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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.1合情推理与演绎推理教师用书文

时间:2017-10-13


12.1 合情推理与演绎推理

1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理(简称归纳法). ②特点:归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相 似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法). ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推 测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理. 简言之, 演绎推理是由一 般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——一般性的原理; ②小前提——特殊对象; ③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × )

1

(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三段 论推理,但其结论是错误的.( √ ) (5)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N ).( × ) (6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( × )
*

1.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =________. 答案 123

2

2

3

3

4

4

5

5

10

10

解析 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值 等于它前面两个式子右端值的和,依据此规律,a +b =123. 2.下面几种推理过程是演绎推理的是________. 1 1 ①在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳数列{an}的通项公式; 2 an-1 ②由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; ③两直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内 角,则∠A+∠B=180°; ④某校高二共 10 个班,1 班 51 人,2 班 53 人,3 班 52 人,由此推测各班都超过 50 人. 答案 ③ 解析 ①、④是归纳推理,②是类比推理,③符合三段论模式,③是演绎推理. 3.(2017·南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得 出空间内的下列结论: ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是________. 答案 ①④ 解析 显然①④正确;对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异 面或相交;对于③,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交.
10 10

2

4. (教材改编)在等差数列{an}中, 若 a10=0, 则有 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n (n<19,

n∈N*)成立, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若 b9=1, 则存在的等式为________________.
答案 b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N ) 解析 利用类比推理,借助等比数列的性质,
*

b2 9=b1+n·b17-n,
可知存在的等式为

b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*).
1 * 5.(2016·泰州模拟)若数列{an}的通项公式为 an= 2(n∈N ),记 f(n)=(1-a1)(1 ?n+1? -a2)?(1-an),试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)=________. 答案

n+2 2n+2

1 3 解析 f(1)=1-a1=1- = , 4 4

f(2)=(1-a1)(1-a2)= (1- )= = , f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)= (1- )= , n+2 推测 f(n)= . 2n+2
2 3 1 16 5 8

3 4

1 9

2 4 3 6

题型一 归纳推理 命题点 1 与数字有关的等式的推理 例 1 (2016·山东)观察下列等式:

?sin π ?-2+?sin 2π ?-2=4×1×2; ? ? ? ? 3? 3 ? 3 ? ? ?sin π ?-2+?sin 2π ?-2+?sin 3π ?-2+?sin 4π ?-2=4×2×3; ? ? ? ? ? ? ? ? 5? 5 ? 5 ? 5 ? 3 ? ? ? ? ?sin π ?-2+?sin 2π ?-2+?sin 3π ?-2+?+?sin 6π ?-2=4×3×4; ? ? ? ? 7? 7 ? 7 ? 7 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?sin π ?-2+?sin 2π ?-2+?sin 3π ?-2+?+?sin 8π ?-2=4×4×5; ? ? ? ? ? ? ? ? 9? 9 ? 9 ? 9 ? 3 ? ? ? ?
? 照 此 规 律 , ?sin

? ?

π ?-2 ? 2π ? - 2 ? 3π ? - 2 2nπ ? - 2 ? + ?sin + ?sin + ? + ?sin = ? ? ? 2n+1? 2n+1? 2n+1? 2n+1? ? ? ? ?
3

__________. 答案 4 ×n×(n+1) 3

4 解析 观察等式右边的规律:第 1 个数都是 ,第 2 个数对应行数 n,第 3 个数为 n+1. 3 命题点 2 与不等式有关的推理 1 4 x x 例 2 (2016·苏北四市联考)已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:x+ ≥2,x+ 2= + + x x 2 2 4

x2

27 x x x 27 a * ≥3,x+ 3 = + + + 3 ≥4,?,类比得 x+ n≥n+1(n∈N ),则 a=________. x 3 3 3 x x
n

答案 n

解析 第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=1 =1;第二个式子是 n=2 的情况,此时 a=2 =4;第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=3 =27,归纳可知 a=n . 命题点 3 与数列有关的推理
3

1

2

n

例 3 (2016·南京模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数, 如三角形数 1,3,6,10, ?, 第 n 个三角形数为

n?n+1? 1 2 1 = n + n, 记第 n 个 k 边形数为 N(n, k)(k≥3),
2 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?

N(n,3)= n2+ n, N(n,4)=n2, N(n,5)= n2- n, N(n,6)=2n2-n.
? 3 2 1 2

1 2

1 2

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. 答案 1 000 解析 由 N(n,4)=n ,N(n,6)=2n -n,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)=
2 2

k-2 2 4-k n+
2 2

n,
24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1 100-100=1 000.

命题点 4 与图形变化有关的推理 例 4 某种树的分枝生长规律如图所示,第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5,则预
4

计第 10 年树的分枝数为________.

答案 55 解析 由 2=1+1,3=1+2,5=2+3 知,从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第 6 年为 8,第 7 年为 13,第 8 年为 21,第 9 年为 34,第 10 年为 55. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与 项数的关系,列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其 真伪性. 1 1 1 3 * (2016·苏州模拟)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),经计算得 f(2)= , 2 3 n 2

f(4)>2, f(8)> , f(16)>3, f(32)> , 则可以归纳出一般结论: 当 n≥2 时, 有____________.
答案 f(2 )>
n

5 2

7 2

n+2
2

(n∈N )

*

4 5 6 2 3 4 解析 由题意知 f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> , 2 2 2

f(25)> ,
所以当 n≥2 时,有 f(2 )> 故填 f(2 )>
n n

7 2

n+2
2

.

n+2
2

(n∈N ).

*

题型二 类比推理 例5 → → → → (1)对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则|OB|OA+|OA|OB=0;将它类比到平面的

→ → → 情形是:若 O 是△ABC 内一点,有 S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0;将它类比到空间的情 形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. (2)(2017·苏州月考)求 1+ 1+ 1+?的值时, 采用了如下方法:令 1+ 1+ 1+?

5

1+ 5 =x, 则有 x= 1+x, 解得 x= (负值已舍去). 可用类比的方法, 求得 1+ 2

1 2+ 1 1 1+ 1 2+ ?

的值为________. → → → → 答案 (1)VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0 1+ 3 (2) 2 解析 (1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为 VO
-BCD

→ → → → ·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0.

1 1 (2)令 1+ =x,则有 1+ =x, 1 1 2+ 2+ ? x 1+ 3 解得 x= (负值已舍去). 2 思维升华 (1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出 猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类 比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等. 在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为 Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论: + + =1.把它类比到空间, 则三棱锥中的类似结论为______________________. 答案

Pa Pb Pc ha hb hc

Pa Pb Pc Pd + + + =1 ha hb hc hd

解析 设 ha,hb,hc,hd 分别是三棱锥 A-BCD 四个面上的高,P 为三棱锥 A-BCD 内任一点,

Pa Pb Pc Pd P 到相应四个面的距离分别为 Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论: + + + =1. ha hb hc hd
题型三 演绎推理 例 6 已知函数 y=f(x)满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a). (1)试证明:f(x)为 R 上的单调增函数; 4 9 (2)若 x,y 为正实数且 + =4,比较 f(x+y)与 f(6)的大小.

x y

(1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,

6

则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)为 R 上的单调增函数. 4 9 (2)解 ∵x,y 为正实数,且 + =4,

x y

1 4 9 ∴x+y= (x+y)( + ) 4 x y 1 4y 9x 1 = (13+ + )≥ (13+2 4 x y 4 4y 9x ? ?x=y, 当且仅当? 4 9 ?x+y=4, ? 4y 9x 25 · )= , x y 4 5 ? ?x=2, 即? 15 ?y= 4 ?

时取等号,

25 ∵f(x)在 R 上是增函数,且 x+y≥ >6, 4 ∴f(x+y)>f(6). 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理, 常用的一般模式为三段论, 演绎推理的前提和 结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可 找一个使结论成立的充分条件作为大前提. (1)某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所 以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为________. ①大前提错误 ③推理形式错误 (2)(2016· 南 京 模 拟 ) 下 列 四 个 推 导 过 程 符 合 演 绎 推 理 三 段 论 形 式 且 推 理 正 确 的 是 ________. ①大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无理数;结论:π 是无限不循环小数; ②大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无限不循环小数;结论:π 是无理数; ③大前提:π 是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π 是无理数; ④大前提:π 是无限不循环小数;小前提:π 是无理数;结论:无限不循环小数是无理数. 答案 (1)③ (2)② 解析 (1)因为大前提“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,小前提“参议员先
7

②小前提错误

生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段 论推理形式,所以推理形式错误. (2)①中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故①错误;③、④都不 是由一般性命题到特殊性命题的推理,所以①、③、④都不正确,只有②正确.

10.高考中的合情推理问题

考点分析 合情推理在近年来的高考中, 考查频率逐渐增大, 题型多为填空题, 难度为中档. 解决此类问题的注意事项与常用方法: (1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况 再进行归纳. (2)解决类比问题, 应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由, 再去类比另一类问题. 典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们 研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10, ?记为数列{an}, 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列{bn},可以推测: ①b2 014 是数列{an}的第________项; ②b2k-1=________.(用 k 表示) (2)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足:(ⅰ)T= {f(x)|x∈S};(ⅱ)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2).那么称这两个集合“保 序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是________. ①A=N ,B=N; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10}; ③A={x|0<x<1},B=R; ④A=Z,B=Q.
*

8

解析 (1)①an=1+2+?+n=

n?n+1?
2



b1= b2= b3= b4= b5= b6=
?

4×5 =a4, 2 5×6 =a5, 2 9×?2×5? =a9, 2 ?2×5?×11 =a10, 2 14×?3×5? =a14, 2 ?3×5?×16 =a15, 2

b2 014=

?2 014×5??2 014×5+1? ? 2 ?? 2 ? ? ?? ?
2

=a5 035.

②由①知 b2k-1= 5k?5k-1? = . 2

?2k-1+1×5-1??2k-1+1×5? ? ?? ? 2 2 ? ?? ?
2

(2)对于①,取 f(x)=x-1,x∈N , 所以 A=N ,B=N 是“保序同构”的,故排除①; -8,x=-1, ? ? 对于②,取 f(x)=?x+1,-1<x≤0, ? ?x2+1,0<x≤3, 所以 A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10}是“保序同构”的,故排除②; π 对于③,取 f(x)=tan(π x- )(0<x<1), 2 所以 A={x|0<x<1},B=R 是“保序同构”的, 故排除③. ④不符合,故填④. 5k?5k-1? 答案 (1)①5 035 ② (2)④ 2
*

*

9

1.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a∈R,结论是:a >0,那么这个演绎 推理出错在________. ①大前提 ③推理过程 答案 ① 解析 推理形式正确,但大前提错误,故得到的结论错误. 2.下列推理是归纳推理的是________. ①A,B 为定点,动点 P 满足 PA+PB=2a>AB,则 P 点的轨迹为椭圆; ②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式; ③由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab; ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 答案 ② 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以②是归纳推理, 其余都不是. 3.(2017·苏州质检)如图,有一个六边形的点阵,它的中心是 1 个点(算第 1 层),第 2 层 每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,?,依此类推,如果一个六边形点阵共有 169 个点, 那么它的层数为________.
2 2 2 2

2

②小前提 ④没有出错

x2 y2 a b

答案 8 解析 由题意知,第 1 层的点数为 1,第 2 层的点数为 6,第 3 层的点数为 2×6,第 4 层的 点数为 3×6,第 5 层的点数为 4×6,?,第 n(n≥2,n∈N )层的点数为 6(n-1).设一个 6n?n-1? * 点阵有 n(n≥2,n∈N )层,则共有的点数为 1+6+6×2+?+6(n-1)=1+ = 2 3n -3n+1,由题意得 3n -3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0,所以 n=8(舍去负值),故 共有 8 层. 4.(2016·扬州模拟)平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式 为 f(n)=__________.
2 2 *

10

答案

n2+n+2
2

解析 1 条直线将平面分成 1+1 个区域; 2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域; 3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??;n 条直线最多可将平面分成 1 +(1+2+3+?+n)=1+

n?n+1? n2+n+2
2 = 2

个区域.

5.(2016·徐州模拟)推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不 是矩形”中的小前提是________. 答案 ② 解析 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论. 6.给出下列三个类比结论: ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sin α sin β ; ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 其中正确结论的个数是________. 答案 1 解析 (a+b) ≠a +b (n≠1,a·b≠0),故①错误. sin(α +β )=sin α sin β 不恒成立. 如 α =30°,β =60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°= 故②错误. 由向量的运算公式知③正确. 7.把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表,设 aij(i,j∈N )是位于这个三角形 数表中从上往下第 i 行,从左往右数第 j 个数,如 a42=8,若 aij=2 009,则 i 与 j 的和为 ________.
* 2 2 2 2 2 2 2

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

3 , 4

答案 107 解析 由题意可知奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=2×1 005-1,所以 2 009
11

为第 1 005 个奇数, 又前 31 个奇数行内数的个数为 961, 前 32 个奇数行内数的个数为 1 024, 故 2 009 在第 32 个奇数行内,则 i=63,因为第 63 行第 1 个数为 2×962-1=1 923,2 009 =1 923+2(j-1),所以 j=44,所以 i+j=107. 8.已知等差数列{an}中,有

a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30
10 = 30

,则在等比数列{bn}中,类似

的结论为______________________. 答案
10

b11b12?b20= b1b2?b30

30

解析 由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20, ∴ b11b12?b20= b1b2?b30. 9.若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切点分别为 P1,P2, 则切点弦 P1P2 所在的直线方程是
10 30

x2 y2 a b

x0x y0y + =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0) a2 b2

x2 y2 在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切线,切点分别为 P1,P2,则切点弦 a b P1P2 所在直线的方程是________________.
答案

x0x y0y - =1 a2 b2

解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2 的切线方程分别是

x1x y1y x2x y2y - =1, 2 - 2 =1. a2 b2 a b
因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, 故有

x1x0 y1y0 x2x0 y2y0 - 2 =1, 2 - 2 =1, a2 b a b x0x y0y - =1 上, a2 b2

这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是

x0x y0y - =1. a2 b2

10.如图(1),若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2,则三角形面 积之比

S ?OM1 N1 S ?OM 2 N 2



OM1 ON1 · .如图(2),若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、OQ OM2 ON2

和 OR 上分别有点 P1、P2,点 Q1、Q2 和点 R1、R2,则类似的结论为_____________.

12

答案

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2



OP1 OQ1 OR1 · · OP2 OQ2 OR2

解析 考查类比推理问题,由图看出三棱锥 P1-OR1Q1 及三棱锥 P2-OR2Q2 的底面面积之比为

VO ? P1 Q1 R1 OQ1 OR1 OP1 · ,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为 ,故体积之比为 = OQ2 OR2 OP2 V
O? P 2 Q2 R2

OP1 OQ1 OR1 · · . OP2 OQ2 OR2
1 11.设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜 3+ 3 想一般性结论,并给出证明. 1 1 解 f(0)+f(1)= 0 + 1 3+ 3 3+ 3 = 1 1+ 3 + 1 3?1+ 3? = 3 3?1+ 3? + 1 3?1+ 3? = 3 , 3

同理可得 f(-1)+f(2)=

3 3 ,f(-2)+f(3)= . 3 3 3 . 3 1

由此猜想 f(x)+f(1-x)=

1 证明:f(x)+f(1-x)= x + 1-x 3+ 3 3 + 3 = 3 1 3 3+3 3 + + = = . x x= x x x 3 3 + 3 3+ 3·3 3 + 3 3? 3+3 ? 3? 3+3 ? 1
x x x

12. (2016·连云港模拟)某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个 常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 解 (1)选择②式,计算如下: 1 1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30°=1- = . 2 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) =sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α = sin α + 4 2 4 2 2 4 4 3 2 cos α = . 4 13.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的 导数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y =f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 1 3 1 2 5 函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)= x - x +3x- ,请你根据这一 3 2 12 发现, (1)求函数 f(x)的对称中心; (2)计算 f( 1 2 3 4 2 016 )+f( )+f( )+f( )+?+f( ). 2 017 2 017 2 017 2 017 2 017
2 3 2 2 2 2 2

解 (1)f′(x)=x -x+3,f″(x)=2x-1, 1 由 f″(x)=0,即 2x-1=0,解得 x= . 2

f( )= ×( )3- ×( )2+3× - =1.
1 3 1 2 5 1 由题中给出的结论,可知函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心为( ,1). 3 2 12 2 1 3 1 2 5 1 1 1 (2)由(1)知函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心为( , 1), 所以 f( +x)+f( -x)=2, 3 2 12 2 2 2 即 f(x)+f(1-x)=2. 1 2 016 故 f( )+f( )=2, 2 017 2 017

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

1 5 2 12

f( f(

2 2 015 )+f( )=2, 2 017 2 017 3 2 014 )+f( )=2, 2 017 2 017

14

?,

f(

2 016 1 )+f( )=2. 2 017 2 017

1 2 3 4 2 016 1 所以 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( )= ×2×2 016=2 016. 2 017 2 017 2 017 2 017 2 017 2

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