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浙江省台州中学2012届高三调考试题试题数学文

时间:2012-06-04


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台州中学 2011-2012 学年第二学期第五次统练试题 高三 文科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 选择题部分(共 50 分) 球的表面积公式 S ? 4 ? R 球的体积公式 V ?
4 3
2

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
V ? 1 3 h (S1 ? S1S 2 ? S 2 )

?R

3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V ?
1 3 Sh

其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积,h 表 示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? { 2 , 0} , B ? {1 , 2 } ,则集合 A ? B ( A ? B ) ? ( A. ? B. { 2 } C. { 0 , 1} )

D. { 0 , 1 , 2 } )
开始

2. 若 a ? i ? 2 ? b i ,其中 a , b 都是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi =( A.0 B.1 C. 3 D. 5

3. 阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于 A. 68 B. 38 C. 32 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是( A. x y ? 1
d y B. ( x ) ? ?

S ? 0

D.20 )

i ? 5
S ? S ? i ( i ? 1)
i ? i ?1

? 1, x 为有理数 ? 0 , x 为无理数
3? x

i?1

?




C. | 3 x ? 2 y | ? 1
? ? 5.设函数 f ( x ) ? ? ? ? x , x ? 0,

D. 2 y ? s in

输出 S 结束

若 f ( a ) ? f ( ? 1) ? 2 ,则 a =( C. ? 1 D. ? 1



? x , x ? 0,

(第 3 题)

A. ? 3

B. ? 3

6.若函数 y ? f ( x ) 的导函数在区间 [ a , b ] 上是增函数,则函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的 ... 图象可能是( )

1

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y

y

y

y

o

a

b x

o

a
B.

b x

o

a

b x
C.

o

a
D.

b x

A.

7.在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足:
cos 2 A ? 5 2 c o s A ? s in (

?
3

? B ) ? s in (

?
3

? B ) ? s in B ,则 ? A 等于(
2



A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

8.设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 1 ? 1 ,公差为 d ? 2 , S k ? 2 ? S k ? 2 4 ,则 k=( A.8 B.7 C.6 D.5

)

9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为 2 c m 的 半圆,虚线是等腰三角形的两腰) ,俯视图是一个半径为 2 c m 的圆(包括圆心) ,则该零 件的体积是( A.
4 3 π
cm cm
x a
2 2


3

B. π
3

8

cm

3

1 cm

C. 4 π 10. 过双曲线
x ? y
2 2

3

D.
2 2

20 3

π

cm

3

1 cm 2 cm 2 cm

?

y b

作圆 ? 1( b ? 0 , a ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0 )( c ? 0 ) ,

第 9 题图

?

a

2

的切线,切点为 E ,延长 F E 交双曲线右支于点 P ,若 ) C. 1 0 D. 2

4
E 是 FP 的中点,则双曲线的离心率为(

A.

10 2

B.

10 5

非选择题部分(共 100 分)
二.填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 把答案填在答题卡的相应位置) 11.为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重 情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据此估计该校高中男生体重在 70~78kg 的 人数为_______人;

2

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频率

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12 . 若 椭 圆 x ? y ? 1
m 4
m =___________;

2

2

组距

(m ? R ) 的 焦 距 是 2 , 则

0.09 0.07

13 . 数 列 ?a n ? 的 首 项 为 a 1 ? 2
a n ?1 ? 1 2
*

, 且

0.04 0.02 0.01 54 58 62 66 70 74 78 重量(kg)

( a 1 ? a 2 ? ? ? a n )( n ? N ) , 记 S n 为 数 列

?a n ? 前 n 项和,则 S n

? _____________;

第 11 题图
? 2

14.某商场元旦前 3 0 天某商品销售总量 f ( t ) 与时间
t (0 ? t ? 3 0 , t ? N ) (天)的关系大致满足 f ( t ) ? t ? 1 0 t ? 2 0 ,则该商场前 t 天平均
f (1 0 ) 10

售出的商品(如前 1 0 天的平均售出的商品为 15.已知函数 f ( x ) ? ?
? lo g 2 x ( x ? 0 ) ?2
x

)最少为



ks*5*u

( x ? 0)

,且关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? a ? 0 有且只有一个 ;

实根,则实数 a 的取值范围是

16.设 OA ? ( t ,1)( t ? Z ) , OB ? ( 2 , 4 ) ,满足 OA ? 4 ,则 ? OAB 不是直角三角形的概率 .. 是 ;ks*5*u

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 17. 过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线, 切点分别为 A , B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?

记 ? A P B ? ? ,当 ? 最小时,此时点 P 坐标为 ; 三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 在 ? A B C 中,角 A 为锐角,记角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 设向量
?? ? m ? (co s A , sin A ), n ? (co s A , ? sin A )

,且 m 与 n 的夹角为

??

?

π 3

.

(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?
7,c ? 3 ,求 ? A B C 的面积 S .

?? ?

19. (本小题满分 14 分) 设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 ( n ? 1, 2 , ? ) (Ⅰ)求 q 的取值范围; (Ⅱ)设 b n ? a n ? 2 ?
3 2 a n ? 1 ,记 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,试比较 S n 与 T n 的大小

3

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20. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 S — D 为 BC 的中点. M

ABC

中,SA ? 平面 ABC ,AB
5 2

? AC ? 1 , ? 2 SA



为 S B 上的点,且 A M ?

S

(1)求证: S C //面 A D M ; (2) 若三棱锥 S —
ABC

的体积为

3 6

, ? BC 且 A

M

为钝角, 求直线 D M 与平面 S A D 所成角的正弦值.

B

A

D C 21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 0 ,
3 2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程; (2)在区间 [1, 2 ] 内至少存在一个实数 x ,使得 f ( x ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分)已知圆 N : ( x ? 2 ) ? y ? 8 和抛物线 C : y ? 2 x ,圆 N 的切线 l
2 2 2

与抛物线 C 交于不同的两点 A , B . (1)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 A B 的长; (2) 设点 M 和点 N 关于直线 y ? x 对称, 问是否存在直线 l , 使得 M A ?M B ? 0 ? 若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. y
???? ????

B

o N A 数学(文科)参考答案及评分标准
4

x

第 22 题图

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一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 D 6 A 7 C 8 D 9 C 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 11、240 15、 a ? 1 12、 3 或 5 16、
4 7

13、 2 ( )
2

3

n ?1

14、 1 9

17、(-4,-2)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.解: (1)? m ?
c o s A ? sin A ? 1, n ?
2 2

co s A ? ( ? sin A )
2

2

? 1,

? m ? n= m ? n ? cos
2

π 3
2

?

1 2

. ··················· 3 分

? m ? n = co s A ? sin A ? co s 2 A ,

? cos 2 A ? ? 0? A? ? 2A ? π 3

1 2 π 2

. ························· 5 分 , 0 ? 2 A ? π, π 6
7,c ? 3 ,A ?

,A ?

.

····················
π 6 , 及 a ? b ? c ? 2 b c co s A ,
2 2 2

7分

(2)(法一) ? a ?
2

? 7 ? b ? 3 ? 3 b , 即 b ? ? 1 (舍去)或 b ? 4 . ········· 10 分

故S ? (法二) ? a ?

1 2

b c s in A ?
7,c ?

3.

·················· 14 分
π 6 ,及 a s in A ? c s in C

3 ,A ?

,

? s in C ?

c s in A a

? 2

3 7

. ················· 7 分

?a ?c,
?0? C ? π 2

, cos C ?

1 ? s in

2

A ?
π 6

5 2 7

? s in B ? s in ( π ? A ? C ) ? s in (
?b ? a s in B s in A 1 2
5

? C) ?

1 2

cos C ?

3 2

s in C ?

2 7

? 4 . ···················· 10 分 3 . ·················· 14 分

故S ?

b c s in A ?

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19.解: (1) ( ? 1, 0 ) ? ( 0 , ?? ). ……………………………………………………7 分 (2) 又 因 为 S n ? 0, 且 ? 1 ? q ? 0 或 q ? 0,
所 以 ,当 ? 1 ? q ? ?
当? 1 2

1 2

或 q ? 2时 , T n ? S n ? 0 , 即 T n ? S n ;

? q ? 2 且 q ? 0时 , T n ? S n ? 0 , 即 T n ? S n ; 1 2 , 或 q ? 2 时 , T n ? S n ? 0 , 即 T n ? S n . …………………………………14 分

当q ? ?

20. 解: (1)?

SA ?

平面 ABC ,? ? S A B 是直角三角形,又 A B ? 1, S A ? 2 , A M ?

5 2



? 点 M 是 S B 的中点,…………3 分 又 D 为 BC 的中点,? M D / / S C ,…………4 分 又 M D ? 面 A D M , S C ? 面 A D M , S C //面 A D M …………5 分

(2)设 ? BAC

? ?

,则 V

?

1 3

?

1 2

? 1 ? 2 ? sin ? ?

2

3 6

解得

sin ? ?

3 2

,又 ? B A C 为钝角

所以 ? ? 60 0 (舍) ? ? 120 0 .…………7 分 , ? SA ? 平面 ABC,AB=AC,D 为 BC 的中点, ? A D ? B C ,? B C ? 面 S A D …………9 分 由(1)可知 M D // S C ,? 直线 D M 与平面 S A D 所成角的即是 S C 与面 S A D 所成的 角即所求角为 ? C S D …………11 分 在 R t ? S D C 中, s in ? C S D ? 21. (1)当 a ? 1 时, f '( x ) ? 3 x ? 2 x , f ( 2 ) ? 1 4,
2

DC SC

?

15 10

,…………14 分

…………

……2 分

曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线斜率 k ? f '( 2 ) ? 8 , 所以曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程为 8 x ? y ? 2 ? 0 .……5 分 (2)解 1: f '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 3 x ( x ?
2

2 3

a )(1 ? x ? 2 )



2 3

a ? 1 ,即 a ?

3 2

时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在[1,2]上为增函数,
3 2

故 f ( x ) m in ? f (1) ? 1 1 ? a ,所以 1 1 ? a ? 0, a ? 1 1 ,这与 a ? 当1 ?
2 3 a ? 2 ,即 2 3 3 2 a , f '( x ) ? 0 ; ? a ? 3 时,

矛盾……………8 分

若1 ? x ? 若
2 3

a ? x ? 2 , f '( x ) ? 0 , 2 3 a 时, f ( x ) 取最小值,

所以 x ?

6

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因此有 f ( a ) ? 0 ,即
3 3 2 ? a ? 3 矛盾;
2 3

2

8 27

a ?
3

2 3

a ? 10 ? ?
3

10 27

a ? 1 0 ? 0 ,解得 a ? 3 ,这与
3

………………11 分



a ? 2 即 a ? 3 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在[1,2]上为减函数,所以 f ( x ) m in ? f ( 2 )

? 1 8 ? 4 a , ,所以 1 8 ? 4 a ? 0 ,解得 a ?

9 2

,这符合 a ? 3 . ………………15 分

综上所述, a 的取值范围为 a ?
x ? 10
3

9 2


10 x
2

解 2:有已知得: a ? 设 g (x) ? x ?
10 x
2

x

2

? x?

,

………………7 分
10 x
3

(1 ? x ? 2 ) , g '( x ) ? 1 ?



………………9 分 ………………12 分

? 1 ? x ? 2,? g '( x ) ? 0, 所以 g ( x ) 在[1,2]上是减函数.

g ( x ) m in ? g ( 2 ) ?

9 2

, ………………15 分

所以 a ?

9 2



22. 解:因为圆 N : ( x ? 2 ) ? y ? 8 ,所以圆心 N ( ? 2 , 0 ) ,半径 r ? 2 2
2 2

设 A ( x1 , y 2 ), B ( x 2 , y 2 ) (1)当直线斜率为 1 时,设直线 y ? x ? m ,由直线与圆相切得:
| ?2 ? m | 2 2

? 2

2 解得 m ? ? 2 或 m ? 6 (舍).此时直线方程为 y ? x ? 2 …

………4 分

由?

?y ? x?2 ? y ? 2x
2

消去 x 得 y ? 2 y ? 4 ? 0 ,所以 ? ? 0, y1 ? y 2 ? 2, y1 y 2 ? 4
2

弦长 | A B | ?

1?

1 k
2

? | y 1 ? y 2 | ? 2 1 0 ………………………………………………6 分
| ?2k ? m | 1? k
2

(2)设直线 l 方程为 y ? kx ? m , k ? 0 ,由 l 与圆相切得:

? 2

2得

m ? 4 k ? 4 m k ? 8 ? 0 (1)
2 2

7

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由?

? y ? kx ? m ? y ? 2x
2

2 消去 x 得 ky ? 2 y ? 2 m ? 0 ,所以 ? ? 4 ? 8 km ? 0 得 k m ?

1 2

y1 ? y 2 ?

2 k

, y1 y 2 ?

2m k

…………………………………………………………10 分
???? ????

因为 M 与 N 关于 y ? x 对称,所以 M (0, ? 2 ) ,由 M A ? M B 得
???? ???? M A ? M B ? x1 x 2 ? ( y 1 ? 2 )( y 2 ? 2 ) ? 0 代入 x1 x 2 , y 1 ? y 2 , y 1 y 2 化简得:
m ? 4 k ? 2 m k ? 4 k ? 0 (2)……………………………………………12 分
2 2

(1)+(2)得: m ? m k ? 2 k ? 4 ? 0, 即 ( m ? 2 )( m ? k ? 2 ) ? 0
2

解得: m ? 2 或 m ? k ? 2 当 m ? 2 时, (1) 代入 解得 k ? ? 1 , 满足 k m ?
2

1 2

且k ? 0 , 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 。

当 m ? k ? 2 时,代入(1)得: 7 k ? 4 k ? 4 ? 0 ,方程无解。………………………14 分 当直线 l 的斜率不存在时,因为直线 l 是圆的切线,所以 l 方程为 x ? 2 2 ? 2 ,则
x1 x 2 ? 4 (3 ? 2 2 ) , y 1 ? y 2 ? 0 , y 1 y 2 ? 4 (1 ? 2) ? 0
???? ????

由(1)得 M A ? M B ? x1 x 2 ? ( y 1 ? 2 )( y 2 ? 2 ) ? 2 0 ? 1 2 2 ? 0 ,此时 M A 与 M B 不垂直. 综上,存在直线 l ,其方程为 y ? ? x ? 2 ………………………………… ………………15 分

???? ????

8


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