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1.2.1 排列(二)12112701


1.2.2 排列(2)

知识回顾
排列定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.

排列数定义: 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所 有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m元素的排列数, m 记作 An .
m,n所满足的条件是:

⑴m∈N*,n∈N* ;⑵ m≤n .

A

m n

取出元素数

元素总数下标

排列的第 一个字母

注意 :“ 一个排列”与“排列数”的不同:“一个排 列”是指“从n个不同元素中,任取m个元素按照一 定的顺序排成一列” ;“排列数”是指“从n个不 同元素中取出m个元素的所有排列的个数” .

排列数公式:

m An ? n ? n ? 1?? n ? 2? ?????? ? n ? m ? 1?

排列数公式的特点: (m,n∈N* 且 m≤n ) ⒈ m个连续正整数的连乘积; ⒉ 最大因数为n以下依次减1,最小因数是(n-m+1). 全排列数: 全排列:从n个不同素中取出n个元素的一个排列称 为n个不同元素的一个全排列 .
n ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? ? ? 2 ? 1= n! 全排列数为 An

排列数公式的阶乘形式:
m m An ? A n ?

?n?n ? ? ? ?n ? m ? 1???n ? m ??n ? m ? 1? ? ? ? ?2 ? 1 n1 ! ??n ? 2? ?规定 : 0!=1 . ? ??n ? m ? 1? ? ? ? ?2 ? 1 n ? m ( n ? m )!

m 说明: 一般地:连乘形式用于 An 值的计算;阶乘 m 形式用于有关 An 的式子化简。

例1:计算:⑴ A

3 16

6 4 A ⑵ 6 ⑶ A6

6 ⑷ A8

3 解:⑴ A16 =16×15×14 = 3360 .
6 ⑵ A6 = 720 . = 6!

4 ⑶ A6 = 6×5×4×3 = 360 .

8! 40320 8! ? 20160 . ? ? ⑷A ? 2 (8 ? 6)! 2!
6 8

例2:求证:A ? mA
m n

m ?1 n

?A

m n ?1

n! n! 证明:左式= ————— + m ——————— (n-m)! (n-m+1)!
n!(n-m+1)+n!· m = ———————————— (n-m+1)! n!(n+1) = ————— (n+1-m)! (n+1)! = Am = —————— n?1 =右式 (n+1-m)!

? A ? mA
m n

m ?1 n

?A

m n ?1

.

m 想一想: 如果 An ? 17 ? 16 ??? 5 ? 4 , 14 . 17 , 那么 n ? _____ m ? ______

n ?1 n 想一想:An ?1 ? An?1 成立吗?
n?1 n An ? ( n ? 1) A ?1 n 成立吗?
n?1 分析:An ?1 ? ( n ? 1)!

n ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ? ? ? ? ?3 ? 2 ?1 An ?1 ? ? ( n ? 1)! ? ( n ? 1) ? n !

n?1 n ? An ? A ?1 n?1 成立 .
n?1 n An ? ( n ? 1) A ?1 n 成立 .

例3:某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加, 每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次,共进 行多少场比赛?
解:任何两队间进行1次主场比赛与客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列, 因此总共进行的比赛场次是

A ? 14 ? 13 ? 182?场?
2 14

答:一共进行182场比赛 .

例4(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人 各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不的书,要买3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法?
解: (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学, 对 应于从5个元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送 3 法的种数是 A5 =5×4×3=60.

(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5 种不同的选购法,因此送给3名同学每人1本书的不同方 法种数是 5×5×5=125.
2

例5:某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直 的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并 且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种 不同的信号? 分析:(1)要做一件什么事?怎样就叫把这件事做完 了?(2)什么叫不同信号?为什么是排列问题? 1 解:分为三类: 第一类挂一面旗:有 A3 种信号; 2 第二类挂二面旗:有 A3 种信号; 3 A 第三类挂三面旗:有 3 种信号.
1 2 3 由分类计算原理:A3 +A3 +A3 = 3+3×2+3×2×1 = 15

答:一共可以表示15种不同的信号 .

例6:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重 复数字的三位数? 分析: 条件限制:百位上不能排0,即百位上只能排1到9这九 个数字中的一个. 分步完成:第一步选元素占据特殊位置,第二步选元素 占据其余位置. (着眼于特殊位置) 解法1:分两步完成。 第一步从1到9这九个数中任选一个占据百位, 1 A 有 9 种方法。 第二步从余下的九个数(包括数字0)中任选 2 2个占据十位、个位,有 A9 种方法。
1 2 由分步计数原理: A9 ? A9 = 9×9×8 = 648.

例6:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重 复数字的三位数? 分析:着眼于特殊元素
解法2:符合条件的三位数可以分三类: 第一类每一位数字都不是0的三位数有 A 个
2 第二类个位数字是0的三位数有 A9 个
2 第三类十位数字是0的三位数有 A9 个

3 9

根据分类计数原理得:A +A +A

3 9

2 9

2 9=

648.

思考:用 0 到 9 这十个数字,可以组成 多少个没有重复数字的三位偶数?
分类: 0在十位
百位 十位 个位

0

百位 十位 个位

0在个位
没有0

1 1 4 8 百位 十位 个位

A ?A

0

A
法 2:

2 9

A ?A
1 4

2 8
1 4

1 1 1 ? 328 . A92 ? A4 ? A8 ? A8

共有:

A ? A ? A ? ? A ? A ? 328
1 4 1 8 2 9 2 8

思考:还有没有其他的分类方法?

思考:用 0 到 9 这十个数字,可以组成 多少个没有重复数字的三位偶数?
间接法: 个位是偶数的所 有三位“数”
- 其中百位是0的

百位 十位 个位

百位 十位 个位

0

A

2 9
2 9

A
1 5

1 5
1 8 1 4

A A

1 8

1 4

A ? A ? A ? A ? 328 .

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (1)若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?

捆绑法 有条件的排列问题

5 A 解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 5 种 3 排法,而三个女孩之间有A3 种排法,所以不同的排

5 3 ? A3 ? 720(种)。 法共有:A5

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。

(2)若三个女孩要站在一起,四个男孩也 要站在 一起,有多少种不同的排法?

不同的排法有:

(种) A ? A ? A ? 288
2 2 3 3 4 4

说明:

捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。

例 9 随 着人们生活水平的提 高 ,某城市家 庭汽车拥有量迅速增长 ,汽车牌照号码需要 扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组 成办法, 每一个汽车牌照都必须 有 3 个不重 复的英文字母和3 个不重复的阿拉伯数字, 并且3个字母必须合成一组出 现,3个数字也 必须合成一组出现 .那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照 ?

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (3) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

4 解:先把四个男孩排成一排有A4 种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入 4 3 3 ? A5 ? 1440 空档中有A5 种方法,所以共有: A4 (种) 排法。 插 空 法

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (4) 若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 有多少种不同的排法?

不同的排法共有:

(种) A ? A ? 144
4 4 3 3

说明:插空法一般适用于互不相邻 问题的处理。

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多 少种不同的排法?
解: A 在 B 左边的一种排 法必对应着 A 在 B 右边的 一种排法,所以在全排列 中,A在B左边与A在B右边 的排法数相等,因此有:
1 2

A

B

B

A

(种) A ? 2520
7 7

排法。

例7.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多 少种不同的排法?

对应思想

A
5 7

B

A ? 2520

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成两排照相留念。

(6)若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小孩 必须站前排且相邻,有多少种不同的排法?

B A
2 2A 解:A,B两小孩的站法有: (种),其余人的站法 2 5 2 5 有A5(种),所以共有 2 A2 (种) 排法。 ? A5 ? 480

课后作业
1. 教辅课时作业第25页 1.2.2 2. 教辅第51页~53页 3. 预习教辅第53页~56页


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