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用均值不等式求最值的常用技巧

时间:2016-08-15


用均值不等式求最值的常用技巧
均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件:一正、二 定、三相等,缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性,需要进行适当地变形才能用均值不 等式求解。掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值。

1.凑系数
例1 当 时,求 的最大值。

利用均值不等式

求最值,必须和为定值或积为定值,本题是积的形式,但其和不是定值。注意到 为定值,故需将“x”项凑上一个系数即可。

解:由 当且仅当

,知 时取等号。其最大值是 8。



点评:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最 大值。

2.凑项
例2 求 的最值。

分析:由题意知 用均值不等式。 解:∵ ∴ , ,即

,首先要调整符号,而

不是定值,需对

进行凑项才能得到定值,然后



,当且仅当 时等号成立。

,即

∴函数

有最大值



3.分离
例 3 经过长期观测可知,在交通繁忙的时段内,某路段汽车的车流量 (千辆/小时)与 汽车的平均速度

(千米/小时)之间的函数关系式为 在该时段内,当汽车的平均速率



为多大时车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 0.1 千辆/小时)

分析:只要把分子上的变量分离出来,转化到分母上就可以用均值不等式求解。 解:依题意得:



当且仅当

,即

时,上式等号成立。

∴当

时,

(千辆/小时)。

4.平方
例 4 求函数 分析:注意到 解: 与 的最大值。 的和为定值,只要对解析式两边取平方,即可用均值不等式求解。 。

当且仅当

,即

时取等号。



,可知

,故



5.统一
例 5 已知正数 , 满足 ,求 的最大值。

分析:把所求式的变量 x 都移到根号里,同时凑系数满足已知条件使和为常数,用均值不等式求积的最大 值。

解:∵











当且仅当



时等号成立,又因



为正值,可解得





等号成立。故

有最大值为



6.代换
例 6 已知正数 分析:将 、 满足 ,求 的最小值。

看作

,1 用已知条件整体代换,可用均值不等式求解。

解:



由题意知,当且仅当 最小值是 18。



时等号成立,又因



为正数,解得



,故

7.构造
例 7 已知 ,求 的最小值。 ,将其整体代入所求式子,即可用均值不等式求解。

分析:注意到所求式子的分母满足

解:∵ ∴ ∵ ∴ 。





当且仅当

,即

时等号成立。



的最小值为 25。


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