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中职数学说课稿----直线与平面垂直的判定


《直线与平面垂直的判定》
说课稿 一、教材分析
1、 教材的地位和作用:
《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教 A 版必修 2 第 2 章 2.3.1 的内容,本节课 主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中,线面垂直的定义是线面垂直 最基本的判定方法和性质, 它是探究线面垂直判定定理的基础; 线面垂直的判定定理充分体 现了线线垂直

与线面垂直之间的转化, 它既是后面学习面面垂直的基础, 又是连接线线垂直 和面面垂直的纽带! (如图)学好这部分内容,对于学生建立空间观念,实现从认识平面图 形到认识立体图形的飞跃,是非常重要的。

2、 教学目标
根据大纲要求,考虑到学生的接受能力和课容量,确定了本次课的教学目标: A、知识与技能:通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义,归纳线面垂直的判 定定理;并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 B、过程与方法:通过线面垂直定义及定理的探究过程,感知几何直观能力和抽象概括 能力,体会转化思想在解决问题中的运用。 C、情感、态度与价值观:经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴 趣。

3、教学重点和难点
根据《课程标准》 ,线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求,这样降低了难 度。因而,我将本节课的教学重点确立为:

重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
由于学生的抽象概括能力、 空间想象力还有待提高, 而线面垂直判定定理的发现具有一 定的隐蔽性, 学生不易想到, 因此我把操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理

及初步运用作为本节课的难点。

二、课前准备
1.教师准备:长方体模型、多媒体课件 2.学生自备:三角形纸片、笔(代表直线)、三角板、长方形贺卡
创设情境—感知概念

三、教学设计

线面垂直定义的建构

观察归纳—形成概念

本节的教学设计由以下几个环节构成 (约需 10 分钟)
辨析讨论—深化概念

分析实例—猜想定理 线面垂直判定定理的探究 (约需 15 分钟) 质疑反思—深化定理 线面垂直判定定理的初步应用 (约需 10 分钟)

动手操作—确认定理

尝试练习—巩固定理

教学 环节
(1) 创 设情境 —感知 概念









设 计 意 图

1. 直 线 与 平面垂 直定义 的建构

①观察实例:引导学生将书打开直立于桌面,观 察书脊与桌面的位置关系,由此引出课题。 ②展示图片:观察图片,引导学生寻找出其中线 面垂直的位置关系。 (旗杆与地面、桥墩与地面) ③师生活动:引导学生举出身边更多类似的例 子。 (如教室内直立的墙角线和地面的位置关系,桌 子的四只脚与地面的位置关系等) ①学生画图:引导学生将地面看成平面 ? ,旗杆 看做直线 l 画出旗杆与地面位置关系的几何图形。
(师生活动:学生练习本上画图, 教师针对学生出现的问题,如不直 观、不标字母等加以强调。)

从 实 例 到图 片再 到 实际生 活, 直观感知直线和平面垂直的 位置关系,从而建立初步印象, 为下一步的数学抽象做准备

①从具体到抽象,引导学生 完成抽象与具体之间的相互转 换 ②引导学生用“平面化”与 “降维” 的思想来思考问题, 直 线和平面垂直的问题同样可以 转化为考察直线和平面内直线 的关系

(本环节 是教学的 第一个重 (2) 观 点,是后 面探究活 察归纳 动 的 基 础,分三 —形成 步进行: ) 概念

②思考:从直线与直线垂直、直线与平面平行的 定义过程得到启发,能否用一条直线垂直于一个平面 内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢? ③结合问题(1)和(2)观察动画演示:在阳光下直立 于地面的旗杆 AB 及它在地面的影子 BC 的位置变化。 问题(1):旗杆所在的直线 AB 与影子所在的直线 BC 的位置关系是什么? 问题(2):旗杆 AB 与地面内任意一条不过旗杆底 部 B 的直线 B1C1 的位置关系又是什么?由此可以得到 什么结论?
(师生活动:在多媒体演示时,先展示动 画 1 使学生感受到旗杆 AB 所在直线与过点 B 的直线都垂直。 再展示动画 2 引导学生根 据异面直线所成角的概念得出旗杆 AB 所在 直线与地面内任意一条不过点 B 的直线 B1C1 也垂直。)

③通过观察思考, 感知直线 与平面垂直的本质内涵。

④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相 关概念,并引导学生用符号语言表示。 定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都 垂直,我们就说直线 l 与平面α 互相垂直,记作: l⊥α . 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫 做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点 P 叫做垂足。
.

④充分发挥学生的主观能动性, 提高抽象概括能力, 让学生体验 成功的喜悦

用符号语言表示为:

(师生活动:学生以小组为单位讨论交流,互相补充,并 派代表作答,教师补充完善,指出定义中的“任意一条直线” 与“所有直线”是同意词,同时给出直线与平面垂直的记法, 并引导学生用符号语言表示。)

辨析 1:下列命题是否正确,为什么? (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线,那么这条直线与这个平面垂直。 (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线 就垂直于这个平面内的任一直线。 (3) 辨 析讨论 —深化 概念 通过问题辨析与讨论, 加深 概念的理解, 掌握概念的本质属 表平面,将三角板的一条直角边 AC 放在桌面上,这时另一条 性。由(1)使学生明确定义中 直角边 BC 就和桌面内的一条直线 (即三角板与桌面的交线 AC) 的“任意”和“无数”的不同。 垂直, 在此基础上在桌面内放一只和 AC 平行的笔 EF 并平行移 由(2)使学生明确,线面垂直 动,那么 BC 始终和 EF 垂直,但 BC 不一定和桌面垂直,最后 的定义既是线面垂直的判定又 教师给出反例的直观图 1。) 是性质, “直线与直线垂直”和 “直线与平面垂直” 可以相互转 化。
三角板,笔表示直线,三角板两直角边表示两垂直直线,桌面 图1 (师生活动:命题(1)判断中引导学生利用手中的笔和

由(2)给出下列常用命题: 指出它是判断直线与直线垂直的常用方法,它将 直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于 另一条直线所在的平面。

问题①在长方体 ABCD-A1B1C1D1 模型中,棱 BB1 与底面 ABCD 垂直,观察 BB1 与底面 ABCD 内 直线 AB、BC 有怎样的位置关系?由此你认为保证 BB1⊥底面 ABCD 的条件是什么? 问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面?

(1) 分 析实例 —猜想 定理

借助学生最熟悉的长方体 模型和生活中最简单的经验, 感 知判定直线与平面垂直时只需 平面内有限条直线 (两条相交直 线) , 从中体验有限与无限之间 的辩证关系, 从而提出猜想, 为 进一步的探究做准备

(师生活动:引导学生观察思考,师生共同分析长方体侧棱 垂直底面、贺卡能直立于桌面的原因:侧棱或书脊固定在两相 交直线上且与两直线垂直。)

2.直线 与平面 垂直的 判定定 理的探 究
(这个探 究活动是 本节课的 关 键 所 在,分三 步进行: ) (2) 动 手操作 —确认 定理

由上述两个实例,你能猜想出判断一条直线与一 个平面垂直的方法吗? 学生提出猜想 :如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 A.折纸实验: 如图, 让学生拿出准备好的一块 (任 意)三角形的纸片,做一个实验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,再将翻折后的纸片竖起放 置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,进行观察并思 考: 问题③折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能使 折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?
(师生活动:在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不 垂直”两种情况,引导这两类学生进行交流,根据直线与平面 垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,经过讨论 交流,发现当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高,即 AD⊥BC,翻折 后折痕 AD 与桌面垂直。)

通过实验操作,引导学生发 现折痕 AD 与桌面垂直的条件: AD 垂直桌面内两条相交直线。

问题④由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系发生 变化吗?(即 AD⊥CD,AD⊥BD 发生变化吗?)由 此你能得到什么结论?

问题④吸引学生注意力, 为 推出重点做准备。

(师生活动:师生共同分析折痕 AD 是 BC 边上的高时的 实质:AD 是 BC 边上的高时,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥ CD,AD⊥BD。这就是说,当 AD 垂直于桌面内的两条两条相交 直线 CD、BD 时,它就垂直于桌面。)

B.多媒体演示翻折过程。 C.归纳出直线与平面垂直的判定定理:一条直 线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与

B.增设动态演示模拟实 验, 让学生更加清楚看到 “平面 化” 的过程, 在已有数学知识的 基础上加以确认定理

此平面垂直。用符号语言表示为: C.让学生在自己的实践中 感受数学探索的乐趣, 增强学习 数学的兴趣, 在讨论交流中激发 学生的积极性和创造性

(师生活动:在归纳直线与平面垂直的判定定理时,先让 学生以小组为单位交流讨论,派代表叙述结论,不完善的地方 教师引导、补充完整,归纳出线面垂直的判定定理。然后要求 学生试用图形语言与符号语言来表示定理,指出定理体现了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思 想。)

辨析 2:下列命题是否正确,为什么? 如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直, 那么该直线垂直于这个平面。 (3)
(师生活动:教师给出反例的直观图 2,消除学生心中的疑

通过辨析,强化定理中“两 条相交直线”的条件。

质疑反 思—深 化定理

惑,进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条” 、 “相交”缺 一不可!指出定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与 直线垂直”相互转化的数学思想。)
a

b

α

图2

3. 直 线与平 面垂直 判定定 理的初 步应用

尝 试 练习, 巩固 定理

例(1)如图(1)有一根旗杆 AB 高 8m,它的顶端 A 挂有两条长 10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如 果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6m, 那么旗杆就和地 面垂直,为什么?
(师生活动:师生共同分析,教师用多媒体给出规范的证 明过程优化解题步骤)

例 1 通过计算可直接应用 线面垂直定理, 充分说明用数学 问题研究实际问题价值所在, 培 养学生逻辑思维能力和运用数 学语言的能力。

例(2) 求证:与三角形的两条边同时垂直的直线 必与第三条边垂直。
(师生活动:引导学生根据题意画图(如图 2),将其转化 为几何命题:△ABC 在平面α内,直线 a 与平面α相交,且 a ⊥AC,a⊥BC,求证:a⊥AB。请两位同学板演,其余同学在练 习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直判定定理时的 具体步骤,防止缺少条件,特别是“相交”的条件,同时指出:

例 2 感受如何运用直线与 平面垂直的判定定理与定义解 决问题, 明确运用定理的条件和 具体步骤, 培养学生严谨的逻辑 推理

例 3 使学生对线面垂直认 例(3)如图(3),已知 a∥b,a⊥α ,求证: 识由感性上升到理性; 同时, 展 示了平行与垂直之间的转化与 b⊥α 。(课本 P65 中的例 1) 联系, 给出判断线面垂直的一种 (师生活动:此题是课本 P65 中的例 1,有一定难度,教 间接方法, 为今后多角度研究问 师引导学生分析思路,可用判定定理证,也可利用定义证, 题提供思路。
这为证明“线线垂直”提供了一种方法。) 提示辅助线的添法,学生练习本上完成,对照课本 P65 例 1,完善自己的解题步骤,让学生用文字语言叙述:如果两 条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直 线也垂直于这个平面。指出:命题体现了平行关系与垂直 关系的联系,其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判 定方法。)
A

a

b
\

?C

B

D

α

n b m

(1)

(2)

(3)

4.总结 反思— 提高 认识

(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直 的方法? (2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题? (3)本节课涉及到哪些数学思想和方法? (4)本节课你还有哪些问题?
(师生活动:学生发言,互相补充,教师点评完善,以知识结构图归纳 出判断直线与平面垂直的方法(如图)即可用定义,判定定理或例 3 的结 论,说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法,强调“平 面化”是解决立体几何问题的一般思路。 )

通过小结使本节课的知识系 统化, 使学生深刻理解数学思想 方法在解题中的地位和应用, 培 养学生认真总结的学习习惯。

5. 布 置作业 —自主 探究

必做题:课本 P67 练习 1:如图,在三棱锥 V-ABC 中, VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC。 选做题:如图:SA ? 平面 ABC,AB ? BC,过 A 作 SB 的垂线,垂 足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F.求证:AF ? SC.
V
S F E A B

A B

C

C

(1)

(2)

通过训练, 巩固本课所学 知识,感悟其中蕴涵的转化数 学思想,增强学生的应用意 识。必做题是线面垂直判定定 理的应用。选做题有助于培养 学生的发散思维,为学有余力 的学生安排的,这样,使不同 程度的学生都有所获,同时还 为下节课灵活运用线面垂直 判定定理埋下伏笔。

四、教法分析
在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法,学习本课前,学生又通过直观感 知、操作确认的方法,学习了直线、平面平行的判定定理,对空间概念建立有一定基础,因 而,可以采用类比的方法来学习本课。 (1)“引导—探究式”教学方法。在线面垂直定义的建构中,先引导学生观察实例和图片 直观感知概念,再通过动画演示形成概念,然后引导学生对概念进行抽象概括;而在判定定 理的探究过程中, 先借助学生熟悉的长方体模型和生活中简单的经验引导学生对定理进行猜 想, 再引导学生通过动手操作折纸实验和动画演示来确认定理, 最后引导学生对定理进行归 纳总结。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律,注重发展学生的 合情推理能力,同时,加强空间观念的培养,注重知识产生的过程性。 (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。在定义和定理的探究过程中,从具体 图片和实物模型出发引导学生直观感知,再到定义定理的抽象概括。这有助于学生对知识 进行主动建构;有利于突出重点、解决难点;也有利于发挥学生的创造性。

五、学法指导
对于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。 因此课前先安排学生上网查阅 有关“直线与平面垂直”的图片资料,然后在网上师生进行交流,教学中,安排学生以小 组为单位讨论交流,对线面垂直定义和定理进行抽象概括,指导学生动手操作手中的三角 板和笔加深概念的本质理解, 操作折纸实验完成定理的探究。 从中体现出学生活跃的思维、 浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。

六、板书设计
在板书中突出本节重点,将强调的地方如定义中的“任意” ,定理中的“两条” “相交” 几个字用红色粉笔标注,同时给学生留有作题的地方,整个板书充分体现了精讲多练的 教 学方法。 2.3.1 直线与平面垂直的判定(一) 1、 直线与平面 垂直的定义: ┈┈┈┈┈ 2、 直线与平面垂直 的判定定理: ┈┈┈┈┈ 例 1:┈┈┈ 例 2:┈┈┈ 例 3:┈┈┈ 练习:


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