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高中数学竞赛校本教材[全套共30讲


高中数学竞赛校本教材

目录 §1 数学方法选讲(1) §2 数学方法选讲(2) §3 集 合 ????????????????????????1 ????????????????????????11 ????????????????????????22 ????????????????????????30 ????????????????????????4

1 ????????????????????????55 ????????????????????????63 ????????????????????????73

§4 函数的性质 §5 二次函数(1) §6 二次函数(2) §7 指、对数函数,幂函数 §8 函数方程

§9 三角恒等式与三角不等式 ????????????????????????76 §10 向量与向量方法 §11 数列 §12 递推数列 §13 数学归纳法 §14 不等式的证明 §15 不等式的应用 §16 排列,组合 §17 二项式定理与多项式 §18 直线和圆,圆锥曲线 §19 立体图形,空间向量 §20 平面几何证明 §21 平面几何名定理 §22 几何变换 §23 抽屉原理 §24 容斥原理 §25 奇数偶数 §26 整除 §27 同余 §28 高斯函数 ????????????????????????85 ????????????????????????95 ????????????????????????102 ????????????????????????105 ????????????????????????111 ????????????????????????122 ????????????????????????130 ????????????????????????134 ????????????????????????143 ????????????????????????161 ????????????????????????173 ????????????????????????180 ????????????????????????186 ????????????????????????194 ????????????????????????205 ????????????????????????214 ????????????????????????222 ????????????????????????230 ????????????????????????238

§29 覆盖 §29 涂色问题 §30 组合数学选讲

????????????????????????245 ????????????????????????256 ????????????????????????265

§1 数学方法选讲(1)
同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都 能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来,要提高解决问题的能力,要能在 竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解
一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁, 相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。 条件是硬币一定要平放 在桌子上,后放的硬币不能压在先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了 最后一枚硬币谁获胜。问:先放的人有没有必定取胜的策略?

2.线段 AB 上有 1998 个点(包括 A,B 两点),将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染 成红色或蓝色。这时,图中共有 1997 条互不重叠的线段。 问:两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?

3.1000 个学生坐成一圈,依次编号为 1,2,3,?,1000。现在进行 1,2 报数:1 号学生报 1 后立即离开,2 号学生报 2 并留下,3 号学生报 1 后立即离开,4 号学生报 2 并留下??学生们依 次交替报 1 或 2,凡报 1 的学生立即离开,报 2 的学生留下,如此进行下去,直到最后还剩下一 个人。问:这个学生的编号是几号?

4.在 6?6 的正方形网格中,把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列,使得剩下的小 方格中至少有 1 个是红色的。那么,总共至少要涂红多少小方格?

二、从极端情况考虑 从问题的极端情况考虑,对于数值问题来说,就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来 说,指的是线段的端点,三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件,求 解也就会变得容易得多。 5. 新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门, 他知道每把钥匙只能打开其中的一个 门,但不知道哪一把钥匙开哪一个门,现在要打开所有关闭的 20 个门,他最多要开多少次?

6.有 n 名(n?3)选手参加的一次乒乓球循环赛中,没有一个全胜的。问:是否能够找到三名选 手 A,B,C,使得 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A?

7.n(n?3)名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。 试证明,总可以从中去掉一名选手,而使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都 不完全相同。

8.在一个 8?8 的方格棋盘的方格中,填入从 1 到 64 这 64 个数。问:是否一定能够找到两个相 邻的方格,它们中所填数的差大于 4?

三、从整体考虑

从整体上来考察研究的对象,不纠缠于问题的各项具体的细节,从而能够拓宽思路,抓住主 要矛盾,一举解决问题。 9. 右图是一个 4?4 的表格, 每个方格中填入了数字 0 或 1。 按下列规则进行 “操 作”:每次可以同时改变某一行的数字:1 变成 0,0 变成 1。 问:能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1?

10.有三堆石子,每堆分别有 1998,998,98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”:每次 允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子,或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。 按上述方式进行“操作”,能否把这三堆石子都取光?如行,请设计一种取石子的方案;如 不行,请说明理由。

11.我们将若干个数 x,y,z,?的最大值和最小值分别记为 max(x,y,z,?)和 min(x,y, z, 。 ?) 已知

a+b+c+d+e+f+g=1, min[max 求 (a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g) ]

课后练习
1.方程 x1+x2+x3+?+xn-1+xn=x1x2x3?xn-1xn 一定有一个自然数解吗?为什么?

2.连续自然数 1, 3, 2, ?, 8899 排成一列。 1 开始, 1 划掉 2 和 3, 4 划掉 5 和 6?? 从 留 留 这么转圈划下去,最后留下的是哪个数?

3.给出一个自然数 n,n 的约数的个数用一个记号 A(n)来表示。例如当 n=6 时,因为 6 的 约数有 1,2,3,6 四个,所以 A(6)=4。已知 a1,a2,?,a10 是 10 个互不相同的质数,又 x 为 a1,a2,?,a10 的积,求 A(x)。

4.平面上有 100 个点,无三点共线。将某些点用线段连结起来,但线段不能相交,直到不能 再连结时为止。问:是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形,它的内部没有其余 97 个点中的任何一个点?

5.在一块平地上站着 5 个小朋友,每两个小朋友之间的距离都不相同,每个小朋友手上都拿 着一把水枪。当发出射击的命令后,每人用枪射击距离他最近的人。问:射击后有没有一个小朋 友身上是干的?为什么?

6.把 1600 粒花生分给 100 只猴子,请你说明不管怎样分,至少有 4 只猴子分的花生一样多。

7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶,乙桶装的是酒精(未满)。现在从甲桶取一满 杯奶倒入乙桶,然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶,这时,是甲桶中的酒精多,还是乙桶中的 牛奶多?为什么?

8.在黑板上写上 1,2,3,?,1998。按下列规定进行“操作”:每次擦去其中的任意两个 数 a 和 b,然后写上它们的差(大减小),直到黑板上剩下一个数为止。

问:黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?

课后练习答案
1.有。 解:当 n=2 时,方程 x1+x2=x1x2 有一个自然数解:x1=2,x2=2; 当 n=3 时,方程 x1+x2+x3=x1x2x3 有一个自然数解:x1=1,x2=2,x3=3; 当 n=4 时,方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 有一个自然数解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4。 一般地,方程 x1+x2+x3+?+xn-1+xn=x1x2x3?xn-1xn 有一个自然数解:x1=1,x2=1,?,xn-2=1,xn-1=2,xn=n。 2.3508。 解:仿例 3。当有 3 个数时,留下的数是 1 号。 小于 8899 的形如 3 的数是 3 =6561,故从 1 号开始按规则划数,划了 8899-6561=2338(个) 数后,还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 2388÷2?3+1=3507,故最后留下的就是 3508。 3.1024。 解:质数 a1 有 2 个约数:1 和 a,从而 A(a1)=2; 2 个质数 a1,a2 的积有 4 个约数:1,a1,a2,a1a2,从而 A(a1?a2)=4=22; 3 个质数 a1,a2,a3 的积有 8 个约数: 1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3, 从而 A(a1?a2?a3)=8=23; ?? 于是,10 个质数 a1,a2,?,a10 的积的约数个数为 A(x)=2 =1024。 4.存在。 提示:如果一个三角形内还有别的点,那么这个点与三角形的三个顶点还能连结,与已“不 能再连结”矛盾。
10 n 8 n

5.有。 解:设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友,显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友 射向他们中的一个,即 A,B 中有一人挨了两枪,那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果 没有其他的小朋友射向 A 或 B,那么我们再考虑剩下的三个人 D,E,F:若 D,E 的距离是三人 中最近的,则 D,E 互射,而 F 必然射向他们之间的一个,此时 F 身上是干的。 6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多,那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们从所需花生 最少情况出发考虑: 得 1 粒、2 粒、3 粒??32 粒的猴子各有 3 只,得 33 粒花生的猴子有 1 只,于是 100 只猴子 最少需要分得花生 3?(0+1+2+?+32)+33=1617(粒), 现在只有 1600 粒花生, 无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多, 故至少有 4 只猴子分的花生 一样多。 7.一样多。 提示:从整体看,甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精,就必然 倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以,甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。 8.奇数。 解:黑板上开始时所有数的和为 S=1+2+3+?+1998=1997001, 是一个奇数,而每一次“操作”,将(a+b)变成了(a-b),实际上减少了 2b,即减少了一 个偶数。因为从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,所以最后黑板上剩下一个奇数。

例题答案:
1. 分析与解: 如果桌子大小只能容纳一枚硬币, 那么先放的人当然能够取胜。 然后设想桌面变大, 注意到长方形有一个对称中心,先放者将第一枚硬币放在桌子的中心,继而把硬币放在后放者所 放位置的对称位置上,这样进行下去,必然轮到先放者放最后一枚硬币。 2.分析:从最简单的情况考虑:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段只有 1 条, 是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整:将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时,异 色线段的条数随之有哪些变化。 由于颜色的调整是任意的, 因此与条件中染色的任意性就一致了。 解:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段仅有 1 条,是一个奇数。将任意一个 红点染成蓝色时,这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色,则异色小线段的条数或者 增加 2 条(相邻的两个点同为红色),或者减少 2 条(相邻的两个点同为蓝色);这个改变颜色 的点的左右两侧相邻的两个点若异色,则异色小线段的条数不变。 综上所述,改变任意个点的颜色,异色线段的条数的改变总是一个偶数,从而异色线段的条 数是一个奇数。 3.分析:这个问题与上一讲练习中的第 8 题非常相似,只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下,而 上讲练习中相当于报 1 的留下报 2 的离开,由上讲练习的结果可以推出本例的答案。本例中编号 为 1 的学生离开后还剩 999 人,此时,如果原来报 2 的全部改报 1 并留下,原来报 1 的全部改报 2 并离开,那么,问题就与上讲练习第 8 题完全一样了。因为剩下 999 人时,第 1 人是 2 号,所 以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大 1,是 975+1=976(号)。 为了加深理解,我们重新解这道题。 解:如果有 2 个人,那么报完第 1 圈后,剩下的是 2 的倍数号;报完第 2 圈后,剩下的是 2 的倍数号??报完第 n 圈后,剩下的是 2 的倍数号,此时,只剩下一人,是 2 号。
n n n 2

如果有(2 +d)(1?d<2 )人,那么当有 d 人退出圈子后还剩下 2 人。因为下一个该退出 去的是(2d+1)号,所以此时的第(2d+1)号相当于 2 人时的第 1 号,而 2d 号相当于 2 人时 的第 2 号,所以最后剩下的是第 2d 号。 由 1000=2 +488 知,最后剩下的学生的编号是 488?2=976(号)。 4.分析与解:先考虑每行每列都有一格涂红,比较方便的涂法是在一条对角线上涂 6 格红色的, 如图 1。
9 n n n

n

n

n

任意划掉 3 行 3 列,可以设想划行划列的原则是:每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1, 划掉 3 行去掉 3 个红格,还有 3 个红格恰在 3 列中,再划掉 3 列就不存在红格了。 所以,必然有一些行有一些列要涂 2 个红格,为了尽可能地少涂红格,那么每涂一格红色的, 一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。 先考虑有 3 行中有 2 格涂红,如图 2。显然,同时也必然有 3 个列中也有 2 格涂红。这时, 我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行,还剩下 3 行,每行上只有一格涂红,每列上也只有一格涂红, 那么在划掉带红格的 3 列就没有红格了。 为了使得至少余下一个红格,只要再涂一格。此红格要使图中再增加一行和一列有两个红格 的,如图 3。 结论是:至少需要涂红 10 个方格。 5. 解:从最不利的极端情况考虑:打开第一个房间要 20 次,打开第二个房间需要 19 次??共计 最多要开 20+19+18+?+1=210(次)。 6. 解:从极端情况观察入手,设 B 是胜的次数最多的一个选手,但因 B 没获全胜,故必有选手 A 胜 B。在败给 B 的选手中,一定有一个胜 A 的选手 C,否则,A 胜的次数就比 B 多一次了,这与 B 是胜的次数最多的矛盾。 所以,一定能够找到三名选手 A,B,C,使得 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A。

7. 证明:如果去掉选手 H,能使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同, 那么我们称 H 为可去选手。我们的问题就是要证明存在可去选手。 设 A 是已赛过对手最多的选手。 若不存在可去选手,则 A 不是可去选手,故存在选手 B 和 C,使当去掉 A 时,与 B 赛过的 选手和与 C 赛过的选手相同。从而 B 和 C 不可能赛过,并且 B 和 C 中一定有一个(不妨设为 B) 与 A 赛过,而另一个(即 C)未与 A 赛过。 又因 C 不是可去选手,故存在选手 D,E,其中 D 和 C 赛过,而 E 和 C 未赛过。 显然,D 不是 A,也不是 B,因为 D 与 C 赛过,所以 D 也与 B 赛过。又因为 B 和 D 赛过, 所以 B 也与 E 赛过,但 E 未与 C 赛过,因而选手 E 只能是选手 A。 于是,与 A 赛过的对手数就是与 E 赛过的对手数,他比与 D 赛过的对手数少 1,这与假设 A 是已赛过对手最多的选手矛盾。 故一定存在可去选手。 8. 解:考虑这个方格棋盘的左上角、右上角及右下角内的数 A,B,S。 设存在一个填数方案,使任意相邻两格中的数的差不大于 4,考虑最大和最小的两个数 1 和 64 的填法,为了使相邻数的差不大于 4,最小数 1 和最大数的“距 越大越好,即把它们填在对角的位置上(A=1,S=64)。 然后,我们沿最上行和最右行来观察:因为相邻数不大于 4, A→B→S 共经过 14 格, 所以 S?1+4?14=57 每次都增加最大数 4) ( , 从 与 离”

S=64 矛盾。因而,1 和 64 不能填在“最远”的位置上。显然,1 和 64 如果填在其他任意位置, 那么从 1 到 64 之间的距离更近了,更要导致如上的矛盾。因此,不存在相邻数之差都不大于 4 的情况,即不论怎样填数必有相邻两数的差大于 4。 9. 解:我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性:第一次“操作”之前,它等于 9,是一个奇 数, 每一次“操作”,要改变一行或一列四个方格的奇偶性,显然整个 16 格中所有数的和的奇偶 性不变。 但当每一格中所有数字都变成 1 时,整个 16 格中所有数的和是 16,为一偶数。故不能通过 若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1。 10. 解:要把三堆石子都取光是不可能的。

按“操作”规则,每次拿掉的石子数的总和是 3 的倍数,即不改变石子总数被 3 除时的余数。 而 1998+998+98=3094,被 3 除余 1,三堆石子被取光时总和被 3 除余 0。所以,三堆石子都被取 光是办不到的。 11. 解:设 M=max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)。 因为 a+b+c,c+d+e,e+f+g 都不大于 M,所以

§2 数学方法选讲(2)
四、从反面考虑 解数学题,需要正确的思路。对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发, 求得结论。但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,即从结论入手或 从条件及结论的反面进行思考,从而使问题得到解决。 1.某次数学测验一共出了 10 道题,评分方法如下: 每答对一题得 4 分, 不答题得 0 分, 答错一题倒扣 1 分, 每个考生预先给 10 分作为基础分。 问: 此次测验至多有多少种不同的分数?

2.一支队伍的人数是 5 的倍数,且超过 1000 人。若按每排 4 人编队,则最后差 3 人;若按每排 3 人编队,则最后差 2 人;若按每排 2 人编队,则最后差 1 人。问:这支队伍至少有多少人?

3.在八边形的 8 个顶点上是否可以分别记上数 1,2,?,8,使得任意三个相邻的顶点上的数的 和大于 13?

4.有一个 1000 位的数,它由 888 个 1 和 112 个 0 组成,这个数是否可能是一个平方数?

五、从特殊情况考虑 对于一个一般性的问题,如果觉得难以入手,那么我们可以 先考虑它的某些特殊情况,从而获得解决的途径,使问题得以“突破”,这种方法称为特殊 化。

对问题的特殊情况进行研究,一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易;另一方 面是因为特殊的情况含有一般性,所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的 思路,它是探索问题的一种重要方法。 运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤,即先由一般到特殊,再由特殊到一般。通过第 一步骤得到的信息,还要回到一般情况予以解答。 5.如下图,四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,且边长均为 2cm。又 E 点是正方形 ABCD 的 中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积 S。

6.是否在平面上存在这样的 40 条直线,它们共有 365 个交点?

7.如右图,正方体的 8 个顶点处标注的数字为 a,b,c,d,e,

求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。

8.将 n 个互不相等的数排成下表: a11 a12 a13 ? a1n a21 a22 a23 ? a2n

2

an1 an2 an3 ? ann 先取每行的最大数,得到 n 个数,其中最小数为 x;再取每列的最小数,也得到 n 个数,其 中最大数为 y。试比较 x 和 y 的大小。

六、有序化 当我们研究的对象是一些数的时候,我们常常将这些数排一个次序,即将它们有序化。有序 化的假设,实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。 9.将 10 到 40 之间的质数填入下图的圆圈中,使得 3 组由“→”所连的 4 个数的和相等,如果把 和数相等的填法看做同一类填法,请说明一共有多少类填法?并画图表示你的填法。

10.有四个互不相等的数,取其中两个数相加,可以得到六个和:24,28,30,32,34,38。求 此四数。

11.互不相等的 12 个自然数,它们均小于 36。有人说,在这些自然数两两相减(大减小)所得 到的差中,至少有 3 个相等。你认为这种说法对吗?为什么?

12.有 8 个重量各不相同的物品,每个物品的重量都是整克数且都不超过 15 克。小平想以最少的 次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法: (1)把 8 个物品分成 2 组,每组 4 个,比较这 2 组的轻重; (2)把以上 2 组中较重的 4 个再分成 2 组,即每组 2 个,再比较它们的轻重; (3)把以上 2 组中较重的分成各 1 个,取出较重的 1 个。 小平称了 3 次天平都没有平衡,最后便得到一个物品。 可是实际上得到的是这 8 个物品当中从重到轻排在第 5 的物品。 问:小平找出的这个物品有多重?并求出第二轻的物品重多少克?

课后练习
1.育才小学 40 名学生参加一次数学竞赛,用 15 分记分制(即分数为 0,1,2,?,15)。 全班总分为 209 分,且相同分数的学生不超过 5 人。试说明得分超过 12 分的学生至多有 9 人。

2.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各 1 张,一元币 4 张,五元币 2 张,用这些纸币任意 付款,一共可以付出多少种不同数额的款项?

3.求在 8 和 98 之间(不包括 8 和 98),分母为 3 的所有最简分数的和。

4.如右图,四边形 ABCD 的面积为 3,E,F 为边 AB 的三等分点,M,N 是 CD 边上的三等分点。 求四边形 EFNM 的面积。

5.直线上分布着 1998 个点,我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问:至少可 以得到多少个互不重合的中点?

6.假定 100 个人中的每一个人都知道一个消息,而且这 100 个消息都不相同。为了使所有的 人都知道一切消息,他们一共至少要打多少个电话?

7.有 4 个互不相等的自然数,将它们两两相加,可以得到 6 个不同的和,其中较小的 4 个和 是 64,66,68,70。求这 4 个数。

8.有五个砝码,其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问:这五个砝码的重量相等 吗?为什么?

课后练习答案
1.若得分超过 12 分的学生至少有 10 人,则全班的总分至少有 5?(12+13)+5?(0+1+2+3+4+5)=210(分), 大于条件 209 分,产生了矛盾,故得分超过 12 分的学生至多有 9 人。 2.119 种。 解:从最低币值 1 角到最高币值 14 元 8 角,共 148 个不同的币值。再从中剔除那些不能由这 些纸币构成的币值。 经计算,应该剔除的币值为(i+0.4)元(i=0,1,2,?,14)及(j+0.9)元(j=1,2,3,?, 13),一共 29 种币值。所以,一共可以付出 148-29=119(种)不同的币值。 3.9540。

=2?(8+9+?+97)+(97-8+1)=9540。 4.1。 解:先考虑 ABCD 是长方形的特殊情况,显然此时 EFNM 的面积是 1。下面就一般情况求解。

连结 AC,AM,FM,CF,则

5.3993 个。 解:为了使计算互不重复,我们取距离最远的两点 A,B。先计算以 A 为左端点的所有线段, 除 B 外有 1996 条,这些线段的中点有 1996 个,它们互不重合,且到点 A 的距离小于 AB 长度的一 半。 同样,以 B 为右端点的所有线段,除 A 外有 1996 条,这些线段的中点有 1996 个,它们互不 重合,且到点 A 的距离小于 AB 长度的一半。 这两类中点不会重合,加上 AB 的中点共有 1996+1996+1=3993(个),即互不重合的中点不 少于 3993 个。 另一方面,当这 1998 个点中每两个相邻点的间隔都相等时,不重合的中点数恰为 3993。 这说明,互不重合的中点数至少为 3993 个。 6.198 个。 解: 考虑一种特殊的通话过程: 先由 99 人每人打一个电话给 A, 再给 99 人每人打一个电话, A 这样一共打了 198 个电话,而且每人都知道了所有的消息。 下面我们说明这是次数最少的。考虑一种能使所有人知道一切消息的通话过程中的关键性的 一次通话,这次通话后,有一个接话人 A 知道了所有的消息,而在此之前还没有人知道所有的消 息。 除了 A 以外的 99 人每人在这个关键性的通话前, 必须打出电话一次, 否则 A 不可能知道所有 的消息;又这 99 人每人在这个关键性的通话后,又至少收到一个电话,否则它们不可能知道所有 的消息。 7.30,34,36,38 或 31,33,35,39。 解:设 4 个数为 a,b,c,d,且 a<b<c<d,则 6 个和为 a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d。 于是有 a+b<a+c<a+d<b+d<c+d

和 a+b<a+c<b+c<b+d<c+d。

分别解这两个方程组,得

8.相等。 解:设这五个砝码的重量依次为 a?b?c?d?e。 去掉 e,则有 a+d=b+c; ① 去掉 d,则有 a+e=b+c。 ② 比较①②,得 d=e。 去掉 a,则有 b+e=c+b; ③ 去掉 b,则有 a+e=c+d。 ④ 比较③④,得 a=b。 将 a=b 代入①得 c=d,将 d=e 代入④得 b=c。所以 e=b=c=d=e。

例题答案:
分析:最高的得分为 50 分,最低的得分为 0 分。但并不是从 0 分到 50 分都能得到。 从正面考虑计算量较大,故我们从反面考虑,先计算有多少种分数达不到,然后排除达不到 的分数就可以了。 解:最高的得分为 50 分,最低的得分为 0 分。在从 0 分到 50 分这 51 个分数中,有 49,48, 47,44,43,39 这 6 种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有 51-6=45(种)。 2. 分析:从条件“若按每排 4 人编队,则最后差 3 人”的反面来考虑,可理解为“若按每排 4 人编队,则最后多 1 人”。同理,按 3 人、2 人排队都可理解为多 1 人。即总人数被 12 除余 1。 这样一来,原题就化为: 一个 5 的倍数大于 1000,且它被 12 除余 1。问:这个数最小是多少? 解:是 5 的倍数且除以 12 余 1 的最小自然数是 25。因为人数超过 1000,[3,4,5]=60,所 以最少有 25+60?17=1045(人)。 3. 解:将八边形的 8 个顶点上的数依次记为 a1,a2,a3,?,a8,则有 S=a1+a2+a3+? +a8=1+2+3+?+8=36。 假设任意 3 个相邻顶点上的数都大于 13,因为顶点上的数都是整数,所以 a1+a2+a3?14; a2+a3+a4?14; ?? a7+a8+a1?14; a8+a1+a2?14。 将以上 8 个不等式相加,得 3S?112,从而 S> 37,这与 S=36 矛盾。故结论是否定的。 4.解:假设这个数为 A,它是自然数 a 的平方。 因为 A 的各位数字之和 888 是 3 的倍数, 所以 a 也应是 3 的倍数。 于是 a 的平方是 9 的倍数, 但 888 不是 9 的倍数,这样就产生了矛盾,从而 A 不可能是平方数。 1.

5. 分析:我们先考虑正方形 EFGH 的特殊位置, 即它的各边与正方形 ABCD 的各边对应平行的 情况(见上图)。此时,显然有

得出答案后, 这个问题还得回到一般情况下去解决, 解决的方法是将一般情况变成特殊情况。 解:自 E 向 AB 和 AD 分别作垂线 EN 和 EM(右图),则有 S=S△PME+S 四边形 AMEQ 又 S△PME=S△EQN,故 S=S△EQN+S 四边形 AMEQ =S 正方形 AMEN

6. 分析与解:先考虑一种特殊的图形:围棋盘。它有 38 条直线、361 个交点。我们就从这种 特殊的图形出发,然后进行局部的调整。

先加上 2 条对角线,这样就有 40 条直线了,但交点仍然是 361 个。再将最右边的 1 条直线向 右平移 1 段,正好增加了 4 个交点(见上图)。于是,我们就得到了有 365 个交点的 40 条直线。 7. 分析:从这 8 个数都相等的特殊情况入手,它们满足题目条件,从而得所求值为 0。这就启发 我们去说明 a+b+c+d=e+f+g+h。 解:由已知得 3a=b+e+d,3b=a+c+f, 3c=b+d+g,3d=a+c+h, 推知 3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h, a+b+c+d=e+f+g+h, (a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0。 8. 分析:先讨论 n=3 的情况,任取两表: 1 3 7 1 2 3 2 5 6 4 5 6 8 9 4 7 8 9 左上表中 x=6,y=4;右上表中 x=3,y=3。两个表都满足 x?y,所以可以猜想 x?y。

解:设 x 是第 i 行第 j 列的数 aij,y 是第 l 行第 m 列的数 alm。考虑 x 所在的行与 y 所在的列交 叉的那个数,即第 i 行第 m 列的数 aim。显然有 aij?aim?alm,当 i=l,j=m 时等号成立,所以 x ?y。 9. 解:10 到 40 之间的 8 个质数是 11,13,17,19,23,29,31,37。 根据题目要求,除去最左边和最右边的 2 个质数之外,剩下的 6 个质数在同一行的 2 个质数 的和应分别相等,等于这 6 个数中最小数(记为 a)与最大数(记为 b)之和 a+b。根据 a,b 的 大小可分为 6 种情况: 当 a=11,b=29 时,无解; 当 a=11,b=31 时,有 11+31=13+29=19+23,得到如下填法:

当 a=11,b=37 时,有 11+37=17+31=19+29,得到如下填法:

当 a=13,b=31 时,无解; 当 a=13, b=37 时,无解; 当 a=17,b=37 时,无解。 所以,共有 2 类填法。 10. 解:设四个数为 a,b,c,d,且 a<b<c<d,则六个和为 a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d, 其中 a+b 最小,a+c 次小,c+d 最大,b+d 次大,a+d 与 b+c 位第三和第四。

分别解这两个方程组,得

11. 解:设这 12 个自然数从小到大依次为 a1,a2,a3,?,a12,且它们两两相减最多只有 2 个差相等,那么差为 1,2,3,4,5 的都最多只有 2 个。从而 a12-a11,a11-a10,a10-a9,?,a2-a1, 这 11 个差之和至少为 2?(1+2+3+4+5)+6=36,

但这 11 个差之和等于 a12-a1<36。这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有 3 个相等。 12. 解:设这 8 个物品的重量从重到轻依次排列为: 15?a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8?1。 小平找出的这个物品重量为 a5,第二轻的物品重量为 a7。 由于 a5 加上一个比它轻的物品不可能大于两个比 a5 重的物品重量之和,因而第一次必须筛 去 3 个比 a5 重的物品。 这样就有以下四种可能:

先考虑第一种情况。根据①式,a4 比 a1 至少轻 3 克,a5 比 a2,a6 比 a3 也都至少轻 3 克, 则 a7 比 a8 至少重 10 克。根据②式,a5 比 a4 至少轻 1 克,则 a6 比 a7 至少重 18 克。与已知矛 盾,第一种情况不可能出现。 按同样的推理方法,可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。 最后,考虑第四种情况。a1 比 a2 至少重 1 克;a5 比 a3,a6 比 a4 都至少轻 1 克,则 a7 比 a8 至少重 4 克。根据④式,a5 比 a4 至少轻 4 克,则 a6 比 a7 至少重 5 克。这样得到的这 8 个物品 的重量分别为: a1=15 克, a2=14 克, a3=13 克, a4=12 克, a5=11 克, a6=10 克, a7=5 克, a8=1 克。 因此,小平找出的这个物品重 11 克,第二轻的物品重 5 克。

§3 集



集合的划分反映了集合与子集之间的关系, 这既是一类数学问题, 也是数学中的解题策略—— 分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、 结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1.集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1) 确定性 设 A 是一个给定的集合,a 是某一具体对象, a 或者是 A 的元素, 则 或者不是 A 的 元素,两者必居其一,即 a ? A 与 a ? A 仅有一种情况成立。 (2) 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元 素。 (3) 无序性 2.集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如: N , Z , Q, R 应熟记。 3.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转 换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4.子集、真子集及相等集 (1) A ? B ? A ? B 或 A = B ; (2) A ? B ? A ? B 且 A ≠ B ; (3) A = B ? A ? B 且 A ? B 。 5.一个 n 阶集合(即由个元素组成的集合)有 2 个不同的子集,其中有 2 -1 个非空子集,也 有 2 -1 个真子集。 6.集合的交、并、补运算
n n n

A ? B ={ x | x ? A 且 x ? B }; A ? B ={ x | x ? A 或 x ? B }
A ? {x | x ? I 且 x ? A }
要掌握有关集合的几个运算律: (1)交换律 A ? B = B ? A , A ? B = B ? A ; (2)结合律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ,

A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ; (3)分配律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? ( A ? C ) A ? ( B ? C )= ( A ? B ) ? ( A ? C )
(4)0—1 律

A ? ? = A , A ? I = A , A ? I = I , A ? ? =?

(5)等幂律 (6)吸收律 (7)求补律 (8)反演律

A ? A= A, A ? A= A A ? ( A ? B )= A , A ? ( A ? B )= A
A ? CIA= I , A ? CIA= ?
A ? B ? A ? B, A ? B ? A ? B

7.有限集合所含元素个数的几个简单性质 设 n( X ) 表示集合 X 所含元素的个数,(1) n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) , 当 n( A ? B) ? ? 时, n( A ? B) ? n( A) ? n( B) (2) n( A ? B ? C ) ? n( A) ? n( B) ? n(C ) - n( A ? B) ? n( A ? C ) ? n( B ? C ) ? n( A ? B ? C )

例题讲解
元素与集合的关系 1.设 A ={ a | a = x 2 ? y 2 , x, y ? Z },求证:(1) 2k ? 1 ? A ( k ? Z ); (2) 4k ? 2 ? A (k ? Z )

2.以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数; ② P 中的元素有奇数,有偶数;③-1 ? P ;④若 x , y ? P ,则 x + y ? P 试判断实数 0 和 2 与 集合 P 的关系。

3.设 S 为满足下列条件的有理数的集合:①若 a ? S , b ? S ,则 a + b ? S ,

ab ? S ;②对任一个有理数 r ,三个关系 r ? S ,- r ? S , r =0 有且仅有一个成立。证明: S 是由全体正有理数组成的集合。

两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中,我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关 系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的,因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元 素与这两个集合的关系入手。 4.设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a, b ? R) ,集合 A ? {x | x ? f ( x), x ? R} ,

B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} 。
(1)证明: A ? B ; (2)当 A ? {?1,3} 时,求 B 。 (3)当 A 只有一个元素时,求证: A ? B .

5.S1 , S 2 , S 3 为非空集合, 对于 1, 3 的任意一个排列 i, j , k , x ? Si , y ? S j , x ? y ? S k 2, 若 则 (1)证明:三个集合中至少有两个相等。 (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

6.已知集合:

A ? {( x, y) | ax ? y ? 1}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1}, C ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1}问
(1)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有两个元素的集合? (2)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有三个元素的集合?

7.设 n ? N 且 n ?15, A, B 都是{1,2,3,?, n }真子集, A ? B ? ? ,且

A ? B ={1,2,3,?, n }。证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

课后练习
1.下列八个关系式:①{0}= ? ② ? =0 ⑧ ? ? { ? } 其中正确的个数 (A)4 (B)5
? ③ ?? { ? } ④ ? ? { ? }⑤{0} ? ? ⑥0 ? ? ⑦ ? ? {0}



) (D)7 ( )

(C)6

2.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是 (A)CUA ? CUB (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ?

(D)CUA ? B= ?

3.已知 M= {x | x ? 3n, n ? Z }, N ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z }, P ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z } ,且 a ? M , b ? N , c ? P , 设 d ? a ? b ? c ,则 d ? (A)M (B)N (C)P ( ) (D) M ? P ( )

4.设集合 M ? {x | x ? (A) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则 2 4 4 2

(B) N ? M

(C) M ? N

(D) M ? N ? ?

5.设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x?A 时,15x ? A,则 A 中元素的个数最 多是_______________. 6. 集合 A,B 的并集 A∪ B={a1,a2,a3}, 当且仅当 A≠B 时, (A,B)与(B,A)视为不同的对, 则这样的(A,B) 对的个数有_________________. 7.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? A∩B 成立的 a 的取值范围是 _______________. 8.若 A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集合,则实数 a 的值为___________________. 9.设 A={n|100≤n≤600,n? N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 ______________. 10.己知集合 A={x|x=f(x)},B={x|x=f(f(x))},其中 f(x)=x2+ax+b (a,b? R), 证明:(1)A ? B (2)若 A 只含有一个元素,则 A=B .

11.集合 A={(x,y) x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ? x ? 2 }, 又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

课后练习答案
1-4 C C B A 5.解:由于 1995=15?133,所以,只要 n>133,就有 15n>1995.故取出所有大于 133 而不超过 1995 的整数. 由于这时己取出了 15?9=135, ? 15?133=1995. 故 9 至 133 的整数都不能再取, 还可取 1 至 8 这 8 个数,即共取出 1995—133+8=1870 个数, 这说明所求数?1870。 另一方面,把 k 与 15k 配对,(k 不是 15 的倍数,且 1?k?133)共得 133—8=125 对,每 对数中至多能取 1 个数为 A 的元素,这说明所求数?1870,综上可知应填 1870 6.解:A=φ 时,有 1 种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余 2 元,共有 6 种可能;A 为二元 集时,B 必须含有另一元.共有 12 种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共 有 1+6+12+8=27 个. 7.解:由 A 非空知 2a+1?3a-5,故 a?6. 由 A?A?B 知 A?B. 即 3?2a+1 且 3a-5?22, 解之, 得 1?a?9. 于是知 6?a?9
2 2 2 2 8 . 解 : 由 x ? ax ? 5 ? ( x ? 1 a) ? 5 ? 1 a . 若 5 ? 1 a ? 4 , 则 A 有 无 数 个 元 , 若 2 4
4

5 ? 1 a 2 ? 4 ,则 A 为空集,只有当 5 ? 1 a 2 ? 4 即 a ? ?2 时,A 为单元素集 {?1} 或 {1} .所以
4 4

a ? ?2
9.解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100?7k+2?600.知 14?k?85. 又若某个 k 使 7k+2 能 被 57 整除,则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57n ? 2 ? 56n ? n ? 2 ? 8n ? n ? 2 . 即 n-2 应为 7 的倍数. 设
7 7 7

n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14?57m+16?85. m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70 10.证明:(1)? x ? A ? f ( x) ? x, ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? B ? A ? B (2)设 A={c},即二次方程 f(x)-x=0 有惟一解 c,即 c 为 f(x)-x=0 的重根. ∴ f(x)-x=(x-c)2 即 f(x)=(x-c)2+x,于是 f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x), f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0

?( x ? c) 2 ? x ? c ? 0 ? ∴? ?x ? c ?
故 f(f(x))=x 也只有惟一解 x=c,即 B={c}. 所以 A=B 11.解:由 ?

? ?x 2 ? m x ? y ? 2 ? 0 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
2

?0 ? ? m ?1 ? 2 ? 2 或 f ( 2) ? 0 设 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 由数形结合得: ? ?? ? ( m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?
解得: m ? ?1

例题答案:
1.分析:如果集合 A ={ a | a 具有性质 p },那么判断对象 a 是否是集合 A 的元素的基本方法就 是检验 a 是否具有性质 p 。 解:(1)∵ k , k ? 1 ? Z 且 2k ? 1 = k 2 ? (k ? 1) 2 ,故 2k ? 1 ? A ; (2)假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x 2 ? y 2 即 ( x ? y)(x ? y) ? 2(2k ? 1) (*)

由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或 4 的倍 数, 另一方面, 式右边只能被 4 除余 2 的数, (*) (*) 故 式不能成立。 由此,4k ? 2 ? A (k ? Z ) 。 2.解:由④若 x , y ? P ,则 x + y ? P 可知,若 x ? P ,则 kx ? P (k ? N ) (1)由①可设 x , y ? P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x 故 x y ,- y x ? P ,由④,0=(- y x )+ x y ? P 。 (2)2 ? P 。若 2? P ,则 P 中的负数全为偶数,不然的话,当-( 2k ? 1 )? P ( k ? N ) 时 , - 1 = ( - 2k ? 1 ) + 2 k ? P , 与 ③ 矛 盾 。 于 是 , 由 ② 知 P 中 必 有 正 奇 数 。 设 (| y |? N )

? 2m,2n ? 1 ? P (m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使 q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P 。前后矛盾。
3.证明:设任意的 r ? Q , r ≠0,由②知 r ? S ,或- r ? S 之一成立。再由①,若 ? S ,则

r

r 2 ? S ;若- r ? S ,则 r 2 ? (?r ) ? (?r ) ? S 。总之, r 2 ? S 。
取 r =1,则 1? S 。再由①,2=1+1? S ,3=1+2? S ,?,可知全体正整数都属于 S 。 设 p, q ? S ,由① pq ? S ,又由前证知

p 1 1 ? S ,所以 ? pq ? 2 ? S 。因此, S 含有 2 q q q

全体正有理数。 再由①知,0 及全体负有理数不属于 S 。即 S 是由全体正有理数组成的集合。 4.解:(1)设任意 x 0 ? A ,则 x0 = f ( x0 ) .而 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ? x0 故 x0 ? B ,所以 A ? B .

(2)因 A ? {?1,3} ,所以

?(?1) 2 ? a ? (?1) ? b ? ?1 ? 2 ? 3 ? a ?3? b ? 3

解得 a ? ?1, b ? ?3

故 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 。由 x ? f [ f ( x)] 得

( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? x ? 3 ? 0
解得

x ? ?1, 3, ? 3

B ={ ? 1,3,? 3, 3}。
5.证明:(1)若 x ? Si , y ? S j ,则

y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? Si
所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。 否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S3 中最小的非负元素, 不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ? S 3 。 若 b >0,则 0? b - a < b ,与 b 的取法矛盾。所以 b =0。 任取 x ? S1 , 因 0? S 2 ,故 x -0= x ? S 3 。所以 S1 ? S 3 ,同理 S 3 ? S1 。 所以 S1 = S 3 。 (3)可能。例如 S1 = S 2 ={奇数}, S 3 ={偶数}显然满足条件, S1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素。 6.解: ( A ? B) ? C = ( A ? C ) ? ( B ? C ) 。 A ? C 与 B ? C 分别为方程组 (Ⅰ) ?

? ax ? y ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

(Ⅱ) ?

? x ? ay ? 1 2 2 ?x ? y ? 1
2a 1? a2 , );由(Ⅱ)解得 1? a2 1? a2

的解集。由(Ⅰ)解得( x, y )=(0,1)=(

2a 1? a2 ( x, y )=(1,0),( , ) 2 1? a2 1? a
(1)使 ( A ? B) ? C 恰有两个元素的情况只有两种可能:

? 2a ?0 ? ?1 ? a 2 ①? 2 ?1 ? a ? 1 ?1 ? a 2 ?

? 2a ?1 ? ?1 ? a 2 ②? 2 ?1 ? a ? 0 ?1 ? a 2 ?

由①解得 a =0;由②解得 a =1。 故 a =0 或 1 时, ( A ? B) ? C 恰有两个元素。

2a 1? a2 (2)使 ( A ? B) ? C 恰有三个元素的情况是: = 1? a2 1? a2
解得 a ? ?1? 2 ,故当 a ? ?1? 2 时, ( A ? B) ? C 恰有三个元素。 7.证明:由题设,{1,2,3,?, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 A, B 之一。 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,?, n }的真子集 A, B ,使得无论是 A 还是 B 中 的任两个不同的数的和都不是完全平方数。 不妨设 1? A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 ,与假设矛盾,所以 3? B 。同样 6 ? B ,所以 6
2

? A ,这时 10 ? A ,,即 10? B 。因 n ?15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15? A 时, 因 1? A ,1+15= 4 ,矛盾;当 15? B 时,因 10? B ,于是有 10+15= 5 ,仍然矛盾。因此假设 不真。即结论成立。
2

2

§4 函数的基本性质
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得 问题得到简化,从而达到解决问题的目的. I.函数的定义 设 A,B 都是非空的数集,f 是从 A 到 B 的一个对应法则.那么,从 A 到 B 的映射 f:A→B 就 叫做从 A 到 B 的函数.记做 y=f(x),其中 x?A,y?B,原象集合,A 叫做函数 f(x)的定义域,象的 集合 C 叫做函数的值域,显然 C ? B. II.函数的性质 (1)奇偶性 设函数 f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集.若对任意的 x?D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x?D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数. (2)函数的增减性 设函数 f(x)在区间 D′上满足:对任意 x1, x2?D′,并且 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称 f(x)在区间 D′上的增函数(减函数),区间 D′称为 f(x)的一个单调增 (减)区间. III.函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数 T,使得当 x 取定义域中的每个数时,f(x+T)=f(x) 总成立,那么称 f(x)是周期函数, 称做这个周期函数的周期.如果函数 f(x)的所有周期中存在最小 T 值 T0,称 T0 为周期函数 f(x)的最小值正周期.

例题讲解
1.已知 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f(2-x2),那么 g(x)( ) A.在区间(-2,0)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增 C.在(-1,0)上单调递增 D.在(0,1)上单调递增 2.设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x),当 0≤x≤ A.-1 B.0 C.1
3 时,f(x)=x,则 f(2003)=( 2

)

D.2003

3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个 不同的实数根,那么所有实数根的和为( ) 303 305 A.150 B. C.152 D. 2 2 4.实数 x,y 满足 x2=2xsin(xy)-1,则 x1998+6sin5y=______________.

5.已知 x= 19 ? 99 是方程 x4+bx2+c=0 的根,b,c 为整数,则 b+c=__________.

6.已知 f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0 有实数根,且 f(x)=1 在(0,1)内有两个实数根,求证:a >4.

7.已知 f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为 M,求证:M≥

1 . 2

8.⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0 ⑵解方程:

2x ? 4x 2 ? 1 x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1

? 2 ( x ?1 )

2

9.设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴=1,f⑵=2,f⑶=3,求

1 [f⑷+f(0)]的值. 4

10.设 f(x)=x4-4x3+

13 2 1 x -5x+2,当 x?R 时,求证:|f(x)|≥ 2 2

课后练习
1. 已知 f(x)=ax5+bsin5x+1,且 f⑴=5,则 f(-1)=( A.3 B.-3 C.5 已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,求 4x+y 的值. ) D.-5

2.

3.

解方程:ln( x 2 ? 1 +x)+ln( 4x 2 ? 1 +2x)+3x=0 若函数 y=log3(x2+ax-a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______________.

4.

5.

函数 y= x 2 ? 4x ? 5 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值是______________.

6.

已知 f(x)=ax2+bx+c,f(x)=x 的两根为 x1,x2,a>0,x1-x2> 与 x1 的大小.

1 ,若 0<t<x1,试比较 f(t) a

7.

f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,当 0≤x≤1,0≤y≤1 时. 求证:存在实数 x,y,使得 设 a,b,c?R,|x|≤1,f(x)=ax2+bx+c,如果|f(x)|≤1,求证:|2ax+b|≤4.

8.

9.已知函数 f(x)=x3-x+c 定义在[0,1]上,x1,x2?[0,1]且 x1≠x2. ⑴求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|; ⑵求证:|f(x1)-f(x2)|<1.

课后练习答案

1.解:∵ f⑴=a+bsin51+1=5 设 f(-1)=-a+bsin5(-1)+1=k 相加:f⑴+f(-1)=2=5+k ∴ f(-1)=k=2-5=-3 选B 2.解:构造函数 f(x)=x2001+x,则 f(3x+y)+f(x)=0 逐一到 f(x)的奇函数且为 R 上的增函数, 所以 3x+y=-x 4x+y=0 3.解:构造函数 f(x)=ln( x 2 ? 1 +x)+x 则由已知得:f(x)+f(2x)=0 不难知,f(x)为奇函数,且在 R 上是增函数(证明略) 所以 f(x)=-f(2x)=f(-2x) 由函数的单调性,得 x=-2x 所以原方程的解为 x=0 4.解:函数值域为 R,表示函数值能取遍所有实数, 则其真数函数 g(x)=x2+ax-a 的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数 y=g(x)的图象应该与 x 轴相交 即△≥0 ∴ a2+4a≥0 a≤-4 或 a≥0 解法二:将原函数变形为 x2+ax-a-3y=0 △=a2+4a+4·y≥0 对一切 y?R 恒成立 3 2 则必须 a +4a≥0 成立 ∴ a≤-4 或 a≥0 5.提示:利用两点间距离公式处理 y= (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 表示动点 P(x,0)到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离之和 当且仅当 P、A、B 三点共线时取的最小值,为|AB|=5 6.解法一:设 F(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c, =a(x-x1)(x-x2) ∴ f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 作差:f(t)-x1=a(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)[a(t-x2)+1] 1 =a(t-x1)(t-x2+ ) a 又 t-x2+
1 <t-(x2-x1)-x1=t-x1<0 a

∴ f(t)-x1>0 ∴ f(t)>x1 解法二:同解法一得 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 令 g(x)=a(x-x2)

∵ a>0,g(x)是增函数,且 t<x1 ? g(t)<g(x1)=a(x1-x2)<-1 另一方面:f(t)=g(t)(t-x1)+t f (t ) ? t ∴ =a(t-x2)=g(t)<-1 t ? x1 ∴ f(t)-t>x1-t ∴ f(t)>x1 7.|xy-f(x)-g(y)|≥
1 4 1 4

证明:(正面下手不容易,可用反证法) 若对任意的实数 x,y,都有|xy-f(x)-g(y)|<

记|S(x,y)|=|xy-f(x)-g(y)| 1 1 1 1 则|S(0,0)|< ,|S(0,1)|< ,|S(1,0)|< ,|S(1,1)|< 4 4 4 4 而 S(0,0)=-f(0)-g(0) S(0,1)=-f(0)-g(1) S(1,0)=-f(1)-g(0) S(1,1)=1-f(1)-g(1) ∴ |S(0,0)|+|S(0,1)|+|S(1,0)|+|S(1,1)| ≥|S(0,0)-S(0,1)-S(1,0)+S(1,1)| =1 矛盾! 故原命题得证! 8.解:(本题为 1914 年匈牙利竞赛试题) f⑴=a+b+c f(-1)=a-b+c f(0)=c 1 ∴ a= [f⑴+f(-1)-2f(0)] 2 b=
1 [f⑴-f(-1)] 2 1 [f⑴-f(-1)]| 2

c=f(0) |2ax+b|=|[f⑴+f(-1)-2f(0)]x+ =|(x+ ≤|x+ ≤|x+

1 1 )f⑴+(x- )f(-1)-2xf(0)| 2 2

1 1 ||f⑴|+|x- ||f(-1)|+2|x||f(0)| 2 2 1 1 |+|x- |+2|x| 2 2 1 1 1 1 ],(- ,0),[0, ),[ ,1]讨论即可 2 2 2 2

接下来按 x 分别在区间[-1,-

9.

证明:⑴|f(x1)-f(x2)|=|x13-x1+x23-x2| =|x1-x2||x12+x1x2+x22-1| 需证明|x12+x1x2+x22-1|<2 ………………① x12+x1x2+x22=(x1+
x 2 2 3x 2 2 ) ? 2 ≥0 2 4

∴ -1<x12+x1x2+x22-1<1+1+1-1=2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨设 x2>x1 由⑴ |f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2| ①若 x2-x1?(0,
1 ] 2

则立即有|f(x1)-f(x2)|<1 成立. ②若 1>x2-x1>
1 1 ,则-1<-(x2-x1)<- 2 2 1 2

∴ 0<1-(x2-x1)<

(右边变为正数)

下面我们证明|f(x1)-f(x2)|<2(1-x2+x1) 注意到:f(0)=f⑴=f(-1)=c |f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f⑴+f(0)-f(x2)| ≤|f(x1)-f⑴|+|f(0)-f(x2)| <2(1-x2)+2(x2-0) (由⑴) =2(1-x2+x1) <1 综合⑴⑵,原命题得证. 10. 已知 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1) ⑴若|a|≤1,求证:|f(x)|≤ ⑵若 f(x)max=
5 4

17 ,求 a 的值. 8

解:分析:首先设法去掉字母 a,于是将 a 集中 ⑴若 a=0,则 f(x)=x, 当 x?[-1,1]时,|f(x)|≤1<
5 成立 4

若 a≠0,f(x)=a(x2-1)+x ∴ |f(x)|=|a(x2-1)+x| ≤|a||x2-1|+|x| ≤|x2-1|+|x| (∵ |a|≤1) 2 ≤1-|x |+|x| = ≤
5 1 -(|x|- )2 4 2

5 4

⑵a=0 时,f(x)=x≤1≠ ∴ a≠0

17 8 1 )} 2a

∵ f(x)max=max{f⑴,f(-1),f(- 又 f(± 1)=±1≠
17 8 1 17 )= 2a 8

∴ f(x)max=f(- a(-

1 2 1 17 ) +(- )-a= 2a 2a 8
1 8 1 8

? a=-2 或 a=-

但此时要求顶点在区间[-1,1]内,应舍去- 答案为-2

例题答案:

1.提示:可用图像,但是用特殊值较好一些.选 C 2.解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴ f(x)的周期为 6 f(2003)=f(6× 335-1)=f(-1)=-f⑴=-1 选A 3 3.提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= 2 于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称. 3 3 即有一个根就是 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对的两根关于 x= 对称 2 2 利用中点坐标公式,这 100 个根的和等于 所有 101 个根的和为
3 303 × 101= .选 B 2 2 3 × 100=150 2

4.解:如果 x、y 不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法 (x-sin(xy))2+cos2(xy)=0 ∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0 ∴ x=sin(xy)=± 1 ∴ siny=1 xsin(xy)=1 原式=7 5.解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?) 由已知变形得 x- 19 ? 99 ∴ x2-2 19 x+19=99 即 x2-80=2 19 x 再平方得 x4-160x2+6400=76x2 即 x4-236x2+6400=0 ∴ b=-236,c=6400 b+c=6164 6.证法一:由已知条件可得 △=b2-4ac≥0 f⑴=a+b+c>1 f(0)=c>1 b 0<- <1 2a b2≥4ac b>1-a-c c>1 b<0(∵ a>0) 于是-b≥2 ac

① ② ③ ④

所以 a+c-1>-b≥2 ac ∴ ( a ? c )2>1 ∴
a ? c >1

于是 a ? c +1>2 ∴ a>4 证法二:设 f(x)的两个根为 x1,x2, 则 f(x)=a(x-x1)(x-x2) f⑴=a(1-x1)(1-x2)>1 f(0)=ax1x2>1 由基本不等式 x1(1-x1)x2(1-x2)≤[ ∴

1 1 (x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=( )2 4 4

a2 2 ≥a x1(1-x1)x2(1-x2)>1 16

∴ a2>16 ∴ a>4 7.解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(- ⑴若|-
a |≥1 2 a )|} 2

(对称轴不在定义域内部)

则 M=max{|f⑴|,|f(-1)|} 而 f⑴=1+a+b f(-1)=1-a+b |f⑴|+|f(-1)|≥|f⑴+f(-1)|=2|a|≥4 则|f⑴|和|f(-1)|中至少有一个不小于 2 1 ∴ M≥2> 2 ⑵|-
a |<1 2 a )|} 2
a2 +b|} 4 a2 a2 +b|,|- +b|} 4 4

M=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-

=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- =max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- ≥ ≥

1 a2 a2 (|1+a+b|+|1-a+b|+|- +b|+|- +b|) 4 4 4 1 a2 a2 [(1+a+b)+(1-a+b)-(- +b)-(- +b)] 4 4 4

= (2 ? ≥
1 2

1 4

a2 ) 2

综上所述,原命题正确. 8.⑴解:原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0 即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x) 构造函数 f(x)=x2001+x 原方程等价于 f(x+8)=f(-x) 而由函数的单调性可知 f(x)是 R 上的单调递增函数 于是有 x+8=-x x=-4 为原方程的解 ⑵两边取以 2 为底的对数得

log2

2x ? 4x 2 ? 1 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 1
2 2 2

? ( x ? 1) 2

即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? x 2 ? 2x ? 1 即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? 2x ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? ( x 2 ? 1) 构 造 函 数 ( x) ? log2 ( x ? x 2 ? 1 ) ? x f
于是 f(2x)=f(x2+1) 易证:f(x)世纪函数,且是 R 上的增函数, 所以:2x=x2+1 解得:x=1 9.解:由已知,方程 f(x)=x 已知有三个解,设第四个解为 m, 记 F(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m) ∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x f⑷=6(4-m)+4 f(0)=6m 1 ∴ [f⑷+f(0)]=7 4 10.证明:配方得: 5 1 f(x)=x2(x-2)2+ (x-1)2- 2 2 =x2(x-2)2+ =(x2-2x)2+
5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2

=[(x-1)2-1]2+

=(x-1)4-2(x-1)2+1+

=(x-1)4+ ≥
1 2

1 1 (x-1)2+ 2 2

§5 二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富内涵。在中学数学数材中,对二次函数 和二次方程,二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质,都有深入和反复的讨论与练习。它

对近代数学,乃至现代数学,影响深远,为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,历久不衰, 以它为核心内容的重点试题,也年年有所变化,不仅如此,在全国及各地的高中数学竞赛中,有 关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此,必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点(-b/2a,(4ac-b /4a),顶点的由来体现了配方法 2 2 2) 2 2 (y=ax +bx+c=a(x+b/2a) +(4ac-b /4a);图象的平移归结为顶点的平移(y=ax →y=a(x-h) +k); 函数的对称性(对称轴 x=-b/2a,f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x),x?R),单调区间(-∞,-b/2a), 2) 2 [-b/2a,+∞]、极值((4ac-b /4a),判别式(Δ b -4ac)与 X 轴的位置关系(相交、相切、相离) 等,全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 (一元)二次函数 → 2 y=ax +bx+c (a≠0) ↑ ↑ (一元)二次三项式 → 2 ax +bx+c(a≠0)
↓ ↓ ↓
2

2)

a=0



(一元)一次函数 y=bx+c(b≠0) ↑ ↑ 一次二项式 bx+c(b≠0)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓

a=0



↓ ↓ 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) → a=0 →

一元一次方程 bx+c=0(b≠0)


一元二次不等式 2 ax +bx+c>0 或 2 ax +bx+c<0(a≠0) → a=0 →


一元一次不等式
bx+c>0 或 bx+c<0(b≠0)

观察这个框图,就会发现:在 a≠0 的条件下,从二次三项式出发,就可派生出一元二 次函数,一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式 2 2 ax +bx+c(a≠0)像一颗心脏一样, 支配着整个 “四个二次型” 的运动脉络。 而二次函数 y=ax +bx+c(a ≠0),犹如“四个二次型”的首脑或统帅:它的定义域即自变量 X 的取值范围是全体实数,即 n 2 2 ?R;它的解析式 f(x)即是二次三项式 ax +bx+c(a≠0);若 y=0,即 ax +bx+c=0(a≠0),就是初 2 2 中重点研究的一元二次方程;若 y>0 或 y<0,即 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a≠0),就是高中一 年级重点研究的一元二次不等式,它总揽全局,是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次 函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在,它直接影响着两大主干:一元二次方程 和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点;一元二次不等式的解集可 看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话,“四个二次型”联系密切, 把握它们的相互联系、相互转化、相互利用,便于寻求规律,灵活运用,使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式

上面提到,“四个二次型”的心脏是二次三项式:二次函数是通过其解析式来定义的(要特 别注意二次项系数 a≠0);二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此,掌握二次函数首先 要会求解析式,进而才能用解析式去解决更多的问题。 y=ax +bx+c(a≠0)中有三个字母系数 a、b、c,确定二次函数的解析式就是确定字母 a、b、c 的取值。三个未知数的确定需要 3 个独立的条件,其方法是待定系数法,依靠的是方程思想及解 方程组。 二次函数有四种待定形式: 1.标准式(定义式):f(x)=ax +bx+c.(a≠0) 2 2.顶点式: f(x)=a(x-h) +k .(a≠0) 3.两根式(零点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 4.三点式:(见罗增儒《高中数学竞赛辅导》) 过三点 A(x1,f (x1))、B(x2,f (x2))、C(x3,f (x3))的二次函数可设为 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把 ABC 坐标依次代入,即令 x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3), f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3), f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之,得:a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3),a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3),a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 从而得二次函数的三点式为: f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2) 根据题目所给的不同条件,灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式,将会得心应手。
2 2

例题讲解
元素与集合的关系 1. 集合 A ={ y | y ? x ? 2x ? 4 }, B ={ y | y ? ax ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a 的取值集
2 2

合.

2.

考察所有可能的这样抛物线 y ? x ? ax ? b ,它们与坐标轴各有三个不同的交点,对于每
2 2

一条这样的抛物线,过其与坐标轴的三个交点作圆.证明:所有这些圆周经过一定点.

3.

抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的顶点位于区域 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 1.0 ? y ? 1} 内部或边界上,求

b 、 c 的取值范围.

4.

设 x = p 时,二次函数 f (x) 有最大值 5,二次函数 g (x) 的最小值为-2,且 p >0, f (x) + g (x) = x ? 16x ? 13 , g ( p ) =25.求 g (x) 的解析式和 p 值.
2

5.

已知 0? x ?1, f (x) = x ? ax ?
2

a ( a ? 0) , f (x) 的最小值为 m . 2

(1)用 a 表示 m ;(2)求 m 的最大值及此时 a 的值.

6.函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ?
2 2

9 , x ?[― m ,1― m ],该函数的最大值是 25,求该函数取最 4

大值时自变量的值.

7.一幢 k (>2)层楼的公寓有一部电梯,最多能容纳 k -1 个人,现有 k -1 个学生同时在第一 层楼乘电梯,他们中没有两人是住同一层楼的.电梯只能停一次.停在任意选择的一层.而对每 一个学生而言,自已往下走一层感到一分不满意,而往上走一层感到 2 分不满意,问电梯停在哪 一层,可使不满意的总分达到最小?

8.已知方程 (ax ? 1) ? a (1 ? x ) ,其中 a >1,证明:方程的正根比 1 小,负根比 -1 大.
2 2 2

9.若抛物线 y ? x 2 ? ax ? 2 与连接两点 M (0,1), N (2,3)的线段(包括 M 、 N 两点) 有两个相异的交点,求 a 的取值范围.

10.设 x1 ? x2 ? x 3 ? x4 ?2,且 x2 + x 3 + x4 ? x1 ,证明: ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 2 ? 4x1 x2 x3 x4

11.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ?0 时, f (x) =- x ? 2 x .另一个函数 y = g (x) 的定义域
2

为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、b ≠0.在 x ?[ a , b ]上, f (x) = g (x) .问:是否存在实数 b a

m ,使集合{ ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b]}? {( x, y) | y ? x 2 ? m} 恰含有两个元素?

课后练习
1. 已知二次函数的图象过(-1,-6),(1,-2)和(2,3)三点,求二次函数的解析式。

2.二次函数的图象通过点(2,-5),且它的顶点坐轴为(1,-8),求它的解析式

3.已知二次函数的图象过(-2,0)和(3,0)两点,并且它的顶点的纵坐标为 125/4,求它的解 析式。

4.已知二次函数经过 3 点 A(1/2,3/4)、B(-1,3)、C(2,3),求解析式。

5.当 X 为何值时,函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) 取最小值。

2

2

2

6. 已知 x1,x2 是方程 x -(k-2)x+(k +3k+5)=0 (k 为实数)的两个实数根, 1 +x2 的最大值是: x (
(A)19; (B)18; (C)50/9 (D)不存在

2

2

2

2



7.已知 f (x)=x -2x+2,在 x?[t,t+1]上的最小值为 g (t),求 g (t)的表达式。

2

8.(1)当 x +2y =1 时,求 2x+3y 的最值; (2)当 3x +2y =6x 时,求 x +y 的最值。
2 2 2 2

2

2

2

课后练习答案
1. [解法一]:用标准式 ∵图象过三点(-1,-6)、(1,-2)、(2,3) ∴可设 y=f(x)=ax2+bx+c,且有 a-b+c=-6 ①,a+b+c=-2 ②,4a+2b+c=3 ③ 解之得:a=1,b=2,c=-5 ∴所求二次函数为 y=x2+2x-5 [解法二]:用三点式 ∵图象过三点(-1,-6),(1,-2),(2,3) ∴可设 y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2-
[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)

计算可得:a1=-6/(-1-1)(-1-2)=-1, a2=-2/ (1+1)(1-2)=1, a3=3/ (2+1)(2-1)=1 ∴f(x)=x +2x-5 2. 解:∵它的顶点坐标已知 ∴可设 f (x)=a(x-1)2-8 ,又函数图象通过点(2,-5), ∴a(2-1)2-8=-5 ,解之,得 a=3 故所求的二次函数为:y=3(x-1)2-8 即:y=f (x)=3x2-6x-5 [评注],以顶点坐标设顶点式 a(x-h)2+k,只剩下二次项系数 a 为待定常数,以另一条件代入 得到关于 a 的一元一次方程求 a,这比设标准式要来得简便得多。
2

3.

解:∵(-2,0)和(3,0)是 X 轴上的两点, ∴x1=-2,x2=3 可设 y=f(x)=a(x+2)(x-3) 2 2 2 =a(x -x-6)=a[(x-1/2) -25/4]=a(x-1/2) -25/4a

它的顶点的纵坐标为-25/4a ,∴-25/4a=125/4,a=-5 故所求的二次函数为:f (x)=-5(x+2)(x-3)=-5x +5x+30 [想一想]:本例能否用顶点式来求? 4. [分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式,但解方程组与求 a1、a2、a3 计算较繁。仔细 观察三点坐标特点或画个草图帮助分析,注意到三点的特殊位置,则可引出如下巧解。 [解法一]:顶点式:由二次函数的对称性可知,点 B、C 所连线段的中垂线 x=(-1+2)/2=1/2 即为图象的对称轴,从而点 A(1/2,3/4)必是二次函数的顶点,故可设顶点 2 式:f(x)=a(x-(1/2)) +(3/4) 把 B 或 C 的坐标代入得:f(-1)=a(-3/2) +(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得:a=1 ,∴f(x)=(x-(1/2)) +3/4=x -x+1
2 2 2 2

[解法二]由 B、C 的纵坐标相等可知 B、C 两点是函数 y=f (x)与直线 y=3 的交点,亦即 B、C 两点的横坐标是方程 f (x)=3 即 f (x)-3=0 的两个根故可设零点式为: f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把 A 点坐标代入,有 f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2),即-9/4=-9/4a,a=1 从而 f (x)=(x+1)(x-2)+3=x -x+1 5.解:∵f (x)=(x -2a1x+a1 )+(x -2a2x+a2 )+?+(x -2anx+an )=nx -2(a1+a2?+an)x+(a1 +a2 +?+an ) ∴当 x=((a1+a2+?+an)/n)时,f(x)有最小值。 [评注]:1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题,在测量某物理量的过程中,因仪器和 观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1、a2、?,an 共 n 个数据。我们规定的所测物理量的“最 佳近似值” 是这样一个量: a 与其它近似值比较, 与各数据差的平方和最小, a 依此规定, a1,a2,? 从 an 推出 a= 读者从 5 的解答中,能否悟到解决此题的灵感? 6.解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k +3k+5 ∴x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=(k-2) -2(k +3k+5) 2 2 =-k -10k-6=-(k+5) +19 如果由此得 K=-5 时,(x1 +x2 )max=19,选(A),那就错了。为什么?已知该 x1,x2 是方程 的两个“实数”根,即方程必须有实数根才行,而此时方程的判别式Δ ?0,即
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Δ =(k-2) -4(k +3k+5)=-3k -16k-16?0 ①

2

2

2

解①得:-4?k?-4/3
∵k=-5 [-4,-4/3],设 f(k)=-(k+5) +19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18
2

∴当 k=-4 时,(x1 +x2 )max=18, ∴选(B) [评注]:求二次函数最值时,必须首先考虑函数定义域。否则,审题不慎,忽略“实数”二 字,就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。 7. 解:f (x)= (x-1) +1 (1)当 t+1<1 即 t<0 时,g(t)=f(t+1)=t +1 (2)当 t?1?t+1,即 0?t?1 时,g (t)=f (1)=1 (3)当 t>1 时,g(t)=f (t)=t -2t+2
2 2 2

2

2

综合(1)、(2)、(3)得: 8. (1) x +2y =1 得 y =1/2(1-x ), 解: 由 代入 2x+3y =2x+(3/2)(1-x )=(-(3/2))(x-(2/3)) +(13/6) 又 1-x =2y ?0,∴x ?1,-1?x?1 ∴当 x=2/3 时,y=(√10)/6,(2x+3y )max=16/3; 当 x=-1 时,y=0, (2x+3y )min=-2
(2)由 3x +2y =6x,得 y =(3/2)x(2-x),代入 x +y =x +(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3) +9/2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

又 y =(3/2)x (2-x)?0,得 0?x?2 当 x=2,y=0 时,(x +y )max=4;当 x=0,y=0 时,(x +y )min=0
2 2 2 2

2

例题答案:
1 . 解 : A 、 B 分 别 表 示 函 数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 与 函 数 y ? ax2 ? 2 x ? 4a 的 值 域 . 由

x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ?3 知 A =[3,+∞).而 B 受参数 a 的影响,要进行讨论.

a =0 时, y ? ?2 x ,值域是 R 符合条件 A ? B .
1? ? a ≠0 时, f (x) = ax2 ? 2 x ? 4a 是二次函数,如果 a <0,该函数的值域为 ? ? ?,4a ? ? , a? ?
这时 A B 不成立.如果 a >0 时,由[3,+∞] ? [ 4 a ? 1 综上所述, a 的可取值集合为{ a |0? a ?1}。 说明:参数 a 的取值决定了函数 f (x) = ax ? 2 x ? 4a 的类别及性质,因而对该函数的值域有影
2

?a ? 0 1 ? 1 ,+∞],得 ? 4a ? ? 3 a ? a ?



0< a ?

响.为了由 A ? B 求出 a 的允许值范围,必须对参数 a 分情况讨论. 2. 证明: 设抛物线 y ? x ? ax ? b 与 x 轴的交点为 x1 , 、 x2 , . ( 0) ( 0) 由韦达定理知 x1 ? x2 ? ?b
2 2 2

<0

(因为 b =0,则 y ? x ? ax 与坐标轴只有两个不同的交点),故点( x1 ,0)、( x2 ,0)在坐
2 2

标原点的两侧.又因为 | x1 | ? | x2 |?| ?b | ?1 ,由相交弦定理的逆定理知,点( x1 ,0)、( x2 ,

0)、 (0, ? b ), (0,1)在同一个圆周上,即过抛物线与坐标轴的三个交点( x1 ,0)、 x2 , (
2

0)、(0, ? b )的圆一定过定点(0,1).于是所有的这些圆周均经过一定点(0,1).
2

b 4c ? b 3. 解: 抛物线的顶点坐标为 ? , ( ) 故 , 2 4
2

b ? ? 0 ? ? 2 ?1 ? 2 ?0 ? 4c ? b ? 1 4 ?

?? 2 ? b ? 0 ? b2 , ? ?b 2 ? 4 ? c ? 4 ?1 ?

上式即为 b 、 c 的取值范围. 4.解:由题设 f ( p ) =5, g ( p ) =25, f ( p) ? g ( p) = p 2 ? 16 p ? 13 ,所以 解得

p 2 ? 16 p ? 13 =30,

p =1 ( p = -17 舍去).由于 f (x) 在 x =1 时有最大值 5,故设

f (x) = a( x ? 1) 2 ? 5, a ? 0
所以

g (x) = x 2 ? 16x ? 13 - f (x) = (1 ? a) x 2 ? 2(a ? 8) x ? 8 ? a , g (x) 的最小值为- 因

4(1 ? a)(8 ? a) ? 4(a ? 3) 2 2,故 ? ?2 ,所以 a ? ?2 .从而 g (x) = 3x 2 ? 12x ? 10 . 4(1 ? a)
5.解:(1)把 f (x) 改写成 f (x) = ( x ?

a 2 a a2 a a a2 ) ? ? .于是知 f (x) 是顶点为( , ? ), 2 2 4 2 2 4
a ?1,即 0< a ?2 时, f (x) 的最小值为 2

开口向上的抛物线.又因为 x ?[0,1],故当 0<

a a a2 f( )? ? ; 2 2 4

?a a2 ? ? , (0 ? a ? 2) a a 4 当 >1,即 a >2 时, f (x) 有最小值 f (1) ? 1 ? .于是 m ? ? 2 a 2 2 ? 1? , (a ? 2) 2 ?
(2)当 a >2 时,1 ? 为

a 1 1 a a2 2 的值小于 0,而当 0< a ?2 时, ? = ? ( a ? 1) ? ,它的最大值 2 4 4 2 4

1 1 (当 a =1 时取得),故 m 的最大值为 ,此时 a =1. 4 4

说明:对于某些在给定区间上的二次函数最值问题,往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑. 6.分析:限定在区间[― m ,1― m ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况.当 x 可 取任意实数时,二次函数 ? 3 x ? 3 x ? 4m ?
2 2

9 1 的图象是对称轴为 x ? ? 开口向下的抛物线, 2 4

?

1 与区间[― m ,1― m ]的位置关系决定了已知函数的单调状况,因此要分区间讨论. 2

当?

1 1 1 3 2 2 ?[― m ,1― m ],即 ? m ? 时,最大值应是 f ( ? ) ? 4m ? 3 .由 4m ? 3 =25, 2 2 2 2

m 2=

1 3 1 3 11 22 ,不符合 ? m ? 的条件.可见 m ? [ , ] . 得 | m |? 2 2 2 2 2 2

1 3 9 2 2 >1― m ,即 m > 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? , x ?[― m ,1― m ]是增函 2 2 4 5 23 23 3 15 2 ? 25 , 数, 可见 f (1 ? m) ? m ? 9m ? 解之得 m = 或 m = ? . 其中 m = ? 不合 m > 2 2 2 2 4 5 3 的条件,舍去.可见 1― m =1- =- . 2 2 1 1 9 2 2 当 ? <― m ,即 m < 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? 是[― m ,1― m ]是减函数, 2 2 4 7 13 7 1 9 2 可见 f (?m) ? m ? 3m ? ? 25 ,解之得 m = 或 m = ? .其中 m = 不合 m < 的条件,舍 2 2 2 2 4 13 3 13 去,由此知 m = ? . 综上所述,当 x =- 或 x = 时, 函数 f (x) 有最大值 25. 2 2 2 1 说明:由点 ? 与区间[― m ,1― m ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用.本 2 题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 x 的值, 没有问 m 的值, 但这个 x 值与 m 值有直接关系, 所以要先求 m 再求 x . 7.解:设电梯停在第 x 层,则不满意的总分为 S =(1+2+?+ x -2)+2(1+2+?+ k - x ) 4k ? 5 1 2 2 ) 时,S 最小, = [3x ? (4k ? 5) x] ? k ? k ? 1 ,所以当 x = N ( 其中 N (a ) 表示最接近于 a 6 2 4k ? 5 ) 时, 的整数. 例如 N (3) ? 3, N (3.6) ? 4, N (2.1) ? 2, N (2.5) ? 2或3 ,故当电梯停在 N ( 不 6
当? 满意总分最小. 8.证明:原方程整理后,得 2a x ? 2ax ? 1 ? a =0,令 f (x) = 2a x ? 2ax ? 1 ? a ,则 f (x)
2 2 2 2 2 2

2 是开口向上的抛物线,且 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,故此二次函数 f (x) =0 有一个正根,一个负根.要

证 明 正 根 比 1 小 , 只 须 证 f (1) ? 0 , 要 证 明 负 根 比 - 1 大 , 只 须 证 f (?1) > 0 . 因 为

f (1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0 f (?1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0

从而命题得证.

2 9.解:易知过两点(0,1)、(2,3)的直线方程为 y ? x ? 1 ,而抛物线 y ? x ? ax ? 2 与线
2 段 MN 有两个交点就是方程 x ? ax ? 2 ? x ? 1 在区间[0,2]上有两个有两个不等的实根.令

a ?1 ? ?0 ? ? 2, ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 解得 的范围为 ? 3 ? ?- f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? 1.则 ? a a 2 2 ? f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 2a ? 3 ? 0 ?
1. 说明:利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段. 10.证明:令 a = x2 + x 3 + x4 , b ? x2 x3 x4 ,则原不等式为 ( x1 ? a) 2 ? 4 x1b ,即
2 2 x1 ? 2(a ? 2b) x1 ? a 2 =0,令 f (x) = x ? 2(a ? 2b) x ? a 2 ,则只需证明 f ( x1 ) ?0.因

? ? 4(a ? 2b) 2 ? 4a 2 ? 16b(b ? a) ,而

a x 2 ? x3 ? x 4 1 1 1 ? ? ? ? ? b x 2 x3 x 4 x 2 x3 x3 x 4 x 2 x 4

1 1 1 3 ? ? ? ? 1 ,所以 b ? a ,从而 ? >0, f (x) 与 x 轴有两个不同的交点.易知这两个交点为 4 4 4 4

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a)
[

,下证 x1 ?[ u, v ].

a a ? 3x1 ? 3a, ? x1 ? [ , a ] ,只需证 3

a a , a ] ? [ u, v ],即 u ? , a ? v ,由于 v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? 2b ? a ? a , 3 3

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? ( b ? b ? a ) 2 ? (

a b ? b?a

)2 ? (

a b b ? ? 1) 2 a a

? (

a 4 1 2 ? ) 3 3

?

a 3

所以 x1 ?[ u, v ],从而必有 f ( x1 ) ?0. 解 法 二 : 只 需 证 明 f ( x1 ) ? 0 , 而

a a ? x1 ? a , 因 此 只 需 证 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 而 3 3 a 4 a 3 a f (a) ? 4a(a ? b) , f ( ) ? a (4a ? 3b) ,由 ? 可证得 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 b 4 3 9 3
2
2

说明:通过构造二次函数,然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题,往往会使问题简化. 11.分析:{ ( x, y) | y ? x ? m }是以 y 轴为对称轴由 y = x 的图象平移所形成的抛物线系.对给 定的 m 它表示一条抛物线, 条件 ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b] ? {( x, y) | y ? x ? m}恰含有两个元
2

素的意思是函数 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象与抛物线 y ? x ? m 恰有两个交点.首先要弄清楚
2

y = g (x) , x ?[ a , b ],进而作出它的图象.
容易求出奇函数 y = f (x) 在 x <0 时的解析式是 f (x) = x ? 2 x . f (x) = ? 即
2

?? x 2 ? 2 x ( x ? 0)
2 ? x ? 2x

( x ? 0)

函数 y = g (x) 的定义域为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、 b ≠0,这表明 b a

?a ? b ?1 1 ? ? ?b a ?

可见 a 、 b 同号.也就是说 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象在第一或第三 象限内. 根据 f (x) = g (x) x ?[ a , b ]以及 f (x) 的图象可知, ( 函数 g (x) 的图象如所示曲线的一部分. 值域与函数的单调状况有关,又与定义域有关.如果只考虑 0< a < b <2 或-2< a < b <0 两种情况,不能准确地用, a 、 b 表示出值域 区间的端点,因此要把区间(0,2),(-2,0)再分细一些,由图中 看出,当 a 、 b >0 时,考虑以下三种情况较好.0< a < b ?1,0< a <1< b ,1? a < b <2.

1 1 1 >1. 但是 x ? (0, 1]时, f (x) ?1,这与 g (x) 的值域区间[ , ] a b a 的右端点大于 1 矛盾.可见不出现 0< a < b ?1 的情形. ?1 2 ? b ? g (b) ? ?b ? 2b 如果 1? a < b <2,由图看出 g (x) 是减函数,可见 ? 整理得 1 ? ? g ( a ) ? ? a 2 ? 2a ?a ?a ? 1 ?(a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ,考虑到 1? a < b <2 的条件,解之得 ? 1? 5 . ? 2 b? (b ? 1)(b ? b ? 1) ? 0 ? ? 2 ? 完全类似地,考虑到-1? a < b <0,-2< a <-1< b <0,-2< b < a ?-1 三种情况
如果 0< a < b ?1, 那么 后,可以在-2< b < a ?-1 的情况下通过值域条件得出

? ?a ? ? 1 ? 5 ,这就得到了函数 ? 2 ? b ? ?1 ?

? 2 ? ? x ? 2x ? g ?( x) ? ? ? x 2 ? 2x ? ?

(1 ? x ? (

?1? 5 ? x ? ?1) 2

1? 5 ) 2

对于某个 m ,抛物线与函数 g ?(x ) 的图象有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交点在 第三象限.因此, m 应当使方程 x ? m ? ? x ? 2 x ,在[1,
2 2

1? 5 ]内恰有一个实数根,并且使 2

方程 x ? m ? x ? 2 x ,在[
2 2

?1? 5 ,?1 ]内恰有一个实数根.问题归结为求 m ,使 2

? 2 ?2 x ? 2 x ? m ? 0 ? ? ? x? 1m ? 2 ?
在 [1,

1? 5 ]内恰有一个实根 ? (1) ? 2 2 由 (1) 方程 2 x ? 2 x ? m 得, ?1? 5 在[ ,?1]内恰有一个实根 (2) ? 2 在[1,

1? 5 1? 5 ] 内恰有一根,设 h( x) ? 2 x ? 2 x 2 ,则 h( ) ? m ? h(1) 即 ? 2 ? m ? 0 ,由(2) 2 2



?1? 5 1 ? m ? ?1 ,即 ? 1 ? 5 ? m ? ?2 ,∴ m =-2.易证,抛物线 y ? x 2 ? 2 与函数 2 2 5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

g (x) 图象恰有两个交点(―1,―1)和(

综上所述:题目条件下的实数 m =-2. 说明:解题过程可分为“求函数 y ? f (x) ”,“求函数 y ? g (x) ”,“求 m ”三个阶段.求函 数 y ? g (x) 的关键步骤是求 a, b 的值.运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程,最终把求

m 的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题.
可以看出,当 m ?(-2,0)时,抛物线 y ? x 2 ? m 与函数 y ? g (x) 的图象在第一象限内有一个 交点,当 m ? ? 1 ? 5,?2 时,在第三象限内有一个交点.

?

?

§6 二次函数(2)
二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与 x 轴的交点)问题,因此,二次方程 的实根分布问题,即二次方程的实根在什么区间内的问题,借助于二次函数及其图象利用形数结 合的方法来研究是非常有益的。 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的二实根为 x1,x2,(x1<x2),Δ =b -4ac,且α 、β (α <β )是预先给 定的两个实数。 1.当两根都在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件: ∵α <x1<x2<β ,对应的二次函数 f (x)的图象有下列两种情形(图 1)
2 2

当 a>0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )>0,f (β )>0 当 a<0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )<0,f (β )<0 两种情形合并后的充要条件是:

Δ >0,α <-b/2a<β ,af(α )>0,af (β )>0



2.当两根中有且仅有一根在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件: ∵α <x1<β 或α <x2<β ,对应的函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 2)

从四种情形得充要条件是: f (α )?f (β )<0 ②

3.当两根都不在区间[α ,β ]内方程系数所满足的充要条件: (1)两根分别在区间[α ,β ]之外的两旁时: ∵x1<α <β <x2,对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形(图 3):

当 a>0 时的充要条件是:f (α )<0,f (β )<0 当 a>0 时的充要条件是:f (α )>0,f (β )>0 两种情形合并后的充要条件是: af (α )<0,af (β )<0 ③

(2)两根分别在区间[α ,β ]之外的同旁时: ∵x1<x2<α <β 或α <β <x1<x2,对应函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 4):

当 x1<x2<α 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a<α ,af (α )>0 当β <x1<x2 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a>β ,af (β )>0 二次函数与二次不等式 前面提到,一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明 不等式成立,经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x 轴的位置关系等。 ⑤ ④

例题讲解
1. 已知方程 x +2px+1=0 有一个根大于 1,有一个根小于 1,则 P 的取值为
2



2. 3. 4.

如果方程(1-m )x +2mx-1=0 的两个根一个小于零,另一个大于 1,试确定 m 的范围。 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0).若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f[f(x)]=x 也无实根, 对二次函数 f(x)= ax +bx+c(a≠0),求证,必存在 x=±M≠0,使 f(±M)均与 a 同号。
2 2

2

2

5.

若 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn 都是实数, 求证: 1b1+a2b2+?+anbn)?(a1 +a2 +?+a n)(b1 +b2 +? (a 2 +b n)

2

2

2

2

2

2

6.设二次函数 f(x)= ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2<1/a。 (1)当 x?(0,x1)时,证明 x<f(x)<x1 (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明:x0<x1/2。

2

7.当 K 为什么实数时,关于 X 的二次方程 7x -(k+13)x+k -k-2=0 的两个实根α 和β 分别满足 0 <α <1 和 1<β <2?

2

2

8.函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是



课后练习
1.f(x)是定义在全体实数上的偶函数,它的图象关于 x=2 为轴对称,已知当 x?(-2,2]时 f(x) 2 2 2 2 的表达式为-x +1, 则当 x?(-6,-2)时, f(x)的表达式是: (A)-x +1, (B) -(x-2) +1, (C)-(x+2) +1, 2 (D)-(x+4) +1。 ( )

2.已知 x -4x+b=0 的一个根的相反数为 x +4x-b=0 的根,则 x +bx-4=0 的正根为

2

2

2



3. 已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 且 f(-1)=-2,又 f(x)?2x 对一切 x?R 都成立,求 a+b=?

2

4.设θ ?[0,π ],关于 x 的方程 x -2∣x∣cosθ +1=0 有实根,则 4x +13∣x∣+23=

2

2



5.已知方程 ax +bx+c=0(a≠0)有实根 x1 与 x2,设 P=x1 ap+bq+cr= 。

2

2002

+x2

2002

,q=x1

2001

+x2

2001

,r=x1

2000

+x2

2000



6.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a<0)满足 f(x+2)=f(2-x),那么 f(0),f(-2002),f(2002)的大小关 系是(A)f(0)<f(2002)<f(-2002),(B)f(2002)<f(0)<f(-2002),(C)f(-2002)<f(0)<f(2002), (D)f(-2002)<f(2002)<f(0)

2

7.若 sin x+cosx+a=0 有实根,试确定实数 a 的取值范围是什么?

2

8.已知 x,y 都是实数,C=x +y -xy-x+y,则 C 的最小值等于 9.代数式 2x +2xy+2y +2x+4y+5 的最小值为:(A)0
4 2 2 2

2

2

。 (C)9/2 (D)3

(B)5

10.函数 f(x)=x -2x +2 的单调增区间是:(A)[1,+∞),(B)(-∞,-1)∪[1,+∞),(C)[-1,0] ∪[1,+∞),(D)以上都不对
11.若二次函数 f(x)=ax +bx,有 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)则 f(x1+x2)=
2
2



12.给定函数 f(x)=x +ax+b 设 P,q 是满足 P+q=1 的实数,证明,若对于任意的实数 x,y,均有: pf(x)+qf(y)?f(px+qy),则 0?p?1

课后练习答案
1. (D) 2.2; ; 3.110; 4.40; 5.0; 6.(D); 7.[-5/4,1]; 8.-1/3; 9.(D); 10.(D); 11.0; 12.(略)。

例题答案:
1.解:记 f(x)=x +2px+1,则 f(x)r 的图象开口向上,当 f(x)与 x 轴的两交点一个在(1,0)左 2 方,另一个在(1,0)右方时,必有 f(1)<0,即:1 +2P+1<0,即 P<-1
2

所以 P 的取值为(-∞,-1) 2.解:令 f(x)=(1-m )x +2mx-1,根据题设条件,f(x)的图形是下列两种情形之一(图 5):
2 2

得充要条件:(1-m )f(0)<0,(1-m )f(1)<0;即 1-m >0,(1-m )(2m-m )<0 解得:-1<m<0 3.证明:已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0) 方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax +(b-1)x+c=0 无实根,f(x)-x 仍是二次函数,f(x)-x=0 仍是二次 2 方程,它无实根即Δ =(b-1) -4ac<0 若 a>0,则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方, ∴y>0,即 f(x)-x>0 恒成立,即:f(x)>x 对任意实数 x 恒成立。 ∴对 f(x), 有 f(f(x))>f(x)>x 恒成立 ∴f(f(x))=x 无实根 若 a<0,函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 ∴y<0,即 f(x)-x<0 恒成立 ∴对任意实数 x,f(x) <0 恒成立 ∴对实数 f(x),有:f(f(x))<f(x)<x 恒成立 ∴f(f(x))=x 无实根 综上可知,当 f(x)=x 无实根时,方程 f(f(x))=x 也无实根 4.分析:这是一道证明题。从图象上看,当 a>0 时,抛物线开口向上,f(x)>0 的解集要么为 全体实数集合 R (△<0); 要么为 (-∞,x0) ∪(x0,+ ∞)(Δ =0,f(x0)=0), 要么为 (-∞,x1) ∪(x2,+ ∞) (Δ >0,f(x1)=f(x2)=0),故总可以找到±M≠0,±M?R,或±M?(-∞,x0)∪(x0,+∞),或
2 2

2

2

2

2

2

±M?(-∞,x1)∪(x2,+∞),使 f(±M)>0,因此 af(±M)>0,对于 a<0 的情形,也是如此, 2 2 只不过 f(±M)<0,从代数的角度看问题,af(x)>0 即 a x +abx+ac>0 ①它有解且解集合中包 含着 x=M 与 x=-M(M≠0)一对相反数,因此,需考虑①所对应的二次方程的判别式。 证明:∵f(x)= ax +bx+c(a≠0) ∴af(x)= a x +abx+ac=1/4[4a x +4abx+4ac]=1/4(2ax+b) -1/4(b -4ac) ∴af(x)>0 即:1/4(2ax+b) -1/4(b -4ac)>0 亦即(2ax+b) -(b -4ac)>0 (1)当Δ =b -4ac<0 时,af(x)>0 的解集为(-∞,+∞) 2 (2)当Δ =b -4ac=0 时,af(x)>0 的解集为(-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞) 2 (3)当Δ =b -4ac>0 时,方程 af(x)=0 有两个不等的实数根 x1,x2(x1<x2),相应的不等式 af(x)>0 的解集合为:(-∞,x1)∪(x2,+∞) 因为三种情况下的解集合均为无穷区间,故均存在-M 与 M 同属于解集合,使 af(±M)>0,从 而 a 与 f(±M)同号。 5.证明:构造二次函数 f(x)=(a1x-b1) +(a2x-b2) +?+(anx-bn) =(a1 +a 2+?+a n)x -2(a1b1+a2b2+?+anbn)x+(b1 +b 2+? 2 +b n) 当 a1 +a 2+?+a n≠0 即 a1,a2,?,an 不全为零时,显然有对 x?R,f(x)?0,故 f(x)=0 的判别 2 2 2 2 2 2 2 式:Δ =4(a1b1+a2b2+?+anbn) -4(a1 +a2 +?+a n)?(b1 +b 2+?+b n)?0 即(a1b1+a2b2+?+anbn) ?(a1 +a2 +?+a n)?(b1 +b 2+?+b n) 当 a1=a2=?=an=0 时,结论显然成立,故命题成立。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[评注]本例中的不等式即是著名的柯西不等式, 有时它也写作 等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=?=an/bn 时成立。



6.[分析]该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第 24 题,它综合考查二次函数、二次方 程和不等式的基础知识,以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力,当年没有几个考 生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考: 从代数角度看,f(x)是二次函数,从而方程 f(x)-x=0 即 ax +(b-1)x+c=0(a>0)是二次方程, 2 由于 x1,x2 是它的两个根,且方程中 x 的系数是 a,因此有表达式:f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)进而, 利用二次函数的性质和题设条件,可得第(1)问的证明。
2

从几何角度看,抛物线 y=f(x)-x 开口向上,因此在区间[x1,x2]的外部,f(x)-x>0,(1) 的左端得证。其次,抛物线 y=f(x)的开口也向上,又 x1=f(x1),于是为了证得(1)的右端,相 当于要求证明函数 f(x)在区间[0,x1]的最大值是 f(x1),这相当于证明 f(0)?f(x1),也即 C? x1,利用韦达定理和题设,立即可得。 至于(Ⅱ)的证明,应用配方法可得 x0=-b/2a,进而利用韦达定理与题设,即得证明。 证明:①欲证:x<f(x)<x
只须证:0<f(x)-x<x1-x
2



因为方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2,f(x)=ax +bx+c(a>0),∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x ②

∵a>0,x?(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>0 ②式两边同除以 a(x1-x)>0,得:0<x2-x<1/a,即:x<x2<1/a+x 这由已知条件:0<x<x1<x2<1/a,即得:x<x2<(1/a)<1/a+x, 故命题得证。 (2)欲证 x0<x1/2,因为 x0=-b/2a,故只须证:x0-x1/2=-b/2a-x1/2<0 由韦达定理,x1+x2=(-b-1)/a,(x1+x2)/2=-(b-1)/2a,代入③式,有 (-(b/2a))-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a))<0 ,即:x2<1/a 由已知:0<x1<x2<1/a,命题得证。 [评注]证(1)用到了二次函数的零点式 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 证(2)用到了 x0=-(b/(2a)),((x1+x2)/2)=-((b-1)/2a),都是二次函数二次方程的 基础知识。 7.[分析]它是一个一元二次方程的问题,利用求根公式解出α 、β ,再解不等式 0<α <1 和 1<β <2 顺理成章,但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数的话,结 合函数的图象和性质来解此题,那就简便得多了。 解:设 y=f(x)=7x -(k+13)x+k -k-2,则因为 a=7>0,且方程 f(x)=0 有两实根α ,β ,所以 它的图象是开口向上且与 X 轴相交于两点(α ,0)、(β ,0)的抛物线。由于 0<α <1,1<β <2, 可知在 x<α 或 x>β 时,f(x)取正值;在α <x<β 时,f(x)取负值。于是,当 x 分列取 0,1,2 2 2 2 时,有:f(0)=k -k-2>0,f(1)=k -2k-8<0,f(2)=k -3k>0 解这三个不等式组成的不等式组, 可得-2<k<-1 和 3<k<4。
2 2



显然,上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。 8.[分析]这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复试题,是一个四次函数的最值问题。表面 上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极(最)值性质,可得结果。 解:∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5 =(x +5x+4)(x +5x+6)+5 =(x +5x+5-1)(x +5x+5+1)+5 =(x +5x+5) +4 设 Z=x +5x+5,则 y=Z +4,对 Z=x +5x+5=(x+5/2) -5/4,x?[-3,3],易知 Zmin=-5/4,Zmax=29
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴y=Z +4,Z?[-5/4,29]抛物线开口向上,对称轴 Z=0?[-5/4,29],∴ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是 4。

2

§7 指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛 中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一 对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。 一、 指数概念与对数概念: 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 a·a……a(n 个)=an 导出乘方,这里的 n 为正整数。从初中开始,首先将 n 推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指 数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:―对数源出于指数‖。一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么 数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子,这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时, 是指数运算,当给出 N 求 b 时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1.指数运算性质主要有 3 条: ax·y=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·x(a>0,a≠1,b>0,b≠1) a b 2.对数运算法则(性质)也有 3 条: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM(n?R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3.指数运算与对数运算的关系: X=alogax;mlogan=nlogam 4.负数和零没有对数;1 的对数是零,即 loga1=0;底的对数是 1,即 logaa=1 5.对数换底公式及其推论:

换底公式:logaN=logbN/logba 推论 1:logamNn=(n/m)logaN

推论 2: 三、指数函数与对数函数 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是: (1)定义域为全体实数(-∞,+∞) (2)值域为正实数(0,+∞),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 (3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时为增函数;当 0<a<1 时,为减函数。 (5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但 y=ax 与 y=a - x 的图象关于 y 轴对称,y=ax 与 y= -ax 的图 象关于 x 轴对称;y=ax 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。 (6)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,a) (7)抽象性质:f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)· f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是: (1)定义域为正实数(0,+∞) (2)值域为全体实数(-∞,+∞) (3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时是增函数,当 0<a<1 时是减函数。 (5)无奇偶性。但 y=logax 与 y=log(1/a)x 关于 x 轴对称,y=logax 与 y=loga(-x)图象关于 y 轴 对称,y=logax 与 y=ax 图象关于直线 y=x 对称。 (6)有特殊点(1,0),(a,1) (7)抽象运算性质 f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x· y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)

例题讲解
1.若 f(x)=(ax/(ax+√a)),求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)

2.5log25 等于:( ) (A)1/2 (B)(1/5)10log25 (C)10log45 (D)10log52

3.计算

4.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

5.已知

(a,b 为实数)且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( )

(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随 a,b 的取值而定

6.已知函数 y=((10x-10-x)/2)(X?R) (1)求反函数 y=f-1(x) (2)判断函数 y=f-1(x)是奇函数还是偶函数

7.已知函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域 (2)判断 f(x)的奇偶性并给以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 取值范围; (4)求它的反函数 f-1(x)

8.22003 的十进制表示是个 P 位数,52003 的十进位表示是个 q 位数,则 p+q=



9.已知 x2-2x+loga(a2-a)=0 有一正根和一负根,求实数 a 的范围。

10.设 y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使 y 为负值的 x 的取值范围

课后练习
1.设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么( ) (A)(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 3.若 f(x)=3x+5,则 f-1(x)的定义域是( ) (A)(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4.求值:6lg40× lg36 5 5.已知 m,n 为正整数,a>0,a≠1,且 logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求 m,n 6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间( ) (A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 7.计算:(1)lg20+log10025 (2)lg5· lg20+(lg2)2 8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则 log8(x2+y2)= 9.若 x?(1,10),则 lg2x,lgx2,lglgx 的大小顺序是: (A)lg2x<lgx2<lglgx (B)lg2x<lglgx<lgx2 (C)lgx2<lg2x<lglgx (D)lglgx<lg2x<lgx2 。

10.计算:

11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x?N}的真子集的个数是 。

12.求函数 y=(1/4)x2-2x-3 的单调区间。

13.已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),求满足 f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的 x 的取值。

14.解方程 8log6(x2-7x+15)=5log68

15.设有关于 x 的不等式 lg (∣x+3∣+∣x-7∣)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R?

课后练习答案
1.(B);2.(A);3.(B);4.216;5.m=2,n=2; 6.(D);7.(1)2,(2)1;8.1/3;9.(D); 10.1/2;11.290-1;12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞) 13.当 a>1 时,x<-2 或 x>3,当 0<a<1 时,-2<x<3; 14.x1=2,x2=5; 15.(1)x<-3 或 x>7,(2)a<1

例题答案:
1. 分析:和式中共有 1000 项,显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x)的结构特征,发现规 律,注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1, 而 f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√ a)/(ax+√a))=1 规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加: 原式 =[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000 个=500 说明:观察比较,发现规律 f(x)+f(1-x)=1 是本例突破口。 (1)取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题:设 f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。 x x (2)上题中取 a=9,则 f(x)=(9 /(9 +3)),和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).

(3)设 f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是 2003 年春季上海高考数学第 12 题。 2.解:∵ log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)× log25 5 10 ∴ 选(B) 说明:这里用到了对数恒等式:alogaN=N(a>0,a≠1,N>0) 这是北京市 1997 年高中一年级数学竞赛试题。

3.解法 1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法 2:利用算术根基本性质对真数作变形,有

说明:乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。

4.解:对于两个正数的大小,作商与 1 比较是常用的方法,记 122003=a>0,则有

((122002+1)/(122003+1))÷ 2003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)· ((12 ((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a 2 2 2 +1) )=((12a +145a+12)/(12a +24a+12))>1 故得:((122002+1)/(122003+1))>((122003+1)/(122004+1))

5.

解:设 lglog310=t,则 lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t

而 f(t)+f(-t)=

∴ f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明:由对数换底公式可推出 logab· logba=(lgb/lga)· (lga/lgb)=1,即 logab=(1/logba),因而 lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设 中的部分 ,则

g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解,关键在于细致 观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

6.分析: (1)求 y=(10x-10-x)/2 的反函数首先用 y 把 x 表示出来,然后再对调 x,y 即得到 y=f-1(x); (2)判断函数 y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当 X? 时是否有 R f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 或 f(-x)=f(x) 恒成立。 解:(1)由 y=((10x-10-x)/2)(X? R)可得 2y=10x-10-x,设 10x=t,上式化为:2y=t-t-1 两边乘 t, 得 2yt=t2-1 整理得:t2-2yt-1=0,解得:

由于 t=10x>0,故将

舍去,得到:

将 t=10x 代入上式,即得:

所以函数 y=((10x-10-x)/2)的反函数是

(2)由

得:

∴ f-1(-x)=-f(x)

所以,函数

是奇函数。

说明:① 从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论:函数 y=((ax-a-x)/2)(X? R,a>0,a≠1)的 反函数是 ,它们都是奇函数。当 a=2,3,10 或 e 时就构造了新的特殊的题目。进

一步还可以研究它们的单调性,如 1992 年高考数学试题:函数 y=((ex-e-x)/2)的反函数 (A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数; (B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数; (C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数; (D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数。 ② 函数 y=((ax-a-x)/2)是由 y=f(x)=ax 构造而得,全日制普通高级中学教科书(试验修订本。必 修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社中学数学室编著)P107 复习参考题二 B 组第 6 题: 设 y=f(x)是定义在 R 上的任一函数, 求证:(1)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。 而 f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在 R 上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一 个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发,由 f(x)=ax 就可以构造出诸多奇函数,比如, y=((ax-a-x)/2); y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底 e≈2.71828… (无理数) 作底, x -x x -x) x -x) x -x)) 作函数 sh(x)=((e -e )/2),ch(x)=((e +e /2),th(x)=((e -e /(e +e 它们分别叫做双曲正弦函数,双曲 余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质: (1)ch2(x)-sh2(x)=1; (2)sh(x+y)=sh(x)· ch(y)+ch(x)· sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)· ch(y)+sh(x)· sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)· th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令 x=y,则有 (8)sh(2x)=2sh(x)· ch(x); 2 (9)ch(2x)=ch (x)+sh2(x) 其中① ⑨ ⑧ 合起来,就是课本 P107 的第 8 题。 7. 解:(1)由对数的定义域知((1+x)/(1-x))>0 解这个分式不定式,得:(x+1)(x-1)<0,-1<x<1 故函数 f(x)的定义域为(-1,1)

(2)f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知,函数 f(x)是奇函数。 (3)由 loga((1+x)/(1-x))>0<=>loga((1+x)/(1-x))>loga1, 因为 a>1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))>1,考虑由(1)知 x<1,1-x>0,去分 母,得:1+x>1-x,x>0 故:0<x<1 所以对于 a>1,当 x? (0,1)时函数 f(x)>0 (4)由 y=loga((1+x)/(1-x))得:((1+x)/(1-x))=ay 应用会比分比定理得: ((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1)) ∴ x=((ay-1)/(ay+1))交换 x,y 得: y=((ax-1)/(ax+1)),它就是函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数 f-1(x)即 f-1(x)=((ax-1)/(ax+1)) 说明:(1)函数 y=loga((1+x)/(1-x))与 y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取 a=e,函数 y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是 89 年的高考题目。 (2)已知 f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b? (-1,1)求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))(P89 习题 2.8 第 4 题) 可以看作该类函数的性质。

(3) x 与 y=logax; y=a y=((ax-a-x)/2)与 这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

; y=((ax-1)/(ax+1))与 y=loga((1+x)/(1-x))

8.解:∵ 2003 是个 P 位数, 2 ∴ p-1<22003<10p ① 10 ∵ 2003 是个 q 位数, 5 ∴ q-1<52003<10q ② 10 ①② × 得:10p+q-2<(2× 2003<10p+q 5) p+q-2 即 10 <102003<10p+q ③ ∴ 2003=p+q-1 ∴ p+q=2004 9.解:方程有一正根一负根的充分必要条件是: loga(a2-a)<0(由韦达定理而来)① 由 a>0,a≠1,a2-a=a(a-1)>0,可得 a>1 ② ,从而由 loga(a2-a)<0=loga1 得:a2-a<1,a2-a-1<0,解

得:

③ ,由② 得: ③

10.解:∵ (1/2)<1,要使 y<0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1>1, 即 a2x+2(ab)x-b2x>0 →b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]>0 →[(a/b)x]2+2(a/b)x-1>0 → →∵ → .

1° a>b>0 时,a/b>1, 当 2° b>a>0 时,0<a/b<1, 当 3° a=b>0 时,x? 当 R。



§8 函数方程
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具,解法富于技巧,对人类的智慧具有明显的挑战 意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无解(如: 方程 f ( x) ? f (? x) ? 1 ? 0 无解)。
2 2

2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式

1、换元法 2、赋值法 四、研究函数的性质

例题讲解
1.设函数 f (x) 满足条件 3 f ( x ? 1) ? 2 f (1 ? x) ? 2 x ,求 f (x) 。

2.设函数 f (x) 定义于实数集 R ,且 f (x) 满足条件 f ( x) ? xf (1 ? x) ? 1 ? x ,求 f (x) 。

3.函数 f (x) 在 x ? 0 处没有定义,但对所有非零实数 x 有: f ( x) ? 2 f ? ? ? 3x ,求 f (x) 。

?1? ? x?

2 4 4.求满足条件 x f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 x ? x 的 f (x) 。

5.设函数 f (x) 定义于实数集 R 上,且 f (0) ? 1 ,若对于任意实数 m 、 n ,都有:

f (m ? n) ? f (m) ? n(2m ? n ? 1) ,求 f (x) 。

6 . 设 函 数 f (x) 定 义 于 自 然 数 集 N 上 , 且 f (1) ? 1 , 若 对 于 任 意 自 然 数 x 、 y , 都 有 :

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,求 f (x) 。

7.设函数 f (x) 定义于 R 上,且函数 f (x) 不恒为零, f ( ) ? 0 ,若对于任意实数 x 、 y ,恒有:

?

2

x? y x? y f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( )? f ( )。 2 2
① 求证: f ( x ? 2? ) ? f ( x) ② 求证: f ( x) ? f (? x) ③ 求证: f (2 x) ? 2 f ( x) ? 1
2

8.对常数 m 和任意 x ,等式 f ( x ? m) ?

1 ? f ( x) 都成立,求证:函数 f (x) 是周期函数。 1 ? f ( x)

9.设函数 f (x) 定义于实数集 R 上,函数 f (x) 不恒为零,且对于任意实数 x1 、 x2 ,都有:

f (2 x1 ) ? f (2x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x) ? f (? x) 。

§9 三角恒等式与三角不等式
三角恒等变形,既要遵循代数式恒等变形的一般法则,又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时,首先要观察已知与求证 或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度,以决定恒等变形的方向;其次要观察已知与求证或所 证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系,抓住其主要差异,选择 恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异,统一形式,完成证明.“和差化积”、“积化 和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦 化切割”,将题目转化为一个关于 t ? tan

x 的代数恒等式的证明问题. 2

要快捷地完成三角恒等式的证明,必须选择恰当的三角公式. 为此,同学们要熟练掌握各公 式及各公式的来龙去脉和变形形式.

T2?
相除

???

T? ? ?
相除

T? ? ?
相除

S 2?

???

S? ? ?

S? ? ?

上图为三角公式脉络图, 由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外,三角是代数与几何联系的“桥梁”,与复数也有紧密的联系,因而许多三角问题往往 可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式,因此,要掌握证明不等式的常用方法:配方法、比较法、放缩法、 基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式,因而三角函 数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题,要充分利用好三角形内 角和等于 180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角, 则应尽量利用正弦定理、 余 弦定理、面积公式等进行转化,实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式

S?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)[其中 p ?

1 (a ? b ? c)] ,大家往往不甚熟悉,但十分有用. 2

例题讲解
1.已知 sin ? ? A sin(? ? ? ),| A |? 1, 求证 : tan( ? ? ) ? ?

sin ? . cos ? ? A

2.证明: cos7 x ? 7 cos5x ? 21ocs3x ? 35cos x ? 64cos7 x.

3.求证: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12? ? 1.

4.已知 1 ? tan ? ? 2001, 求证 : sec 2? ? tan 2? ? 2001 .
1 ? tan ?

5.证 明: 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ? sin 3? .

6.求证:① cos 6 ? cos 42 ? cos 66 ? cos 78 ? ? ②sin1°sin2°sin3°?sin89°= ( )

1 16

1 4

45

? 6 10 .

7.证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

m ? (k ? 0,1,2, ? , n, m 为任一整数),有 2k

1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. sin 2 x sin 4 x sin 2 n x

8.证明: sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2

9.若 0 ? ? ? ? ,求证: sin ? ?

1 1 sin 2? ? sin 3? ? 0 2 3

10.已知 0 ? ? ? ? ,证明: 2 sin 2? ? ctg

?
2

,并讨论等号成立的条件。

11.已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,能否以 sin ? , sin ? , sin(? ? ? ) 的值为边长,构成三角形。

12.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边为 a 、 b 、 c ,求证:

aA ? bB ? cC ? ? a?b?c 3

13.在锐角△ ABC 中,求证 (1) sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ;(2) tgAtgBtgC? 1

14.设 x ? y ? z ?

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值。

课后练习
1.证明:sin47°+sin61°-sin11°-sin25°=cos7°. 2.证明:

sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? . sin ? sin ?

3.已知:sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求证:sin2A+sin2B+sin2C=0,cos2A+cos2B+cos2C=0. 4.已知 ? ? (0, ? ), 求证 : sin ? ?

1 1 sin 2? ? sin 3? ? 0. 2 3

5.已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

, 且 tan ? ? 3 tan ? , 求? ? ? 的最大值.
?

6.已知 ? 、 ? 、 ? 、 ? ? (0, ), 且? ? ? ? ? ? ? ? ? .求y ? sin ? sin ? sin ? sin ? 的最大值. 2 7.△ABC 中,C=2B 的充要条件是 c ? b ? ab.
2 2
2 2 2 8.△ABC 中,已知 sin A 、 sin B 、 sin C 成等差数列,求证: cot A 、 cot B 、 cot C 也成

等差数列. 9.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2b ? a ? c ,求 B 的最大值. 10.若 ? 、 ? ? (0, 11.求函数 y ? 12.求函数 y ?

?

2

), 能否以 sin ? 、 sin ? 、 sin(? ? ? ) 的值为边长构成一个三角形.

2 ? x ? 8 ? 3x 的值域.
x ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 2 的值域. 2

13.在△ ABC 中,求证: c ? a cos A ? b cos B ; b ? c cos C ? a cos A ;

a ? b cos B ? a cos A 。
14.设 ? 为锐角,求证: (1 ?

1 1 )(1 ? ) ? 3? 2 2 sin ? cos ?

15.对 x ? (0,

?
2

) ,求证: 2 x ? sin x ? tgx 。

例题答案:
1.分析:条件涉及到角 ? 、 ??? ,而结论涉及到角 ??? , ? .故可利用

? ? (? ? ? ) ? ?或? ? (? ? ? ) ? ? 消除条件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”入手. 证法 1: ? sin ? ? A sin(? ? ? ), ? sin(? ? ? ? ? ) ? A sin(? ? ? ),

sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? A sin(? ? ? ), sin(? ? ? )(cos? ? A) ? sin ? cos(? ? ? ),

?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, 从而 cos(? ? ? ) ? 0, tan( ? ? ) ? ?
证法 2:

sin ? . cos ? ? A

sin ? ? sin ? ? A

sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin(? ? ? )

sin(? ? ? ) sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? tan( ? ? ). ? ?
2.分析:等号左边涉及角 7x、5x、3x、x 右边仅涉及角 x,可将左边各项逐步转化为 sin x 、

cos x 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次.
证明:因为 cos3x ? 4 cos3 x ? 3 cos x, 所以4 cos3 x ? cos3x ? 3 cos x, 从而有 16cos6 x ? cos2 3x ? 6 cos3x cos x ? 9 cos2 x

?

1 ? cos 6 x 9 ? 3(cos 4 x ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) 2 2

32cos6 x ? 1 ? cos6 x ? 6 cos4 x ? 6 cos2 x ? 9 ? 9 cos2 x, 64cos7 x ? 2 cos6 x cos x ? 12cos4 x cos x ? 30cos2 x cos x ? 20cos x
? cos7 x ? cos5 x ? 6 cos5 x ? 6 cos3x ? 15cos3x ? 15cos x ? 20 cos x ? cos7 x ? 7 cos5 x ? 21cos3x ? 35cos x.
评述:本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复数求 解. 令 z ? cos ? ? i sin ? , 则2 cos ? ? z ?

1 1 , 从而,128 cos 7 ? ? ( z ? ) 7 ,展开即可. z z

3.思路分析:等式左边同时出现 tan18? tan12? 、 tan18? ? tan12? ,联想到公式
tan( ? ? ) ? ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

证明: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12?

? 3 (tan18? ? tan12? ) ? tan18? tan12? ? 3 ? tan( ? ? 12? )(1 ? tan18? tan12? ) ? tan18? tan12? 18 ?1
评述:本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 (1 ? tan1 )(1 ? tan2 )?(1 ? tan43 )
? ? ?

(1 ? tan44? ) ? 2 22 等.、

4.证明: sec 2? ? tan 2? ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

1 ? cos( ? 2? ) ? 2 ? tan( ? ? ) ? 4 sin( ? 2? ) 2

?

1 ? tan? 1 ? tan? ? 2001. ?
5.证明: sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ?
3 ? 4 sin ? ( ? sin 2 ? ) 4 3 1 ? 4 sin ? ( cos2 ? ? sin 2 ? ) 4 4 3 1 ? 4 sin ? [( cos? ) 2 ? ( sin ? ) 2 ] 2 2 ? 4 sin ? (sin 60? cos? ? cos60? sin ? )(sin 60? cos? ? cos60? sin ? ) ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? )
评述:这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地,有 cos3? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
tan3? ? tan? ? tan( ? ? ? ) tan( ? ? ? ) . 利用这几个公式可解下例. 60 60

6. 证明:①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66° ?

cos 42? cos78? cos54?

cos18? cos 42? cos78? 4 cos54? 1 cos(3 ? 18? ) 4 ? 4 cos54? 1 ? . 16 ?
②sin1°sin2°sin3°?sin89° =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)?(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =( )

1 4

29

sin 3? sin 6 ? ?sin 87? ?

3 4

1 ? ( ) 30 3 (sin 3 ? sin 57 ? sin 63 ? )(sin 6 ? sin 54 ? sin 66 ? ) ? (sin 27 ? sin 33 ? sin 87 ? ) sin 30 ? sin 60 ? 4

1 ? ( ) 40 ? 3 sin 9 ? ? sin 18? ?sin 81? 4 1 40 ? ( ) ? 3 ? (sin 9 ? sin 18? )(sin18? sin 72? )(sin 27? sin 63? )(sin 36? sin 54? ) ? sin 45? 4

1 3 2 ? ( ) 42 ? sin 18? sin 36? sin 54? sin 72? 4 2 1 3 ? ( ) 42 ? 2 cos72? cos54? cos36? cos18? 4 2 1 42 3 ?( ) ? 2 cos18? cos36? cos72? cos54? 4 2 1 3 ? ( ) 42 ? 2 cos18? cos36? sin 18? cos54? 4 2 1 3 ? ( ) 43 ? 2 sin 72? cos54? 4 2 1 3 ? ( ) 43 ? 2 cos18? sin 36? 4 2
又 (cos 18 ? sin 36 ? ) 2 ?

1 (1 ? cos 36 ? )(1 ? cos 72 ? ) 4

1 (1 ? cos36? ? cos72? ? cos36? cos72? ) 4 1 ? (1 ? cos36? cos72? ) 4 5 ? 16 ?
即 cos18? sin 36? ? 5 . 4

1 所以 sin 1? sin 2 ? ?sin 89 ? ? ( ) 45 ? 6 10 . 4
7. 思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差,并 希冀能消去其中许多中间项. 1 2 cos2 x ? cos 2 x 2 cos2 x cos2 x 证明: ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x 1 同理 ? cot 2 x ? cot 4 x sin 4 x ??

1 ? cot 2 n ?1 x ? cot 2 n x sin 2 n x
评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan ?

tan? ? 2 tan 2? ? 2 2 tan 2 2 ? ? ? ? 2 n tan 2 n ? ? cot? ? 2 n?1 cot 2 n?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89
?

8. 证明: sin ? sin

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )], 2 2 2 2

类似地sin(? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )], 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin(? ? 2 ? ) sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2 ?? sin(? ? n? ) sin

?

?

各项相加得, sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2

[sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? )]

1 2n ? 1 ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos(? ? )] 2 2 2 n n ?1 ? s i n?( ? ? ) s i n ?. 2 2

所以, sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2

评述:①本题也可借助复数获证. ②类似地,有 cos? ? cos(? ? ? ) ? ? ? cos(? ? n? ) ?
sin n ?1 n ? cos(? ? ? ) 2 2 . sin

?

2

利用上述公式可快速证明下列各式:

n n ?1 sin ? cos ? 2 2 cos? ? cos 2? ? cos3? ? ? ? cos n? ? ? sin 2

3 5 1 ? cos ? ? cos ? ? . 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 cos

?

§10 向量与向量方法
(一)
1.(2004 年上海春季高考题)在 ΔABC 中,有命题① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ΔABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB ? 0 ,则 ΔABC 为 锐角三角形.上述命题正确的是 A.① ② B.① ④ ( ) D.② ③ ④

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

C.② ③

OP OQ OM =(-1, NM =(-5, 2. 已知 O 为坐标原点, 1), -5), 集合 A={ OR ||RN|=2}, 、 ?A,

???? ?

???? ?

??? ?

??? ???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? MQ MP ? ? MQ(? ? R, ? ? 0) ,则 MP · =_________________.

3.已知向量 a =- e 1+3 e 2+2 e 3, b =4 e 1-6 e 2+2 e 3, c =-3 e 1+12 e 2+11 e 3,问 a 能否表示 成

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a =λ1 b +λ2 c 的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4. 已知 a ,b 是两非零向量, a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,a -4 b 与 7 a -2 b 垂直, 若 试求 a ,b 夹角.



5.设向量 a , b 满足| a |=| b |=1 及|3 a -2 b |=3. 求|3 a + b |的值.

?

?

?

?

?

?

? ?

引申 已知向量 a , b 满足| a |=| b |=r, | ?1 a ? ?1 b|? R,试求 | ?2 a ? ?2 b| 的值.

?

?

?

?

?

?

?

?

6.设 A、B、C、D 是坐标平面上的四点,它们的坐标分别为:A( xA , y A ),B( xB , yB ), C( xC , yC ),D( xD , yD ),且它们中任意三点不共线.试证明: 四边形 ABCD 为正方形的充要条件为 ( xB - xA , yB - y A )=( xC - xD , yC - yD ), 且( xB - xA )( xC - xB )+( yB - y A )( yC - yB )=0. P1 7.如图,设四边形 P1P2P3P4 是圆 O 的内接正方形,P 是

??? 2 ???? 2 ???? 2 ???? 2 P ? 圆 O 上的任意点. 求证: | PP | ? | PP | ? | PP | ? | PP | 为定值. 1 2 3 4

O

P3 P 8.如图,设 P1,P2,P3,…,Pn,是圆 O 内接正 n 边形的顶点,P 4是圆 O 上的任意点,求证:

??? 2 ???? 2 ? ???? 2 PP ? PP2 ? ? ? PPn 为定值. 1

9.空间有十个点 A1,A2,…,A10,试求一个点 P,使 PA ? PA2 ? ? ? PA 为最小. 1 10
2 2 2

10.如图,空间四边形 ABCD 中,点 E 分 AB 及点 F 分 DC 所成的 比均为 ? ,则 EF ?

??? ?

????

??? ?

? ? ???? 1 ??? AD ? BC . 1? ? 1? ?

D A E G B H F C

11.一个物体受到同一个平面内三个力 F1 、 F2 、 F3 的作用, 沿北偏东 45° 的方向移动了 8m,其中| F1 |=2N,方向为北偏东 30° F2 |=4N,方向为东偏北 30° F3 |=6N,方向为西偏 ;| ;| 北 60° ,求合力所作的功.

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? F3

y

?? ? F1
O

?? S

?? ?

?? ?

?? ? F2
x

12.设 M、N 分别是正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 的内分点,且 M、N 共线,求 ? 的值.

AM CN ? = ? ,若 B、 AC CE
D E N ? M B A C

F

P

13.如图,在 ΔOAB 中, OC ?

??? ?

??? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? OA , OD ? OB ,AD 与 BC 交于 M 点,设 OA ? a , 4 2

? ? ???? ? ??? ? ? OB ? b . (1)用 a , b 表示 OM ;(2)已知线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 过
M 点,设 OE ? pOA , OF ? qOB ,求证:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 3 ? ? 1. 7 p 7q
B F D O M A

C

E

PN PN MN , PM · ,NM · 14. (2002 年高考试题) 已知两点 M(-1, N(1, 且点 P 使 MP · 0), 0),
成公差小于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 的坐标是( x0 , y0 ), ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? .

? ? ???? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ?

???? ?

??? ?

(二)
2 2 2 2 2 2 ? 1.已知 a, b ? R , m, n ? R , m n ? a m ? b n ,令 M ? m2 ? n ? , N ? a ? b .则 M 与 N

的大小关系是 A.M>N B.M<N (2000 年河北省高中数学竞赛试题) 2 . 实 数 x1 , x2 , x3 满 足 x1 ?

C.M=N

( ) D.M、N 间的大小关系不能确定

1 1 1 2 1 2 2 x2 ? x3 ?1 , 及 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , 则 x3 的 最 小 值 是 2 3 2 3

______________________. (1993 年上海市高三数学竞赛试题) 3.(证明恒等式)(1)已知 ( x ? y ? z )(a ? b ? c ) ? (ax ? by ? cz) ,且 x 、 y 、 z 、 a 、
2 2 2 2 2 2 2

b 、 c 为非零实数,求证:

x y z ? ? . a b c

4.(求值)(1)已知 ( x2 ? 1)( y 2 ? 1) ? 3(2 xy ?1) ,试求 y (

1 ? x) 的值。 y

5.题组(1)求实数 x 、 y 的值,使函数 f( x , y )=(1- y )2+( x + y -3)2+(2 x + y -6)2 取得最 小值. (2001 年全国初中数学联赛) (2)若 x ? 1 ?

y ? 2 ? 5 ,求 x ? y 的最小值.

(3)求函数 y ? 变题

x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域.
x 2 ? p 2 ? ( x ? q ) 2 ? r 2 ( p, q, r ? R ? ) 的极值.

求函数 y ?

(4)已知点 P( x , y )在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,求 2 x ? y 的最大值. 4 9

( 5 ) 设 xi (i ? 1 ,2 3 ? 2003 为 正 实 数 , 且 , , , )

x1 ?

x2 ?? ? x2 0 0 3? 2003 , 试 求
x2003 ? x1 的最小值.

y?

x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? x3 ? x4 ? ? ?

x2002 ? x2003 ?

(6)求函数

f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? 2 ? sin x ? 2 ? sin x ? 3 ? sin x ? 3 ? sin x
的最大值. (7)已知 x, y, z ? (0, ??) ,且

x2 y2 z2 ? ? ? 2, 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2



x y z ? ? 的最大值.(1990 年首届―希望杯‖全国数学邀请赛备选题) 2 2 1 ? x 1 ? y 1 ? z2

6.用向量方法证明下列不等式: (1)已知 a1 ? a2 ? 1, b1 ? b2 ? 1 其中 a1 、 a2 、 b1 、 b2 均为实数.
2 2 2 2

求证:-1≤ a1 b1 + a2 b2 ≤1.

(2) 已知 a 、 b 、 c ? R ,且 a + b + c =1,求证 (1990 年日本 IMO 选拔试题)

?

1 4 9 ? ? ≥36. a b c

(3) 已知 a 、 b 、 c ? R ,求证

?

a?b?c a2 b2 c2 ? ? ≥ . 2 b?c c?a a?b

(第二届友谊杯国际数学邀请赛题)

(4)若 x 、 y 、 z ? R ,且 x ? y ? z ? 1 ,n 是正整数,求证:

?

3n x4 y4 z4 ≥ n? 2 . ? ? y(1 ? y n ) z (1 ? z n ) x(1 ? x n ) 3 ? 9

(5)若 x 、 y 、 z 、 ? 、 ? ? R ? ,则

3 x y z ? ? ≥ . ? y ? ?z ?z ? ?x ?x ? ? y ? ? ?

(6)对所有的正实数 x 、 y 、 z ,证明: (2001 年第 42 届 IMO 试题)

x x2 ? 8 yz

?

y y 2 ? 8zx

?

z z 2 ? 8xy

≥1.

7.(1)已知 ? 、 ? ? (0,

?
2

) ,且 cos ? +cos ? -cos( ? + ? )=

3 ,求 ? 、 ? 的值. 2

(2)求值 cos5° +cos77° +cos149° +cos221° +cos293° .

(3)求 cos ? ? cos(? ?

2? 2? 2? ) ? cos(? ? 2 ? ) ? ?? ? cos[ ? ? ( n ?1) ] 的值. n n n

8.设 a、b 是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n 是整数},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15, m 是整数},C={(x,y)|x2+y2≤144}是平面 xOy 内的点集合,讨论是否存在 a 和 b,使得: ①A ? B≠ ? ( ? 表示空集), ②(a,b)?C 同时成立. (1985 年全国高考理科压轴题)

2 2 9.给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 a1 ? an?1 ≤M 的所有等差数列 a1 , a2 , a3 ,? ,试求

S ? an?1 ? an?2 ?? ? a2n?1 的最大值.(1999 年全国高中数学联赛第一试压轴题)

10. (1) 如图, 为 ΔAOB 的中线 OM 的中点, 过 G, G PQ 分别交 OA、 于点 P、 OB Q,

OP ? m, OA

OQ 1 1 ? n . 问; ? 的值是否为定值. OB m n

O Q P A C G B

3 (2)试证:三角形三中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的 . 4
A

E

D F B

(3)凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M,点 P、Q 分别是 ΔAMD 和 ΔCMB 的重心,R、S 分别是 ΔDMC 和 ΔMAB 的垂心. 求证:PQ⊥RS. A S ? P?M ? R D (4)求证三角形三边上的高交于一点. A F H B

B Q ?

C

E

D

C

(5)设 D、E、F 分别是 ΔABC 的所在各边的三等分点,且 BC=3BD,CA=3CE 及 AB=3AF (如右图),证明,ΔABC 和 ΔDEF 有相同的重心. C E D A F B

(6)正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割成四个小矩形,P 是 EF 和 GH 的交点, 若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 的面积的 2 倍,试确定∠HAF 的大小,并证明你的结论. (1998 年北京市中学生数学竞赛复赛试题) y (A) O G B

E

D x

H(1,- b ) P( a , - b) F( a ,-1) C

(7)设 H、G、O 分别为 ΔABC 的垂心、重心和外心. 又 K 为 ΔABC 所在平面上一点. 求证:① KG ?

????

? ? 1 ??? ??? ???? ( KA ? KB ? KC ) ; 3

A

C1 B

②用向量法证明 H、G、O 三点共线,且 HG=2GO.(欧拉定理)

G A1

B1 C

(8)如图,A1、B1、C1 分别是三角形的边 BC、CA、AB 上的定比分点,如果它们把三角形的边 K 分别分成定比 m ?

BA1 CB1 AC1 ,n ? ,t ? . 那么 A1、B1、C1 三点共线的充要条件是 mnt A1C B1 A C1 B
C B
1

=-1. (著名的 Menelaus 定理)

A
1

A

B

C
1

(9)已知三点 O1、02、03 及另一点 M,且点 M1 是点 M 关于 O1 的对 称点,点 M2 是点 M1 关于 O2 的对称点,点 M3 是 M2 关于 O3 的对称点,点 M4 是点 M3 关于 O1 的对称点,点 M5 是点 M4 关于 O2 的对称点,点 M6 是点 M5 关于 O3 的对称点,求证:点 M6 和始点 M 重合. M4 O1 M3 M M2 M5 M1 O2

(10)如图,在 ΔABC 中,O 为外心,三条高线交于 H,D、E、F 为垂足,直线 ED、AB 交于 M,直线 FD、AC 交于 N. 求证:(Ⅰ)OB⊥DF,OC⊥DE;(Ⅱ)OH⊥MN. (2001,全国高中数学联赛) A F OH E B D C

N M 11.(1)充分暴露美国霸权主义、单边主义的滞留在我海南陵水机场的 EP-3 电子侦察机,终 以其被大御八块,由租用的―安-124‖运输机运回本土而告终,设若该机从日本冲绳美军基地起 飞,至我领海外海上空 A 处,它在地面上的投影 O 在我两现代化雷达系统 B、C 两点的延长线 上, 假定侦察机的高度为 h, B 处测得 A 的仰角为 ? , C 处测得 A 的倾角为 ? , 从 从 CO=(2+ 3 )h, y BC=2 3 h,试用向量知识求 ? + ? 之值. A

O C x (2)椭圆的两焦点分别为 F1(0,-1)、F2(0,1),直线 y=4 是椭圆的一条准线.B x ???? ???? x? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ???? 的最大值和 ? ① 求椭圆的方程;②设点 P 在椭圆上,且 | PF | ? | PF2 |? m ≥1,求 ???? 1

? ?

| PF1 | ? | PF2 |

最小值.

12.(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AA1=2,AB=3,AD= a ,求:(Ⅰ)异面直线 B1C 与 BD1 所成的角;(Ⅱ)当 a 为何值时,使 B1C⊥BD1? D z A
1 1

C B
1 1

D A B

y C

x

(2)在边长为 2 的正方体 AC1 中,E、F 分别为 BB1、CD 的中点. (Ⅰ)求证平面 ADE⊥平面 A1D1F; (Ⅱ)求斜线 A1F 与平面 A1D1E 所成的角; (Ⅲ)求三棱锥 F-A1D1E 的体积.

D z↑
1

C B
1 1

E

D x A

F B

y → C

(3)已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的 中点,GC 垂直于面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到面 EFG 的距离. (1991 年全国高考试题) x F A E y B D

z G C

(4)(2003 年全国高考试题(理)第 18 题)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2 ). (Ⅰ)求 MN 的长;(Ⅱ)当 a 为何值时,MN 的长最小; (Ⅲ)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小.

z C

D M O A x B N F E y

(5)设在四面体 ABCD 中,∠BDC 是直角,D 到平面 ABC 垂线的垂足 S 是 ΔABC 的垂心,试 证:(AB+BC+AC)2≤6(AD2+BD2+CD2),并说明等号成立时是一个什么四面体? (第 12 届 IMO 试题 5)

(6)三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP,证明: (Ⅰ) DP 与 SM 相交;(Ⅱ)设 DP 与 SM 的交点为 D ' ,则 D ' 为三棱锥 S—ABC 的外接球的球 心.(1993 年全国高中数学联赛第一试第三题)
C P

M
S(O)

D' B D

A

§11 数列
一、数列的基础知识 1.数列{an}的通项 an 与前 n 项的和 Sn 的关系 它包括两个方面的问题:一是已知 Sn 求 an,二是已知 an 求 Sn; 2.递推数列,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列与等比 数列的有关问题,然后解决。 常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为:(1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于―等比数列‖的新数列。 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

解题方法:利用特征方程 x2=px+q,求其根 α、β,构造 an=Aαn+Bβn,代入初始值求得 A , B 。 类型Ⅲ:an+1=f(an)其中函数 f(x)为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。 二、等差数列与等比数列 1.定义: 2.通项公式与前 n 项和公式: 函数的思想:等差数列可以看作是一个一次函数型的函数;等比数列可以看作是一个指数函 数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。 三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现? 数列问题的综合性主要表现在 1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽. 2.同一问题中出现有若干个相关数列,既有等差或等比数列,也有非等差,非等比的数列, 需相互联系,相互转换. 数列问题的灵活性表现在: 1.需灵活应用递推公式,通项公式,求和公式,寻求已知与所求的关系,减少中间量计算. 2.需灵活选用辅助数列,处理相关数列的关系.

例题讲解
1.已知(b-c)logm x+(c-a)logm y+(a-b)logm z=0 ① (1) 若 a、b、c 依次成等差数列,且公差不为 0,求证 x、y、z 成等比数列; (2) 若 x、y、z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证 a、b、c 成等差数列.

2. 数列{an}的 前 n 项 和 Sn=a · + b(n?N),则{an}为等比数列的充要条件是________. 2n

3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S7=56,Sn=420,an-3=34,则 n=________.

4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13

5. 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn,若 S10=10,S30=70,求 S40。

6. 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 an= .

7. 已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn, a1,a2,a3,…,an 组成等差数列 为正偶数) 又 f(1)=n2,f(-1)=n; 且 (n , (1)求数列{an}的通项 an; (2)试比较 f(0.5)与 3 的大小,并说明理由。

8.在 1 与 2 之间插入个正数 a1,a2,a3,…,an,使这 n+2 个正数成等比数列;又在 1 与 2 之间插入个 正数 b1,b2,b3,…,bn,使这 n+2 个正数成等差数列。记 An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn. (1)求数列{An}和{Bn}的通项; (2)当 n≥7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论。

9. 设任意实数 x,y 满足|x|<1,|y|<1,求证:

(第 19 届莫斯科数学竞赛试题)

10. 从 n 个数 1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数,然后将剩下的数任意分成两个部分,证明:这 两部分之和不可能相等

11.已知 a1= 2 ,an= 2 ? 2a n ?1 ,求数列{an}的通项公式。

12.正整数 k,g(k)表示 k 的最大奇因子(例如 g(3)=3,g(20)=5),求 g(1)+ g(2)+ g n (3)+??..+ g(2 )(其中 n?N*)

13.将数字 1,2,3,??..,n 填入标号为 1,2,3,??,n 的 n 个方格内,每格一个数字,则 标号与数字均不相同的填法有多少种?

14.用 1,2,3 三个数字写 n 位数,要求数中不出现紧挨着的两个 1,问能构成多少个 n 位数?

15.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且 ?

?an ?1 ? 7a n ? 6bn - 3 ?b n ?1 ? 8a n-1 ? 7bn - 4

(n=0,1,2,???.)

证明:an(n=0,1,2,?..)是完全平方数

16.已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ =

2ab ? 2 2 n (其中 0< ? ? ),An=(a +b ) sinnθ 2 2 a ?b
2

求证: 对一切正整数 n,

An 均为整数 2ab

2 2 7 n2 ? 2 17.(1)证明: 3 ? ? ? ? .......... ? . ?3 ; (n ? 1)! 2! 3! n!
(2) 求正整数 a, b,c,使得对任意 n ? N * (n>2),有

b?

c 2 3 ? a 33 ? a n3 ? a ? ? ? ......? ?b (n ? 2)! 2! 3! n!

18. 设 A,E 为正八边形的相对顶点,顶点 A 处有一只青蛙,除顶点 E 外青蛙可以从八边形的任 一顶点跳到两相邻顶点中任一个,落到顶点 E 时青蛙就停止跳动,设青蛙从顶点 A 恰好跳 n 次后 到 E 的方法数为 an,求 an

19. a1 , a2 ,....... n 表示整数 ,..... n的任意一排列,设 (n)为这些排列的数目, a 1 2, , f 使得:(1)a1=1(2)|ai-ai+1|≤2(i=1,2,……,n-1).确定 f (1996)是否能被 3 整除

课后练习
1 设 数 列 a1,a2,….,an,…. 满 足 a1 ? a2 ? 1,a3 ? 2 , 且 对 任 何 自 然 数 n, 都 有 anan+1an+2?1 , 又 anan+1an+2an+3 ? an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+….+a100 的值是____ 2 设正数列 a0,a1,a2,?,an,?满足

anan?2 ? an?1an?2 ? 2an?1 (n?2)且 a =a =1. 求{a }的通项公式.
0 1 n

3 已 知 数 列 {an } 满 足 3an?1 ? an ? 4(n ? 1) , 且 a1 ? 9 , 其 前 n 项 之 和 为 S n , 则 满 足 不 等 式

Sn ? n ? 6 ?
(A)5

1 的最小整数 n 是( 125
(B)6 (C)7

) (D)8

4 设等差数列 {an} 满足 3a8 ? 5a13 且 a1 ? 0 ,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A) S10 (B) S11 (C) S 20 (D) S 21

)

5 等比数列 {an ] 的首项 a1 ? 1536,公比 q ? ? 是( ) (B) ? 11 (C) ? 12

1 ,用 ? n 表示它的前 n 项之积。 ? n ?n ? N ? 最大的 则 2

(A) ? 9

(D) ? 13

6 设数列{an}的前项和 Sn=2an ?1(n=1,2,3,….),数列{bn}满足 b1=3, bk+1 ? ak+bk (k=1,2,3….).求数列 {bn}的前 n 项和 Tn .

7 已知数列{ 是( )

xn }满足 xn?1 ? xn ? xn?1 (n?2),x ? a, x ? b, 记 S ? x +x +…+x ,则下列结论正确的 1 2 n 1 2 n
(B)x100??b,S100?2b?a (D)x100??a,S100?b?a

(A)x100??a,S100=2b?a (C)x100??b,S100=b?a

8 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的数列共有 ( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 )

9 各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( (A) 150 (B) ?200 (C) 150 或?200 (D)400 或?50 10 等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________.
Sn (n ? 32) S n?1

11 设 Sn=1+2+3+?+n,n?N,求 f(n)=

的最大值.

12 设 {an } 为 等 差 数 列 , 为 {bn } 等 比 数 列 , 且 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 ?a1 ? a2 ? , 又
2 2 2

lim?b ? b
n?? 1

2

? . . ? bn ? ? 2 ? 1 ,试求 {an } 的首项和公差。 .

13 如图,有一列曲线

P0 , P , P2 ,?? 已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形, Pk ?1是对Pk 1

进行如下操作得到:将 将中间部分的线段去掉 ①求数列

Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再

(k ? 0,1, 2,?)记Sn为曲线Pn 所围成图形的面积.


?Sn ? 的通项公式;②求 lim Sn x ??

P0

P1

P2

14 删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第 2003 项是 ( )(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

15 已知数列 ______。 16

a0 , a1 , a2 ,...,an ..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18 且 a0 ? 3 ,则 i ?0

?a

n

1
i

的值是

在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ?An ?与曲线 y ?

2 x ( x ?0)上的点

列 ?Bn ?满足 OA n ? OB n ?

1 ? n , 直线 An Bn 在 X 轴上的截距为 an , Bn 的横坐标为 bn , ? N 。 点 n
?

(Ⅰ)证明 an > a n ?1 >4, n ? N 。 (Ⅱ)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n? n0 都有

b b b2 b3 ? ? ... ? n ? n ?1 < n ? 2004 。 b1 b2 bn ?1 bn

课后练习答案
1 1.200, 2. a n ? 2 ? 1

?

? ?2
2

2

? 1 ... 2 n ? 1

? ?
2

?

2

, 3.C , 4.C , 5.C

6. Tn ? 2n ? 2 ?1, 7.A, 8.C, 9.A, 10.
n

1 3

11.当 n=8 时,f(n)取得最大值,为

1 , 50

12. a1 ? ? 2, d ? 2 2 ? 2 13.略 14.C

2 n?2 ? n ? 3 15. 3
16.略

§12 递推数列
1、概念:①、递归式:一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ?1 ,a n ? 2 ,?,a n ? k ( k ? n ) 的关系式称为递归式。 ②、递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等。 3、思想策略:构造新数列的思想。 4、常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为:(1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

? 构造 a n ? A? n ? B? n , 解题方法: 利用特征方程 x 2 ? px ? q , 求其根 ? 、 , 代入初始值求得 A , B 。

类型Ⅲ: a n ?1 ? f (a n ) 其中函数 f (x) 为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。

例题讲解
1.已知数列 {a n } 满足以下递归关系 ?
?a n ?1 ? 3a n ? 4 ,求通项 a n 。 ? a1 ? 1

2.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ?1 ? 2a n ? (2n ? 1) ? a1 ? 2

,求通项 a n 。

3.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ?1 ? nan ? 2 (n ? 2) ,求通项 a n 。 ? a1 ? 1

4.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n ,求通项 a n 。 ?a1 ? 1 , a 2 ? 2

5.由自然数组成的数列 {a n } ,满足 a1 ? 1 , a m ? n ? a m ? a n ? mn ,求 a n 。

6.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 10 , a n?1 ? n ? 1 a n 4 ( n ? 1 ),求 a n 。 n4

7. 已知 f ( x) ?

x , f ( x0 ) ? 1 , 且 方程 f ( x) ? x 有唯一解, x n ? f ( x n ?1 )( n? N ) 求 x n 。 设 , 2 a( x ? 2)

8.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 1 ( 1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) ,求 a n 。
16

2 9.设正数列 {a n } 满足 a n ? a n ? a n ?1 ,证明 a n ?

1 ( n ? 2 , 3 , 4 ,?) n?2

课后练习
1.已知数列 {a n } 满足以下递归关系,求 a n 。 (1) a1 ? 1 , a n ?1 ? 5a n ? 12 ( n? N ) (2) a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? n ? 1 ( n? N ) (3) a1 ? 2 , a n ?1 ? n a n ? 1 ( n? N )
n ?1

(4) a1 ? 2 , a n ?1 ? n ? 1 a n ? 2 ( n? N )
n n

(5) a1 ? 1 , S n ? n 2 a n ( S n 为前 n 项和)

(6) a1 ? 10 , a n?1 ? 4 10a n ( n ? 2 , n ? N )
?a n ? 2 ? 2a n ?1 ? 3a n ? a1 ? a 2 ? 1

(7) ?

2.已知数列 {a n } 和 {b n } 中, a1 ? ?10 , b1 ? ?13 ,且 a n ?1 ? ?2a n ? 4bn , bn ?1 ? ?5a n ? 7bn ,求 a n 和
bn 。

2 3.已知 x 0 ? 0 , xn?1 ? 5xn ? 14xn ? 1 ( n ? 0 ,1,2,3,4,?),证明 x n ? N ( n? N )。

4.已知数列 {a n } 满足: a n ? 3 n cos n(arccos 1 ) ,证明 a n 是不能被 3 整除的整数。
3

§13 数学归纳法
数学归纳法是用于证明与正整数 n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学 竞赛中占有很重要的地位. 1.数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n0 ( n0 ? N )时, P (n) 成立; ②假设 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n) 也成立,那么,根据①②对 一切正整数 n ? n0 时, P (n) 成立.

(2)第二数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n ? n0 ( n0 ? N )时, P (n) 成立; ②假设 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 成立,由此推得 n ? k ? 1 时, P (n) 也成立,那么,根据①②对 一切正整数 n ? n0 时, P (n) 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当 n ? 1,2,3,?, l 时, P(1), P(2), P(3),?, P(l ) 成立, ②假设 n ? k 时 P (k ) 成立,由此推得 n ? k ? l 时, P (n) 也成立,那么,根据①②对一切正 整数 n ? 1 时, P (n) 成立. (2)反向数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ① P (n) 对无限多个正整数 n 成立; ②假设 n ? k 时,命题 P (k ) 成立,则当 n ? k ? 1 时命题 P(k ? 1) 也成立,那么根据①②对 一切正整数 n ? 1 时, P (n) 成立. 3.应用数学归纳法的技巧 (1)起点前移:有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n 都成立,但命题本身对 n ? 0 也成立,而且验证起来比验证 n ? 1 时容易,因此用验证 n ? 0 成立代替验证 n ? 1 ,同理,其他 起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步,有意前移起点. (2)起点增多:有些命题在由 n ? k 向 n ? k ? 1 跨进时,需要经其他特殊情形作为基础,此 时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点. (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也应相应 增多. (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设 n ? k 时命题成立”不可,需要 根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用. (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者需要 改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明. 5.归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的,这种 不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其正确与否, 必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的 方法.

例题讲解
1.用数学归纳法证明:

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1 ( n ? N * , n ? 1 ) 4 7 3n ? 2

3 3 3 n 2. 已知对任意 n ? N , ? 1 , n ? 0 且 a1 ? a2 ? ? ? an ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 , 求证: n ? n . a a
*

3.如果正整数 n 不是 6 的倍数,则 1986n ? 1 不是 7 的倍数.

4.设 a1 , a2 ,?, an 都是正数,证明

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n . n

5 . 已 知 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 [a, b] , 对 于 区 间 [a, b] 内 的 任 意 两 数 c, d 均 有

f(

c?d 1 ) ? [ f (c) ? f (d )] .求证:对于任意 x1 , x2 ,?, xn ? [a, b] ,均有 2 2

f(

x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] . n n

6.试证:对一切大于等于 1 的自然数 n 都有

1 ? cos? ? cos 2? ? ? ? cos n? ? 2

sin

2n ? 1 ? 2 . ? 2 sin 2

7.试证:对一切自然数 n ( n ? 1 )都有 2 ? 2 ? n .
n 2

8.证明:任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形.

9.设 0 ? a ? 1 , a1 ? 1 ? a , a n ?1 ?

1 ? a ,求证:对一切 n ? N 均有 an ? 1 an

10.已知 a1 ? a 2 ? 1, a n ? 2 ?

2 an?1 ? (?1) n?1 ,求证:对一切 n ? N , an 都是整数. an

11 . 设 f (n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? , 是 否 存 在 关 于 正 整 数 n 的 函 数 g (n) 使 等 式 2 3 n

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n ? 1) ? g (n)[ f (n) ? 1] 对于 n ? 2 的一切自然数都成立?并证明你的结
论.

12.设整数数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 12 , a3 ? 20 ,且 an?3 ? 2an?2 ? 2an?1 ? an .证明:任 意正整数 n , 1 ? 4an an?1 是一个整数的平方.

课后练习
1.证明 n ? N 时, 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5 n ?1

能被 31 整除.

2.设 n 不小于 6 的自然数,证明:可以将一个正三角形分成 n 个较小的正三角形.

3.用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 2 4 2

4.设 n 为自然数,求证: 1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 . 2 2 3 n

n ?1 5.对于自然数 n ( n ? 3 ),求证: n ? (n ? 1) n .

6.已知 a1 ? a 2 ? 1, a n ? 2 ?

2 an?1 ? (?1) n?1 * ,求证:对于一切 n ? N , an 是整数. an

7.设有 2 个球分成了许多堆,我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动:若甲戴盆 望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q ,则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆,这样算是挪动一次.证明:可 以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.

n

8. 已知数列 {an } 满足:a1 ? 3 ,a2 ? 8 ,4(an?1 ? an?2 ) ? 3an ? 5n 2 ? 24n ? 20( n ? 3 ) , 试证: an ? n 2 ? 2 n .

§14 不等式的证明
不等式在数学中占有重要地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛和高考的 热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不

等式的性质,不等式的性分类罗列如下: 不等式的性质:a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0. 这是不等式的定义,也是比较法的依 据. 对一个不等式进行变形的性质: (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法保序性) (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc. (4) a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ? n b (n ? N*). 对两个以上不等式进行运算的性质. (1) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性).这是放缩法的依据. (2) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (3) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (4) a ? b ? 0, d ? c ? 0, ? 含绝对值不等式的性质: (1) | x |? a(a ? 0) ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a. (2) | x |? a(a ? 0) ? x ? a ? x ? a或x ? ?a.
2 2

a b ? , ad ? bc. c d

(3) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (三角不等式). (4) | a1 ? a2 ? ? ? an |?| a1 | ? | a2 | ??? | an | . 证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数 方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法;后者称为 分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整 理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出 而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.

例题讲解
. 1. a, b, c ? 0, 求证: ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

2. a, b, c ? 0 ,求证: a b c ? (abc)
a b c

a ?b ? c 3

.

3.: a, b, c ? R ? , 求证a ? b ? c ?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

4.设 a1 , a2 ,?, an ? N * ,且各不相同,

求证: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

1 a a3 a ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . . 2 n 2 3 n2

5.利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.

6.已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a ? b ?
4 4

1 . 8

7.利用排序不等式证明 Gn ? An

8.证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

1 n 1 n ?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

1 1 1 9.n 为正整数,证明: n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n?1 . 2 3 n

1 n

?1

课后练习
1.选择题 (1)方程 x -y =105 的正整数解有(
2 2

).

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 (2)在 0,1,2,?,50 这 51 个整数中,能同时被 2,3,4 整除的有( (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 2.填空题 (1)的个位数分别为_________及_________.
4 5 4

).

(2)满足不

等式 10 ?A?10 的整数 A 的个数是 x?10 +1,则 x 的值________.
3

(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y 被 7 除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程 x -51y =1 的自然数解 x 和 y_________. 3.求三个正整数 x、y、z 满足
2 2

. 4.在数列 4,8,17,77,97,106,125,238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数,而不是 9 的倍数的数组共有多少组?

5.求

的整数解.

6.求证

可被 37 整除.

7.求满足条件

的整数 x,y 的所有可能的值.

8.已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m 厘米,斜边长为 n 厘米,且 l,m,n 均为正整数,l 为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数.

9.如果 p、q、



都是整数,并且 p>1,q>1,试求 p+q 的值.

课后练习答案
1.D.C. 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可变形为 x =(7y+1) +2y(y-7),令 y=7 可得 x=50.
2 2

3.不妨设 x?y?z,则

,故 x?3.又有

故 x?2.若 x=2,则

,故

y?6.又有

,故 y?4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数解.若 x=3,

类似可以确定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整数. 4.可仿例 2 解. 5. 分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. ..
略解: a ? b ? 2ab,同理b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
2 2 2 3 2 2

评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 2 xn x12 x2 ? ??? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,可在不等式两边同时加上 x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 . x 2 x3 x1

再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) (b ? c) ? 256a b c (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不等式.
3 3 2 2 3

(2)基本不等式有各种变式

如(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次数及 2 2

系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1.

6.8888≡8(mod37),∴8888
3333

2222

≡8 (mod37).
2222

2

7777≡7(mod37),7777 ≡7 (mod37),8888 2 3 8 +7 =407,37|407,∴37|N.
2 2

3

+7777

3333

≡(8 +7 )(mod37),而

2

3

7.简解:原方程变形为 3x -(3y+7)x+3y -7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件△?0 及 y 为整数可得 0?y?5,即 y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、 (5,4). 8.∵l +m =n ,∴l =(n+m)(n-m).∵l 为质数,且 n+m>n-m>0,∴n+m=l ,n-m=1.于是 2 2 2 2 l =n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l -1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l +2l+1=(l+1) .即 2(l+m+1)是完全平 方数.
2 2 2 2 2

9.易知 p≠q,不妨设 p>q.令 (4-mn)p=m+2,解此方程可得 p、q 之值.

=n,则 m>n 由此可得不定方程

例题答案:
1. 证明:?

ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

? a(b 2 ? c 2 ? 2bc) ? b(a 2 ? c 2 ? 2ac) ? c(a 2 ? b 2 ? 2ab) ? a(b ? c) 2 ? b(c ? a) 2 ? c(a ? b) 2 ?0
? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6a b .c
评述:(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变),在因式分解或 配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 时,可将 a ? b
2 2 2
2 2

1 ? (ab ? bc ? ca) 配方为 [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] ,亦可利用 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2

b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.
2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 不等式关于 a, b, c 对称,不妨 a ? b ? c,则a ? b, b ? c, a ? c ? R ? ,且

a b , , b c

a 都大于等于 1. c

a abbc c (abc)
a ?b ? c 3

?a

2 a ?b ? c 3

b

2b ? a ?c 3

c

2 c ? a ?b 3

?a

a ?b 3

?a

a ?c 3

?b

b?a 3

?b

b ?c 3

?c

c ?a 3

?c

c ?b 3

a ?( ) b

a ?b 3

b ?( ) c

b ?c 3

a ?( ) c

a ?c 3

? 1.

评述:(1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. (2)本题可作如下推广:若 ai ? 0(i ? 1,2,?, n),则a1 a2 ?an
a1 a2
a b b a

an

? (a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.

(3)本题还可用其他方法得证。因 a b ? a b ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c ,

另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.
a b c a b c

(4)设 a ? b ? c ? 0, 则lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类似例 4 可证

a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地有排序不等
式(排序原理): 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn 则 (顺序和)

? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? an b jn (乱序和)
? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其中 j1 , j2 ,?, jn是1,2,?, n 的任一排列.当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时 等号成立. 排序不等式应用较为广泛(其证明略),它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组 的积的形式.如 a, b, c ? R ?时, a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c

? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a;

a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? . b c a b c a a b c
2 2 2

3.思路分析:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.

1 1 1 1 1 1 ? ? , 则 a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 乱 序 和 ) c a b c b a 1 1 1 1 1 1 ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 逆 序 和 ) , 同 理 a 2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 乱 序 和 ) c a b a b c 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组 a b c 1 1 1 a 3 ? b 3 ? c 3及 ? ? ,仿上可证第二个不等式. bc ac ab
不 妨 设 a ? b ? c, 则a ? b ? c , 4.分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn是a1 , a2 ,?, an 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

所以 a1 ?

a b b a 2 a3 b ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .由于 b1 , b2 ,?bn 是互不相同的正整数,故 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n
2 2

评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a ? b ? a ? b ? b ? a,

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.
5.思路分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. ..

a 2 ? b 2 ? 2ab,同理b 2 ? c 3 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x2 ? ? ? ? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,可在不等式两边同时加上 x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 . x 2 x3 x1

再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) 3 (b ? c) 3 ? 256a 2 b 2 c 3 (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不等式.

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? (2)基本不等式有各种变式 如 ( 等.但其本质特征不等式两边的次数及系数 2 2
是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6. 思路分析:不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数 要证 a ? b ?
4 4

1 ,如何也转化为 a 、 b 的 4 次式呢. 8

1 1 , 即证 a 4 ? b 4 ? (a ? b) 4 . 8 8
3 3

评述:(1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 1, xi ? 0, 求证: x1 ? x 2

1 1 1 3 3 ? x3 ? . 右侧的 可理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) . 再如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,求证: x1 x2 ? x2 x3 3 3 3
+ x3 x1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) ,当然本题另有简使证法.
2

3 8

(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,?an ) 调和平均 H n ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

几何平均 Gn ? n a1 ?a 2 ?an 算术平均 An ?

a1 ?a2 ? ? ? an n

2 2 a12 ? a2 ? ? ? an 平方平均 Qn ? 2

这四个平均值有以下关系: H n ? Gn ? An ? Qn ,其中等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时 成立.

7.

证明: 令 bi ?

ai , (i ? 1,2,?, n) 则 b1b2 ?bn ? 1 ,故可取 x1 , x2 ,? xn ? 0 ,使得 Gn

b1 ?

x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn?1 ? n?1 , bn ? n 由排序不等式有: x2 x3 xn x1

b1 ? b2 ? ? ? bn
=

x x1 x2 ? ? ? ? n (乱序和) x 2 x3 x1
1 1 1 ? x2 ? ? ? ? xn ? (逆序和) x1 x2 xn

? x1 ?
=n,

?

a a ? a2 ? ? ? an a1 a2 ? ? ? ? n ? n,即 1 ? Gn . Gn Gn Gn n
1 1 1 , , ?, 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, Gn ? An . a1 a 2 an

评述:对

8.

分析:原不等式等价于 n ?1 (1 ? ) ? 1 ?
n

1 n

1 ,故可设法使其左边转化为 n 个数的几何平均, n ?1

而右边为其算术平均.
n ?1

1 1 1 1 1 n?2 1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n ?1 n n ???n n ???n n ?1 n ?1 ??? ? ??? ?
n个 n ?1

评述:(1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等式形 式相近.类似可证 (1 ?

1 n ?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁. 9.证明:先证左边不等式

1 1 1 ? ? ? ? ? (1 ? n) ? 1 ? 2 3 n 1 1 1 1? ? ??? ? n 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 1 1 1 (1 ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ?

1 n

1 n

1?

1 1 1 ? ??? 2 3 n n

? n 1? n ?
2?

2?

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n n

(*)

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n ? n 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n n ? 1. n 2 3 n

? (*)式成立,故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n n?1 2 3 n 1

?n

?

1 n ?1

?

n ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 2 3 n ? n ?1 1 ? 2 3 n n ?1 n n ?1

1 2 n ?1 ? ??? 1 2 3 n ? n ?1 ? n n ?1

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.

§15 不等式的应用
1.排序不等式(又称排序原理) 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an 及 b1 ? b2 ? ? ? bn . 则 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn (同序和)

? a1b j1 ? a2b j 2 ? ? ? an b jn (乱序和)
? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其中 j1 , j2 ,?, jn 是 1, ?, 的任一排列.当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 2, n 时等号(对任一排列 j1 , j2 ,?, jn )成立. 2.应用排序不等式可证明“平均不等式”: 设有 n 个正数 a1 , a2 ,?, an 的算术平均数和几何平均数分别是

An ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 和Gn ? n a1 a 2 ? a n n

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到

Hn ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an



和平方平均(在统计学及误差分析中用到)

Qn ?

2 2 a12 ? a2 ? ? ? an n

* 这四个平均值有以下关系 H n ? Gn ? An ? Qn . ○

3.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设 a1 、 a2 、 a3 ,?, an 是任意实数,则

2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ) 2 ? (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? ? bn ).

等号当且仅当 bi ? kai (k 为常数, i ? 1,2, ?, n) 时成立. 4.利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , 则

a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn a1 ? a 2 ? ? ? a n b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? . n n n

例题讲解
. 1. a, b, c ? 0, 求证: ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

2. a, b, c ? 0 ,求证: a b c ? (abc)
a b c

a ?b ? c 3

.

3.: a, b, c ? R ? , 求证a ? b ? c ?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

4.设 a1 , a2 ,?, an ? N * ,且各不相同,

求证: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

1 a a3 a ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . . 2 n 2 3 n2

5.利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.

6.已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a ? b ?
4 4

1 . 8

7.利用排序不等式证明 Gn ? An

8.证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

1 n 1 n ?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

1

9.n 为正整数,证明: n[(1 ? n) n ? 1] ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n?1 . 2 3 n

?1

例题答案:
1. 证明:?

ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

? a(b 2 ? c 2 ? 2bc) ? b(a 2 ? c 2 ? 2ac) ? c(a 2 ? b 2 ? 2ab) ? a(b ? c) 2 ? b(c ? a) 2 ? c(a ? b) 2 ?0
? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6a b .c
评述:(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变),在因式分解或 配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 时,可将 a ? b
2 2 2
2 2

1 ? (ab ? bc ? ca) 配方为 [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] ,亦可利用 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2

b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.
2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 不等式关于 a, b, c 对称,不妨 a ? b ? c,则a ? b, b ? c, a ? c ? R ,且
?

a b , , b c

a 都大于等于 1. c

a abbc c (abc)
a ?b ? c 3

?a

2 a ?b ? c 3

b

2b ? a ?c 3

c

2 c ? a ?b 3

?a

a ?b 3

?a

a ?c 3

?b

b?a 3

?b

b ?c 3

?c

c ?a 3

?c

c ?b 3

a ?( ) b

a ?b 3

b ?( ) c

b ?c 3

a ?( ) c

a ?c 3

? 1.

评述:(1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. (2)本题可作如下推广:若 ai ? 0(i ? 1,2,?, n),则a1 a2 ?an
a1 a2
a b b a

an

? (a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.

(3)本题还可用其他方法得证。因 a b ? a b ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c , 另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.
a b c a b c

(4)设 a ? b ? c ? 0, 则lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类似例 4 可证

a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地有排序不等
式(排序原理): 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn 则 (顺序和)

? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? an b jn (乱序和)
? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其中 j1 , j2 ,?, jn是1,2,?, n 的任一排列.当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时 等号成立. 排序不等式应用较为广泛(其证明略),它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组 的积的形式.如 a, b, c ? R 时, a ? b ? c ? a b ? b c ? c a ? a ? a ? b ? b ? c ? c
3 3 3 2 2 2 2 2 2 ?

? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a;

a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? . b c a b c a a b c
2 2 2

3.思路分析:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.

1 1 1 1 1 1 ? ? , 则 a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 乱 序 和 ) c a b c b a 1 1 1 1 1 1 ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 逆 序 和 ) , 同 理 a 2 ? ? b2 ? ? c2 ? ( 乱 序 和 ) c a b a b c 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组 a b c 1 1 1 a 3 ? b 3 ? c 3及 ? ? ,仿上可证第二个不等式. bc ac ab
不 妨 设 a ? b ? c, 则a ? b ? c , 4.分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn是a1 , a2 ,?, an 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

所以 a1 ?

a b b a 2 a3 b ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .由于 b1 , b2 ,?bn 是互不相同的正整数,故 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n

评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a 2 ? b 2 ? a ? b ? b ? a,

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.
5.思路分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. ..

a 2 ? b 2 ? 2ab,同理b 2 ? c 3 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x2 ? ? ? ? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,可在不等式两边同时加上 x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 . x 2 x3 x1

再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) 3 (b ? c) 3 ? 256a 2 b 2 c 3 (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不等式.

(2)基本不等式有各种变式

如(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次数及系数 2 2
1 ,如何也转化为 a 、 b 的 4 次式呢. 8

是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6. 思路分析:不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数 要证 a ? b ?
4 4

1 1 , 即证 a 4 ? b 4 ? (a ? b) 4 . 8 8
3 3

评述:(1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 1, xi ? 0, 求证: x1 ? x 2

1 1 1 3 3 ? x3 ? . 右侧的 可理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) . 再如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,求证: x1 x2 ? x2 x3 3 3 3
+ x3 x1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) ,当然本题另有简使证法.
2

3 8

(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,?an ) 调和平均 H n ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

几何平均 Gn ? n a1 ?a 2 ?an 算术平均 An ?

a1 ?a2 ? ? ? an n
2 2 a12 ? a2 ? ? ? an 2

平方平均 Qn ?

这四个平均值有以下关系: H n ? Gn ? An ? Qn ,其中等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时 成立. 7. 证明: 令 bi ?

ai , (i ? 1,2,?, n) 则 b1b2 ?bn ? 1 ,故可取 x1 , x2 ,? xn ? 0 ,使得 Gn

b1 ?

x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn?1 ? n?1 , bn ? n 由排序不等式有: x2 x3 xn x1

b1 ? b2 ? ? ? bn
=

x x1 x2 ? ? ? ? n (乱序和) x 2 x3 x1
1 1 1 ? x2 ? ? ? ? xn ? (逆序和) x1 x2 xn

? x1 ?
=n,

?

a a ? a2 ? ? ? an a1 a2 ? ? ? ? n ? n,即 1 ? Gn . Gn Gn Gn n
1 1 1 , , ?, 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, Gn ? An . a1 a 2 an

评述:对

8.

分析:原不等式等价于 n ?1 (1 ? ) ? 1 ?
n

1 n

1 ,故可设法使其左边转化为 n 个数的几何平均, n ?1

而右边为其算术平均.
n ?1

1 1 1 1 1 n?2 1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n ?1 n n ? n ? n ?1 n ?1 ??? ??n ? ??? ??n ?
n个 n ?1

评述:(1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等式形 式相近.类似可证 (1 ?

1 n ?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁.

9.证明:先证左边不等式

1 1 1 n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? (1 ? n) n ? 1 ? 2 3 n 1 1 1 1? ? ??? ? n 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 1 1 1 (1 ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 3 4 n ?1 2 ? ? ??? 2 3 n ? n 1? n ? (*) n
2?

1 n

1

1?

1 1 1 ? ??? 2 3 n n

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n ? n 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n n ? 1. n 2 3 n

? (*)式成立,故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n n?1 2 3 n 1

?n

?

1 n ?1

?

n ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 2 3 n ? n ?1 1 ? 2 3 n n ?1 n n ?1

1 2 n ?1 ? ??? 1 2 3 n ? n ?1 ? n n ?1

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.

§16 排列,组合
1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决 排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集 是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法 原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制 条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全 排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板,把球分成 4 堆,
3 分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C11 ,这也就是方程 a ? b ? c ? d ? 12 的正整数解的个

数. 2.圆排列

(1)由 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上,叫做一 个圆排列(或叫环状排列). (2)圆排列有三个特点: (i)无头无尾; (ii)按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii) 两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同的圆排列. (3)定理:在 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行圆排列, 圆排列数为

Pnr . r

3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、 第二、?、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素 的可重复的排列数为 m . 4.不尽相异元素的全排列 如 果 n 个 元 素 中 , 有 p1 个 元 素 相 同 , 又 有 p 2 个 元 素 相 同 , ? , 又 有 p s 个 元 素 相 同 ( p1 ? p2 ? ? ? ps ? n ),这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排列,它的 排列数是
n

n! p1!? p 2 !?? ? p s !

5.可重组合 (1) n 个元素, 从 每次取出 p 个元素, 允许所取的元素重复出现 1,2, ?, p 次的组合叫从 n 个 元素取出 p 个有重复的组合. (2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H n ? Cn?( p?1) .
p r

例题讲解
1.数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四位数中恰有两个 数字相同,这样的四位数共有多少个?

2.有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数?

3.有 2 n 个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?

4.将 n ? 1 个不同的小球放入 n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法?

5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中,共线的三 点组的个数是多少个?

6.用 8 个数字 1,1,7,7,8,8,9,9 可以组成不同的四位数有多少个?

7.用 A, B, C , D, E 五种颜色给正方体的各个面涂色,并使相邻面必须涂不同的颜色,共有多少种 不同的涂色方式?

8.某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品可区分),每次取一只测试,直到 4 只次品全部测 出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?

9.在平面上给出 5 个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直,过每点向其余四 点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个?

10.位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有多少种?

11.某城市有 6 条南北走向的街道,5 条东西走向的街道.如果有人从城南北角(图 A 点)走到 东南角中 B 点最短的走法有多少种?

12.用 4 个 1 号球,3 个 2 号球,2 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号,共有多少种可能的号码?

13.将 r 个相同的小球,放入 n 个不同的盒子( r ? n ). (1)有多少种不同的放法? (2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法?

14.8 个女孩和 25 个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩.(只要把圆旋转一下 就重合的排列认为是相同的)

课后练习
1.8 次射击,命中 3 次,其中愉有 2 次连续命中的情形共有( )种 (A)15 (B)30 (C)48 (D)60 2.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之 后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.某人从楼下到楼上要走 11 级楼梯,每步可走 1 级或 2 级,不同的走法有( )种 (A)144 (B)121 (C)64 (D)81 4.从 7 名男乒乓球队员,5 名女乒乓球队员中选出 4 名进行男女混合双打,不同的分组方法 有( )种 (A) 2C7 C5
2 2

(B) 4C7 C5

2

2

(C) P7 P5

2

2

(D) C7 C5

2

2

5. 5 分、 角、 角的人民币各 2 枚、 张、 张, 有 1 5 3 9 可组成的不同币值 (非 0) ( 有 种



(A)79 (B)80 (C)88 (D)89 6.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有 ________种 7.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并且

该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 8.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之 一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动, 那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 9.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4};(2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________. 10.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种 不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种载种方案. 11.10 人围圆桌而,如果甲、乙二人中间相隔 4 人,有 种坐法. 12.从 1,2,3, ?,19 中,按从小到大的顺序选取 a1 , a2 , a3 , a4 四个数,使得 a2 ? a1 ? 2 ,

a3 ? a2 ? 3 , a4 ? a3 ? 4 .问符合上要求的不同取法有多少种?

13.8 人围张一张圆桌,其中 A 、 B 两人不得相邻,而 B 、 C 两人以必须相邻的不同围坐方 式有多少种?

14.4 对夫妇去看电影,8 人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性,共有多少 种坐法?

§17 二项式定理与多项式
1.二项工定理
k (a ? b) n ? ? C n a n ?k b k (n ? N*) k ?0 n

2.二项展开式的通项
r Tr ?1 ? Cn a n?r b r (0 ? r ? n) 它是展开式的第 r+1 项.

3.二项式系数
r Cn (0 ? r ? n).

4.二项式系数的性质
k n (1) Cn ? Cn ?k (0 ? k ? n). k k k ?1 (2) Cn ? Cn?1 ? Cn?1 (0 ? k ? n ? 1).
n

n

0 1 n n (3)若 n 是偶数,有 Cn ? Cn ? ? ? Cn2 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ,即中间一项的二项式系数 C n2 最大.

n?1

n ?1

0 1 n n 若 n 是奇数,有 Cn ? Cn ? ? ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ,即中项二项的二项式系数 n n ?1

Cn2 和Cn 2 相等且最大.
0 1 2 n (4) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n. 0 2 4 1 3 5 (5) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 n?1.

(6) kC n ? nC n ?1 或C n ?
k k

k ?1

n k ?1 C n ?1 . k

k m m k ?m k m (7) Cn ? Ck ? Cn ? Cn?m ? Cn ?mCn?k ?m (m ? k ? n). n n n n n?1 (8) Cn ? Cn?1 ? ?Cn?2 ? ? ? Cn?k ? Cn?k ?1 .
m 以上组合恒等式(是指组合数 C n 满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基

本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出. 5.证明组合恒等式的方法常用的有 (1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明. (2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. (3)利用数学归纳法. (4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.

例题讲解
1 1.求 ( x ? 1 ? ) 7 的展开式中的常数项. x

2.求 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 的展开式里 x5 的系数.

3.已知数列 a0 , a1 , a2 ,?(a0 ? 0) 满足 ai ?1 ?a i ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?), 求证:对于任何自然数 n,

0 1 2 n n p( x) ? a0Cn (1 ? x) n ? a1Cn x(1 ? x) n?1 ? a2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? an?1Cn ?1 x n?1 (1 ? x) ? an Cn x n 是 x

的一次多项式或零次多项式.

4. 已知 a, 均为正整数, a ? b, sin ? ? 22ab 2 (其中0 ? ? ? ? ), An ? (a 2 ? b 2 ) n ? sin n? , 求证: b 且
a ?b 2

对一切 n ? N * ,An 均为整数.

5.已知 x, y 为整数,P 为素数,求证: ( x ? y) P ? x P ? y P (modP)

6.若 ( 5 ? 2) 2r ?1 ? m ? ? (r, m ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? ) ? 1.

7.数列 {an } 中, a1 ? 3, an ? 3a?1 (n ? 2) ,求 a2001 的末位数字是多少? n

8.求 N=1988-1 的所有形如 d ? 2 a ? 3b , (a, b 为自然数)的因子 d 之和.

9.设 x ? (15 ? 220)19 ? (15 ? 220)82 ,求数 x 的个位数字.

10.已知 a0 ? 0, a1 ? 1, an?1 ? 8an ? an?1 (n ? 1,2,?) 试问:在数列 {an } 中是否有无穷多个能被 15 整除的项?证明你的结论.

课后练习
1.已知实数 ? , ? 均不为 0,多项 f ( x) ? ?x ? ?x ? ?x ? ? 的三根为 x1 , x2 , x3 ,求
3 2

( x1 ? x2 ? x3 )(

1 1 1 ? ? ) 的值. x1 x2 x3

2.设 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其中 a, b, c, d 为常数,如果 f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? 3, 求
1 [ f (4) ? f (0)] 的值. 4

3.定义在实数集上的函数 f (x) 满足: f ( x) ? xf (1 ? x) ? 1 ? x, 求f ( x).

1 3 5 5 4.证明:当 n=6m 时, Cn ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ?32 ?? ? 0.

5.设 (1 ? x ? x 2 ) n 展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,求证: a0 ? a3 ? a6 ? ? ? 3n?1.

6.求最小的正整数 n,使得 ( xy ? 3x ? 7 y ? 21) n 的展开式经同类项合并后至少有 1996 项.

7.设 f ( x) ? ( x 3 ? x ? 1) 9 (2 x ? 1) 4 ,试求: (1) f (x) 的展开式中所有项的系数和. (2) f (x) 的展开式中奇次项的系数和.

8.证明:对任意的正整数 n,不等式 (2n ? 1) ? (2n) ? (2n ? 1) 成立.
n n n

例题答案:
1.解:由二项式定理得

1 1 ( x ? 1 ? ) 7 ? [1 ? ( x ? )] 7 x x 1 1 1 1 0 1 7 ? C 7 ? C 7 ( x ? ) ? C 72 ( x ? ) 2 ? ? ? C 7r ( x ? ) r ? ? ? C 7 ( x ? ) 7 x x x x 1 r r 其中第 r ? 1(0 ? r ? 7) 项为 T r ?1? C 7 ( x ? ) ② x 1 r 在 ( x ? ) 的展开式中,设第 k+1 项为常数项,记为 Tk ?1, x k r ?k 1 k k r ?2k , (0 ? k ? r ) ③ 则 Tk ?1, ? C r x ( ) ? C r x x



由③得 r-2k=0,即 r=2k,r 为偶数,再根据①、②知所求常数项为
0 2 1 4 2 6 3 C7 ? C7 C7 ? C7 C7 ? C7 C6 ? 393.

评述:求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解:因为 (1 ? 2 x ? 3x 2 ) 6 ? (1 ? 3x) 6 (1 ? x) 6
1 2 3 6 1 2 3 4 5 6 ? [1 ? C6 ? 3x ? C6 ? (3x) 2 ? C6 ? (3x) 3 ? ? ? C6 ? (3x) 6 ][1 ? C6 x ? C6 x 2 ? C6 x 3 ? C6 x 4 ? C6 x 5 ? C6 x 6 ].

5 1 4 2 3 3 2 所以 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 的展开式里 x5 的系数为 1(?C6 ) ? 3C6 ? C6 ? 32 C6 (?C6 ) ? 33 C6 ? C6

4 1 5 ? 34 C6 ? (?C6 ) ? 35 C6 ?1 ? ?1 6 . 8

评述:本题也可将 (1 ? 2x ? 3x 2 ) 6 化为 [1 ? (2 x ? 3x 2 )]6 用例 1 的作法可求得. 3. 分析:由 ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai 知 an } 是等差数列,则 ai ? ai ?1 ? d ? a0 ? id (i ? 1,2,?), 从而可将 {

p(x) 表示成 a0 和d 的表达式,再化简即可.
解:因为 ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) 有 ai ? a0 ? id (i ? 1,2,3,?) 从而 所以数列 {an } 为等差数列,设其公差为 d

0 1 2 n P( x) ? a0Cn (1 ? x) n ? (a0 ? d )Cn x(1 ? x) n?1 ? (a0 ? 2d )Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? (a0 ? nd)Cn x n
0 1 n 1 2 n ? a0 [Cn (1 ? x) n ? Cn x(1 ? x) n?1 ? ?? Cn x n ] ? d[1? Cn x(1 ? x) n?1 ? 2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ?? nCn x n ], 由 二

项定理,知
0 1 2 n Cn (1 ? x) n ? Cn x(1 ? x) n?1 ? Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? Cn x n ? [(1 ? x) ? x]n ? 1,
k 又因为 kCn ? k ?

n! (n ? 1)! k ?1 ? n? ? nCn?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!

1 2 n 从而 Cn x(1 ? x) n?1 ? 2Cn x 2 (1 ? x) n?2 ? ? ? nCn x n

1 ? nx[(1 ? x) n?1 ? Cn?1 x(1 ? x) n?2 ? ? ? x n?1 ]

? nx[(1 ? x) ? x]n?1 ? nx.

所以 P( x) ? a0 ? ndx.

当 d ? 0时, P( x)为x 的一次多项式,当 d ? 0时, P( x)为零次多项式. 4. 分析:由 sin n? 联想到复数棣莫佛定理,复数需要 cos ? ,然后分析 An 与复数的关系. 证明:因为 sin ? ?

2ab ? a2 ? b2 , 且0 ? ? ? , a ? b, 所以cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 2 . 2 a2 ? b2 a ? b2
n n

显然 sin n?为(cos? ? i sin ? ) 的虚部,由于 (cos? ? i sin ? )

?(

a2 ? b2 2ab 1 1 ? 2 i) n ? 2 (a 2 ? b 2 ? 2abi) ? 2 (a ? bi) 2n . 2 2 2 2 n a ?b a ?b (a ? b ) (a ? b 2 ) n

所以 (a 2 ? b 2 ) n (cosn? ? i sin n? ) ? (a ? bi) 2n . 从而 An ? (a 2 ? b 2 ) n sin n?为(a ? bi) 2n 的虚部. 因为 a、b 为整数,根据二项式定理, (a ? bi) 2n 的虚部当然也为整数,所以对一切 n ? N * , An 为整数. 评述:把 An 为与复数 (cos? ? i sin ? ) n 联系在一起是本题的关键.
1 2 p 5. 证明: ( x ? y) P ? x P ? CP x P?1 y ?

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