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宁夏银川一中2013-2014学年高二上学期期末考试试题数学(文)试题


银川一中 2013/2014 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(文科)
命题人:赵冬奎
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ?

) C. y ? 2 D. y ? ?2

1 32

1 32

y 2 x2 2.经过点 M (2 6 ,?2 6 ) 且与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线的双曲线方程为( 3 4
A.



y2 x2 ? ?1 6 8

2 2 B. y ? x ? 1

8

6

2 2 C. x ? y ? 1

8

6

2 2 D. x ? y ? 1

6

8

3.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定是( A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 C.存在一个奇数,不能被 5 整除 4. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2



B.所有奇数都不能被 5 整除 D.存在一个被 5 整除的整数不是奇数

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 D. 4



A. ?2

B. 2

5.已知两点 F1 (?1,0) 、 F 2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方 程是( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 4 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 4


2 6.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (

A. 1
2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1

7. 抛物线 y ? 2 px 上一点 Q (6, y 0 ) ,且知 Q 点到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离是 ( A.4 ) B. 8 C. 12 D. ) 16

8. 曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为(

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A.30° 9.有如下四个命题:

B.60°

C.45°

D.120°

①命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0 ”
2

②若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p为:?x ? R,x ? x ? 1 ? 0
2 2

③若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ④“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 其中错误 命题的个数是( .. A.0 个 B. 1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

10.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.4 )

11. 如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
B.

A. m ? 2

m ? 1或 m ? 2

C. ? 1 ? m ? 2

D.

? 1 ? m ? 1或 m ? 2
f ( x) >0 的解集为 x

12. 定义在 (0,+ ∞)上的可导函数 f(x)满足 f′(x)· x<f(x),且 f(2)= 0,则 ( ) A.(0,2) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是___________. 14. 设点 A 为双曲线 ____________.
2 2 15. 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) ? y ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则这个动圆圆心的轨

x2 y2 = 1 的右顶点,则点 A 到该双曲线的一条渐近线的距离是 12 4

迹方程是_______________. 16.已知函数 f(x)= 3x+a 在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是________. x+2

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 已知两定点 A ? ?2, 0 ? , B ?1, 0 ? ,动点 P 满足 PA ? 2 PB 。
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(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹为曲线 C ,试求出双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的渐近线与曲线 C 的交点坐标。 9

18.(本小题满分 12 分) 已 知 a ? 0 , 命 题 p : ?x ? 0, x ?

a ? 2 恒成立;命题 q :“直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 有公共点”, 若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4, 求点 M 的轨迹方程.

1 . 3

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x . 12 2
? ?) 上的单调递增函数,求 a 的取值范围.

(1)如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值; (2)如果函数 f ( x) 是 (??,

22. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 ,0). 2 3 a b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若过原点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 交于 A , B 两点,求证:点 O 到直线
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AB 的距离为定值.

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高二期末数学(文科)试卷参考答案
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 B 10 A 11 D 12 A

13. [1,2)

14.

3

x2 y2 15. 25 ? 9 ? 1 16.(6,+∞)

17.解: (1)设点 P ( x, y ) ,由题意: PA ? 2 PB 得:

( x ? 2) 2 ? y 2 ( x ? 1) 2 ? y 2

?2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分
2 2

整理得到点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 4 x ? 0 (1) 双曲线 x ?
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分

y2 ? 1 的渐近线为 y ? ?3 x , 9
,得交点坐标为

解方程组 ?

? x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ? y ? ?3 x

2 6 2 6 (0, 0), ( , ), ( , ? ) 5 5 5 5

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

18.解:当 p 为真命题时:对 ?x ? 0 ,? x ?

a a (a ? 0) ,所以要使 x ? ? 2 恒成 ?2 a, x x

立,应有 2 a ? 2,? a ? 1. …………………………5 分 当 q 为真命题时 由?

?x ? y ? a ? 0
2 2 ?( x ? 1) ? y ? 1

则 2 x ? 2( a ? 1) x ? a ? 0
2 2

?


? ? 4( a ? 1) 2 ? 8a 2 ? 0

1? 2 ? a ? 1? 2

………………… 10 分

因 p ? q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题, 则 1 ? a ? 1?

2 , a ? [1,1 ? 2 ]

………………… 12 分

19. 解(1) ?? ?,1? 和 ?2,?? ? 是增区间; ?1,2 ? 是减区间--------6 分 (2)由(1)知 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;----------9 分 因为方程 f ( x) ? 0 仅有三个实根.所以 ?

? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0

解得: 2 ? a ?

5 ------------------12 分 2
y H M l F1 O F2 x

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20.(1)设椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c. 由已知,2a=12,所以 a=6. 又 (2 分) (4 分)

c 1 = ,即 a=3c,所以 3c=6,即 c=2. a 3

于是 b2=a2-c2=36-4=32. 因为椭圆的焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程是

x2 y2 + = 1. 36 32

(6 分)

(2)法一:因为 a=6,所以直线 l 的方程为 x=-6,又 c=2,所以右焦点为 F2(2,0) 过点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 H,由题设,|MF2|=|MH|-4. 设点 M(x,y),则 (x - 2) + y = (x + 6) - 4 = x + 2 . 两边平方,得 (x - 2) + y = (x + 2) ,即 y2=8x. 故点 M 的轨迹方程是 y2=8x.
2 2 2
2 2

(8 分) (10 分) (12 分)

法二:因为 a=6,c=2,所以 a-c=4,从而椭圆左焦点 F1 到直线 l 的距离为 4. (8 分) 由题设,动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线 x=-2 的距离相等,所以点 M 的轨迹是 以右焦点为 F2(2,0)为焦点,直线 x=-2 为准线的抛物线. (10 分)

显然抛物线的顶点在坐标原点,且 p=|F1F2|=4,故点 M 的轨迹方程是 y2=8x. (12 分) 21 .解析: f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) . …………1 分 4
………2 分

(Ⅰ)∵ f ?( x) 是偶函数,∴ a ? ?1 . 此时 f ( x) ?

1 3 1 x ? 3 x , f ?( x) ? x 2 ? 3 , 令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 . 12 4

列表如下:

x
f ?( x) f ( x)

(-∞,-2 3 ) + 递增

-2 3 0 极大值

(-2 3 ,2 3 ) - 递减

2 3 0 极小值

(2 3 ,+∞) + 递增

由上表可知: f ( x) 的极大值为 f (?2 3 ) ? 4 3 ,

f ( x) 的极小值为 f (2 3 ) ? ?4 3 . …………6 分
(Ⅱ)∵ f ?( x) ?
2

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) , 4 1 ? (4a ? 1) ? a 2 ? 2a ? 0,解得: 0 ? a ? 2 . …………8 分 4
? ?) 上为单调递增函数.

令 ? ? (a ? 1) ? 4 ?

这时 f ?( x) ? 0 恒成立,∴ 函数 y ? f ( x) 在 (??,
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综上, a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 2} .

……………12 分 …………4 分

x2 22. 解: (1) ? y2 ? 1 3

(2) 设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,若 k 存在,则设直线 AB:y=kx+m. …………5 分 由?

? y ? kx ? m ?x ? 3y ? 3
2 2

,得 (1 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0
2 2 2

6km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 3k 2 △ >0, ? 2 ? x x ? 3m ? 3 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?

…………6 分

△ 有 OA⊥OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m) =(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得 4 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 d= ……8 分

m k ?1
2

?

3 . 2

……10 分

当 AB 的斜率不存在时, x1 ? y1 ,可得 x1 ? 所以点 O 到直线 AB 的距离为定值

3 ? d ,依然成立. 2

……11 分

3 2

…… 12 分

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