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2013高考数学(理)一轮复习试题:2-3

时间:


A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2010· 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常 数),则 f(-1)等于( A.3 B.1 ). C.-1 D.-3

解析 由

f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1, f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案 D 2.(★)已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 解析 B.0 C.1 D.2 ).
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

π π ?π ? (构造法)构造函数 f(x)=sin 2x,则有 f(x+2)=sin?2?x+2??=-sin 2x=- ? ? π x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π=0,故选 B. 2

f(x),所以 f(x)=sin 答案 B

【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选择 题的常用方法,充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3.(★)(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 则 a=( 1 A.2 ). 2 B.3 3 C.4 x 是奇函数, ?2x+1??x-a? D.1 x 为奇函数, ?2x+1??x-a?

解析 (特例法)∵f(x)= ∴f(-1)=-f(1), ∴

-1 1 =- , ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a?
[来源:学科网 ZXXK]

1 ∴a+1=3(1-a),解得 a=2.

答案 A 【点评】 本题采用特例法,可简化运算,当然也可用奇函数的定义进行解题,不 过过程较为繁琐,若运算能力较弱容易出错. 4.(2012· 南昌二中月考)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, 则( ). B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2)

解析 由已知条件对 x∈R 都有 f(-x+1)=-f(x+1), f(-x-1)=-f(x-1)因此 f(- x+3)=f[ -(x-2)+1]=-f[(x-2)+1]=-f(x-1)=f(-x-1)=f(-x-2+1)=f(- (x+2)+1)=-f((x+2)+1)=-f(x+3),因此函数 f(x+3)是奇函数. 答案 D 5.(2011· 上海)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为 ( ). B.y=x3 C.y=2|x| D.y=cos x

1 A.y=ln |x|

1 解析 f(x)=ln |x|满足 f(-x)=f(x),且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-ln x,显然 f(x) 在(0,+∞)上是减函数,故选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 f(x)= 1 +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1
x

解析 由 f(x)是奇函数,利用赋值法得 f(-1)=-f(1)即 1 理得:-1+2a=0,即 a=2. 1 答案 2

1 1 +a=- 1 -a 整 2 -1 2 -1
-1

7.(2010· 安徽改编)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且 满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________. 解析 ∵f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴f(3)=f(3- 5)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, f(3)-f(4 )=(- 故

2)-(-1)=-1. 答案 -1 8.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示, 则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析 由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5] 上的图象关于坐标原点对称,由 y =f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

答案 (-2,0)∪(2,5) 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解 ∵f(x)是 R 上的奇函数,可得 f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x), ∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x)(x>0). ?-xlg?2-x? ∴f(x)=? ?-xlg?2+x? ?x<0?, ?x≥0?.

即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). 10.(12 分)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1- m)<f(m),求实数 m 的取值范围. 解 由偶函数性质知 f(x)在[0,2]上单调递增,且 f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|),

?-2≤1-m≤2, 因此 f(1-m)<f(m)等价于?-2≤m≤2, ?|1-m|<|m|.

1 解得:2<m≤2. ?1 ? 因此实数 m 的取值范围是?2,2?. ? ? B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(★)(2011· 湖北)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax -a-x+2(a>0,且 a≠1). 若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 15 B. 4 17 C. 4 ). D.a2

解析 (直接法)∵g(x)为偶函数,f(x)为奇函数, ∴g(2)=g(-2)=a,f(-2)=-f(2), ∴f(2)+g(2)=a2-a-2+2, f(- 2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=a-2- a2+2, 15 联立①②解得 g(2)=2=a,f(2)=a2-a-2=22-2-2= 4 .故选 B. 答案 B 【点评】 本题采用直接法,所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关 的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理与计算来得出 题目的结论,然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因 导果,直接求解. 2.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x) =x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 D.9 ). ① ②

解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0,得 x=0 或 x=1 或 x=-1(舍去),又 f(x) 的最小正周期为 2,∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0, ∴y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 3.(2010· 重庆改编)已知函数 f(x)满足:f(1)=4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈

R),则 f(2 013)=________. 解析 法一 1 1 当 x=1,y=0 时,f(0)=2;当 x=1,y=1 时,f(2)=-4;当 x=2,

1 1 1 y=1 时,f(3)=-2;当 x=2,y=2 时,f(4)=-4;当 x=3,y=2 时,f(5)=4;当 1 1 1 x=3, y=3 时, f(6)=2; x=4, 当 y=3 时, f(7)=4; x=4, 当 y=4 时, f(8)=-4; ?. ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 013)=f(3+335×6)=f(3)=-2. 1 法二 ∵f(1)=4,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y), 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)=2cos 3x, 1 ?π 1 ? ∴f(2 013)=2cos?3×2 013?=-2. ? ? 1 答案 -2 4.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1) , ?1? 已知当 x∈[0,1]时 f(x)=?2?1-x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ?1? ④当 x∈(3,4)时,f(x)=?2?x-3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的 周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, ?1? f(x)=f(-x)=?2?1+x,函数 y=f(x)的图象 ? ? 如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, ?1? f(x)=f(x-4)=?2?x-3,因此②④正确.③不正确. ? ? 答案 ①②④ 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 扬州模拟)已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 令 x = y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数.
[来源:学科网]

(2)解 任取 x1<x2, x 2-x1>0, 则 所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2) -f(x1)<0,所以 f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)= -f(3)=6. 所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. a 6.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ x(x≠0,常数 a∈R) (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 当 a=0 时,f(x)=x2,(x≠0)
[来源:Zxxk.Com]

显然为偶函数;当 a≠0 时,f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 因此 f(1)≠f(-1),且 f(-1)≠-f(1), a 所以函数 f(x)=x2+x 既不是奇函数,也不是偶函数.
3 a 2x -a (2)f′(x)=2x-x2= x2 ,

当 a≤0,f′(x)>0,则 f(x)在(2,+∞)上是增函数,

当 a>0 时,由 f′(x)=

3 a 2x3-a 2 >0,解得 x> x 2,由 f(x)在[2,+∞)上是增函数,

可知

3 a 2≤2.解得 0<a≤16

综上可知实数 a 的取值范围是(-∞,16].

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[来源:学科网]


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