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高中《导数》知识点总结


《导数》知识点
一.导数公式: C ? ? 0

( xn )? ? nxn ?1
(e x )? ? e x

(sin x)? ? cos x
(log a x)? ? 1 x ln a

(cosx)? ? ? sin x
(ln x )? ? 1 x

(a x )? ? a x ln a

二.运算法则:(1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ;

(2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ;

? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) (3) [C ? f ( x)]? ? C ? f ?( x) , C 为常数; (4) ? . ? ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ?

三.导数的物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度. 四.导数的几何意义: 导数就是切线斜率. 函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在点 ?x0 , f ( x0 )? y l ?( x0 ) . 处切线的斜率,即 k ? f 注:点 ?x0 , f ( x0 )? 是切点

f ( x0 )
O

y ? f (x)

x0

x

五.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数: 对于函数 y ? f (x) 给定区间 [a, b] 内, 1.(1)若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 内是增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 内是减函数. (2)若 f ( x) 在 [a, b] 内是增函数,则 f ?( x) ? 0 在 [a, b] 内恒成立;若 f ( x) 在 [a, b] 内是减函数,则
f ?( x) ? 0 在 [a, b] 内恒成立.

注: f ?( x) ? 0 ? f ( x) 递增; f ( x) 递增 ? f ?( x) ? 0
y

2.极值: 图中 x1 , x3 是极大值点,相应的函数值为极大值;

y ? f (x)

x2 , x4 为极小值点,相应的函数值为极小值.
且 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? f ?( x3 ) ? f ?( x4 ) ? 0

a

x1 o

x2

x4

x3

x
b

3.已知 y ? f (x) 是可导函数,则“ x0 为极值点”是“ f ?( x0 ) ? 0 ”的充分不必要条件. ( x0 为极值点 ? f ?( x0 ) ? 0 ;但满足 f ?( x0 ) ? 0 的 x0 不一定是极值点.例如:函数 f ( x) ? x 3 ,虽然 ...
f ?(0) ? 0 ,但 x ? 0 不是其极值点,因为 f ( x) ? x 3 在定义域内单调递增,没有极值点)

4.利用导数求极值的步骤: 第一步:求导数 f ?(x) ; 第三步:由方程的根将定义域分为若干个区间; 第五步:确定极值点,并求出极值. 5.利用导数求函数 y ? f (x) 在闭区间 [a, b] 内最值: (1)若 y ? f (x) 在闭区间 [a, b] 内有唯一的极大(小)值,那么这个极大(小)值就是函数的最大(小)值; (2)若 y ? f (x) 在闭区间 [a, b] 内的极值不唯一,那么将所有的极值和 f (a ) , f (b) 比大小,最大者为 函数的最大值,最小者为函数的最小值. 六.含参数的恒成立问题: (分离参数法) (1)若 a ? f (x) 恒成立,则 a ? f max ( x) ; (2)若 a ? f (x) 恒成立,则 a ? f min ( x) ; 第二步:令 f ?( x) ? 0 ,解方程; 第四步:判断 f ?(x) 在每个区间上的正负;


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