已知 a 7 ? 64, a9 ? 256 ,求 a n ; (6)已知 a4 ? a2 ? 24 , a2 ? a3 ? 6 , an ? 125 ,求 n ; (7)已知 a1 ? a3 ? 10 , a4 ? a6 ?
5 ,求 a n ; 4

(8)已知 a3 ?a4 ?a5 ? 8 ,求 a2 a3 ?a4 ?a5 ?a6 ; 4.(1)求等比数列 1,? 2 ,2, ? 第 11 项,第 30 项; (2)在 2 与 32 之间插入 3 个数 ,使它们成等比数列,求这三个数; (3)在 243 和 3 中间插入 3 个数,使这 5 个数成等比数列,求这三个数; 5.设 {an } 是正数组成的等比数列,公比 q ? 2 ,且 a1a2 a3 ? a30 ? 230 ,求 a3a6 a9 ? a30
2 6. (1)在等比数列 {an } 中,是否有 an ? an ?1 ? an ?1 ( n ? 2 )? 2 (2)在数列 {an } 中,对于任意的正整数 n ( n ? 2 ) ,都有 an ? an ?1 ? an ?1 ,那么数列

{an } 一定是等比数列.

7.已知等比数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 3? 2 n ,求首项 a1 和公比 q . 8.如果一个数列{an } 的通项公式为 an ? aq n (a ? 0, q ? 0) ,那么这个数列为等比数列数 列吗?
b 1 9.已知 {an },{bn } 是项数相同的等比数列,求证: { } , {an 2 } , {an ? bn } , { n } 均 an an
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是等比数列. 10. 三个数成等比数列,它们的和等于 14,它们的积等于 64,求这三个数. 11.有四个数,前三个成等比数列,且积为 27,后三个数成等差数列,且和为 18, 求些四个数. 12.已知等差数列 {an } 的 公差和等比数列{bn } 的公比都是 d ,且 d ? 1 ,又有 a4 ? b4 ,
a10 ? b10 , (1)求 a1 和 d 的值 (2)b16 是不是{an } 中的项?

13.有三个正数成等比数列,其和为 21,若第三个数减去 9,则它们成等差数列, 求这三个数. 14.已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数. 15.已知数列 {an } 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 {an } 的通项公式. 3

16.已知等比数列 {an } , a3 a11 ? 4a7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 a7 ? b7 ,求 b5 ? b9 . 17.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ? ) (1)求证:数列 {a n ? 1} 成等比数列; (2)求 a n 18.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? 等比数列.
1 19.已知数列 {an } 前 n 项和为 S n , S n ? (an ? 1) ,求证数列 {an } 为等比数列. 3 3 3 1 20.数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a 2 ? , an? 2 ? a n?1 ? an (n ? N *). 2 2 2

an ? an ?1 ,令 bn ? an ?1 ? an ,证明 {bn } 是 2

(1)记 d n ? a n ?1 ? a n ,求证: {d n } 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)令 bn ? 3n ? 2 ,求数列 {a n ? bn } 的前 n 项和 S n 。

●内容小结 本节课学习了以下内容:本节课主要学习了等比数列的定义,即: 等比数列的通项公式 an ? a1 ? q n?1 的推导过程与应用。

an ? q (q ? 0) ; an?1

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