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2.2平面向量的线性运算

时间:2013-08-22


平面向量的线性运算
——向量的加法运算

从运动的合成看向量运算
在大陆和台湾没有直航之前,台湾同胞要到上海 探亲,得乘飞机要先从台北到香港,再从香港到 上海,那么这两次位移之和是什么?

??? ??? ???? ? ? 位移 AB + BC = AC
C 上海 台北 香港 A B

从力的合成看向量运算
橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点; 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系? F1+F2=F
E
O

E
O

F

F

F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线

向量的加法运算
??? ??? ???? ? ? 运动的合成 AB + BC = AC
力的合成 F1 + F2 = F
F2 A F1 B

C

F

数的加法启发我们,从运算的角度看, AC可以认为 是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的 合成可以看作向量的加法。

向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量的加法法则:三角形法则、平行四边形法则

? ? ? ? 已知向量a , b , 求作向量a ? b

a

向量加法法则
B

b a

a?b
作法:

b


b

a

A

a?b
B C

C

作法:

1.在平面内任取一点 A 2.作 AB ? a , BC ? b 则向量 AC ? a ? b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型

1.在平面内任取一点O 2.作OA ? a , OB ? b 则向量OC ? a ? b
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型

向量加法法则总结与拓展
向量加法的三角形法则: 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 向量加法的平行四边形法则: 1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 三角形法则推广为多边形法则:
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 多个向量相加, 如:AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF ,

这时也必须“首尾相连”.

探究一:当向量共线时,如何相加?
(1)同向 (2)反向

a

a

b
A B C B

b
C A

???? ? ? AC = a + b
规定: ? 0 ? 0 ? a ? a a

???? ? ? AC = a + b

探究二:向量的加法是否具备交换律和结合律?
数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R, 有a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) 向量的加法具备吗?你能否画图解释?

向量加法满足交换律和结合律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? a (a+b)+c ? a ? (b ? c)

以上两个运算律可以推广到任意多个向量.

练习:化简 (1) AB ? CD ? BC ? ________

(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ ??? ??? ??? ???? ? ? ? (3) AB ? BD ? CA ? DC ? _____

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[课本例题]长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1) 用向量表示江水速度、船速、船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小和方向. [类似题]某人在静水中游泳速度为 4 2千米/小时,他在 水流速度为4千米/小时的河中游泳,必须朝哪个方向游, 才能沿与水流垂直的方向向前进?实际前进的速度为多 少?

下列命题中, 正确的个数有 _________ . (1)若非零向量a与b的方向相同或相反,那么a ? b的方向 必和a, b之一的方向相同; ( 2)△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ( 4)若a, b均为非零向量,则 a ? b 与 a ? b 相等; (5)若向量a, b反向,且 a ? b , 则a ? b与a的方向相同.

(3)若 AB ? BC ? CA ? 0,则A, B , C为一个三角形的三顶点;

完成课本84页练习

平面向量的线性运算
——向量的减法运算

预备知识:相反向量
类比实数的相反数的概率,定义相反向量: 与a长度相等,方向相反的向量, 叫做a的相反向 量,记作-a ; -a与a互为相反向量 规定:零向量的相反向量仍是零向量 所以: 1、-(-a)=a;2、a+(-a)=(-a)+a=0; 3、 a=-b,b=-a,a+b=0 向量的减法:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于 加上这个向量的相反向量

a
b
?b
O

a ? (?b)

a
b

a ?b

向量减法法则

a

a
a ?b

A

O

a
b?a

A

b b
B

b
B

作法:在平面内任取一点O , 作OA ? a , OB ? b, 则BA ? a ? b.

要点:1.平移到同一起点;2.指向被减向量.

探究三:当向量共线时,如何相减?
(1)同向

a b
a ?b

(2)反向

a
b

a
b

a ?b

探究四:平行四边形法则的两条对角线
D C

a
A

AC ? a ? b BD ? AD ? AB ? a ? b

b

B

探究五:向量的三角形不等式
问题一: ? b 与a ? b 、 ? b 的大小关系如何? a a

a ? b ? a?b ? a ? b
问题二:上述不等式等号何时成立?
问题三:对于实数a, b,是否有类似的结论?

探究六:向量加减法与平行四边形形状
当非零不共线向量a , b满足什么条件时,有 (1)a ? b与a ? b互相垂直? ? a ? b ? 菱形 ( 2) a ? b ? a ? b ?
? a ? b ? 矩形

1.随意画三个互不共线的向量a , b, c , 作出a ? b ? c和a ? b ? c 2.正方形ABCD边长为1,设 AB ? a , BC ? b, AC ? c , (1)求作向量a ? b ? c,并计算 a ? b ? c ( 2)求作向量a ? b ? c,并计算 a ? b ? c 3.化简:) AB ? AD ? DC ; ( 2) AB ? CD ? AC ? BD (1 (3) AB ? MB ? BO ? OM
完成课本87页练习

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平面向量的线性运算
——向量数乘运算

已知非零向量a , 作出a ? a ? a和( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ), 你能说明它们的几何意 义吗?
a a O A a B a C -a -a -a

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? ( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ) 记作 ? 3a

3a与a的方向相同 3a ? 3 a

? 3a与a的方向相反 ? 3a ? 3 a

向量的数乘运算的定义
实数? 与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘 . 记作? a,它的长度和方向规定如下: (1) ? a ? ? a ;

你能说出向量 ( 2)当? ? 0时,? a的方向与a的方向相同; 数乘运算的几 何意义吗? 当? ? 0时,? a的方向与a的方向相反;
当? ? 0时,? a ? 0.
几何意义: (1) ? 可视为将向量a的长度 a 伸长或缩短; ( 2)? 的符号表示是否改变向 量a的方向.

数乘向量运算律
推广出数乘向量的运算律 .

思考:)3( 2a )和6a有什么关系?2)2a ? 2b与2 a ? b 呢? (1 (

? ?

? ,?是实数,

数乘结合律 第一分配律 第二分配律

(1)? ( ? a ) ? ( ?? )a; ( 2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? (a ? b ) ? ? a ? ? b.

1.如何证明? 2.如何解释运算 律的几何意义, 尤其是(3)?

向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
对于任意向量a , b,以及任意实数? , ?1 , ?2, 恒有?(?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ?? 2 b

概念辨析 1.已知a , b是两个非零向量, 下列说法正确的有 _____.
2 (1) ? 2a的方向与5a的方向相反,且 ? 2a的模是 5a的模的 ; 5 ( 2)a ? b与 ? b ? a ( )是一对相反向量; (3)若a , b不共线,则? a (? ? 0)与b不共线; 2.下列说法正确的个数是 _______ (1)若? a ? 0,则? ? 0; )若? ? 0,则? a ? 0; (2 (3)若非零向量a , b满足 a ? b ? a ? b , ?? ? 0, 则? a与? b同向; ( 4)对于实数m 和向量a , b,若m a ? m b, 则a ? b; (5)对于实数m , n和向量a,若m a ? na , 则m ? n; (6) ? a ? ? a; (7 )? ( ? ? a ) ? ?? ? ? a .

线性运算练习
1.[ 课本例题 ]计算:)( ?3) ? 4a; (1 ( 2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a; (3)( 2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c ) 2? 1 1 ? 2.化简 ?( 4a ? 3b ) ? b ? (6a ? 7b )? 3? 3 4 ?

2 ? ?1 ? ? 3.设向量a ? 3i ? 2 j , b ? 2i ? j , 求? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 2b ? a 3 ? ?3 ? ? 4.已知3( x ? a ) ? 2( x ? 2a ) ? 4( x ? a ? b ) ? 0, 求 x 5.已知a , b且5 x ? 2 y ? a ,3 x ? y ? b, 求 x,. y

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完成课本90页练习2~5

平面向量共线定理

共线定理
对于向量a和b,以及实数? 问题1:如果b ? ? a,那么向量a和b是否共线? 问题 2:如果向量a和b共线,那么是否存在一个 实数,使得b ? ? a ?

向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数?,使得b ? ? a 即a(a ? 0) // b ? 存在唯一? ? R,使得b ? ? a

定理的应用: 证明 向量共线 证明 三点共线: AB ? ? BC ? A, B, C三点共线 证明 两直线平行: AB ? ? CD ? AB // CD ? ?

? ? AB // CD AB, CD不在同一条直线上? ?

1[课本例题 ] 已知任意两个非零向量 a , b,作OA ? a ? b, OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b, 判断ABC三点的位置关系.

C

B

? 3b

A

? a

? b

? 2b

? b
O

? a

[类似题 ] 已知非零向量e1和e2不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 e1 ? e2 , 证明:ABD三点共线. 2.[逆向使用] 已知非零向量e1和e2不共线,欲使k e1 ? e2和 e1 ? k e2 共线,确定实数k的值.

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3.[ 课本例题 ]如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB ? a , AD ? b,用a , b表示 MA, MB, MC , MD. [类似题1]如图,在△AOB中,延长 BA到C, 1 使AC ? BA,在 OB上取点 D,使 DB ? OB, 3 DC与OA 交于点 E,设OA ? a,OB ? b, 试用a,表示OC , DC . b [类似题 2]如图,平行四边形 ABCD的边 BC , CD的中点分别为 K , L,且 AK ? e1 , AL ? e 2,试用e1,2 表示 BC , CD. e

探究:
问题:已知OA和OB不共线, ? t AB( t ? R ), AC 试用OA和OB表示OC .
1 特例:对于OC ? (1 ? t )OA ? t OB ,当t ? 时,你知道其几何意义吗? 2
OA ? OB 中点公式向量表示法:C为AB中点,则OC ? 2

一般地:对于OC ? ? OA ? ? OB , A, B , C三点共线与? , ?的值有什么关系?

A, B , C三点共线 ? 存在实数? , ?,且? ? ? ? 1, 使得OC ? ? OA ? ? OB

探究:
问题:A, B , C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若 GA ? GB ? GC ? 0,则G在三角形内的什么位置?

G是△ABC重心 ? GA ? GB ? GC ? 0(G在△ABC内)
OA ? OB 类比:C为线段AB中点,则OC ? 2 G为△ABC的重心,则OG与OA, OB , OC 有什么关系?

G是△ABC重心, O为平面内不同于G的任意一点, 1 则OG ? OA ? OB ? OC 3

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证明几何问题
1.用向量证明:三角形两 边中点的连线平行于第 三边且 等于第三边的一半. [类似题 ] ABCD为一个四边形, E , F , G , H分别为BD, AB, AC , CD的中点,求证:四边形 EFGH为平行四边形. 2.已知D , E为△ABC的边AB, AC的中点,延长 CD至M使 DM ? CD,延长BE至N使BE ? EN,求证:M , A, N三点共线. [类似题 ]平行四边形OACB中,BD ? 1 求证:BE ? BA. 4 1 BC,OD与BA相交于E , 3


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必修4第二章2.2平面向量的线性运算

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