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1.函数与映射概念的理解


函数与映射概念的理解 【知识点理解】 ①映射.映射 f : A ?B 的概念。 对于两个集合 A,B 如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个 元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对 .... 应,这样的对应(包括 A、B 及 f)叫做从集合 A 到集合 B 的映射.记作:f:A→B. f f f f 4 例1 1 1 1 4 4 1 4 A2 A 2 5 B A 2

5B 5B A2 5B 5B 3 6 3 6 3 3 6 6 (1) (2) (3) (4) 在以上的四种对应关系中, (1) (3)不是映射, ( 2) (4)是映射. 对于映射这个概念,应明确以下几点: ①映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集,点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. ③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象,而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和 在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合 B 中的某些元素在集合 A 中没有原象,也就是由象组成的集合 C ? B. ⑤映射允许集合 A 中不同的元素在集合 B 中有相同的象,即映射只能是“多对一”或“一对一” ,不能是“一对 多”. 一 一映射:设 A,B 是两个集合,f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果在这个映射的作用下,对于集合 A 中的不同的元素,在集合 B 中有不同的象,而且 B 中每一元素都有原象,那么这个映射叫做从 上 的一 .A .到 .B . . 一映射. 在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵ B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 总结:取元任意性,成象唯一性。 例 2:判断下面的对应是否为映射 ,是否为一一映射? 1)A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f:a →b = (a-1)2 答:是映射,不是一一映射。 (如右图所示可以很容易可能出。 ) 2)A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f:求平方根 ? 答:不是映射。 3)A=Z,B=N*,对应法则 f:求绝对值? 答:不是映射。 4)A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f:求被 7 除的余数 答:是映射,且是一一映射。 例 3:已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R} ,f 是从A到B的映射 f:x→(x+1,x2) . (1)求 2 在 B 中的对应元素(2)(2,1)在A中的对应元素 解:(1)将 x= 2 代入对应关系,可得其在B中的对应元素为( 2 +1,2) (2)由题意得: x+1=2 x2=1 ∴x=1 即(2,1)在 A 中的对应元素为 1 例 4:设集合 A={a、b},B={c、d、e} (1)可建立从 A 到 B 的映射个数 .(2)可建立从 B 到 A 的映射个数 . 答:9,8(可以试着画图看看) 小结:如果集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,那么从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个。

练习 1.设 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,则正确的是





A.A 中每一元素在 B 中必有象 B.B 中每一元素在 A 中必有原象 C.B 中每一元素在 A 中的原象是唯一的 D.A 中的不同元素的象必不同 2.集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_______,从 B 到 A 的映射个数是__________.

3.设集合 A 和 B 都是自然数集 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 影射到集合 B 中的元素 2 ? n ,则在映射 f
n

下,象 20 的原象是 ( )A.2 B.3 4.如果(x,y)在映射 f 下的象是(x+y,x-y),那么(1,2)在映射下的原象是 A.(3,1) B.(

C.4 ( )

D.5

3 1 ,? ) 2 2

C. ( ?

1 3 , ) 2 2

D.(-1,3)

5.已知点(x,y)在映射 f 下的象是(2x-y,2x+y), 求(1)点(2,3)在映射 f 下的像; (2)点(4,6)在映 射 f 下的原象. 6.设集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中 a,k∈N,映射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 与 A 中元素 x 对应, 求 a 及 k 的值. 1A 2.9. 3.C 4.B 5.答:(1)点(2,3)在映射 f 下的像是(1,7); (2)点(4,6)在映射 f 下的原象是(5/2,1) 6.答: a=2 , k=5 训练(1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合; (2)、若从集合 A 到集合 B 的映射 f 满足 B 中的任何一个元素在 A 中都有原象,则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射,现集合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是: A、 5 B、6 C、8 D、9 (3)点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为点________; (4) a、 b 为实数, 集合 M { ,1}, N ? {a,0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x, 则a ? b= A、1 B、0 C、-1 D、±1 (5)若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个, B 到 A 的映射有 个, A 到 B 的函数有 个 (6)设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件“对任意的 x ? M ,x ? f ( x) 是奇数” , 这样的映射 f 有____个; (7)设 f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是_____.
2

b a

(8) 、已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {?1, 0,1} ,则满足条件 f (3) ? f (1) ? f (2) 的映射 f : A ? B 的个数是( (A)2 (B)4 (C)5 (D)7 ( )

)

(9) 、从集合 A ? {1, 2,3} 到 B ? {3, 4} 的映射 f : A ? B 中满足条件 f (3) ? 3 个数是 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 )

(10) 、已知集合 A ? {1, 2,3} ,在 A ? A 的映射中满足条件 f (3) ? 3 , f (2) ? 1 个数是 (

(11) 、 .A={1,2,3,4,5, } ,B={6,7,8, }从集合 A 到 B 的映射中满足 f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4) ≤f(5)的映射有( )A、27 B、9 C、21 D、12 (12) 、 已知映射 f : A ? B , 其中集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2,3, 4} , 集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象, 且对任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素为

a

2

,则集合 B 的真子集个数是————。

(13) 、设集合 A ? {a, b} , f : A ? A 是映射,且满足条件 f ? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? ,这样的从 A ? A 自身的映射 个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(14) 、已知集合 M ? {x, y, z} , N ? {?1,0,1} ,则满足条件 f ( x) ? f ( y) ? f ( z ) 的映射 f : M ? N 的个数是

(A)1

(B)5

(C)7

(D)10

(15) 、从任何一个正整数 n 出发,若 n 是偶数就除以 2,若 n 是奇数就乘 3 再加 1,如此继续下去…,现在你从正 整数 3 出发,按以上的操作,你最终得到的数不可能是 A,10 B,4 C,2 D ,1 (16) 、已知集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {?2, ?1,0,1, 2} ,则满足条件:对每一个 x ? A, 恒使x ? f ? x ? 是偶数的映 射 f : A ? B 的个数是 (A)4
4 3 2 4

(B)7
3

(C)12
2

(D)非上述结果

(17) 、 由 x ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ?x ? 1? ? b1 ?x ? 1? ? b2 ?x ? 1? ? b3 ?x ? 1? ? b4 定义映射 f :

?a1 , a2 , a3 , a4 ? ? ?b1 , b2 , b3 , b4 ?,则 ?4,3,2,1? 的象是(
A 、 ?1,2,3,4? B、 ?0,3,4,0? C 、 ?? 1,0,2,?2?

) D 、 ?0,?3,?4,?1?

(18) 、 定义运算 ?

x ' ?a x c y? ? x ' ? ? a c ?? x ? 则{ ??? ?? ? , y ' ?b x d y ? ? y ' ? ? b d ?? y ?

, 按照 ?

? x ' ? ? 2 ?1?? x ? 称点 (x,y) 映到点 (x’,y’) ??? ?? ? , ? y ' ? ? p q ?? y ?

的一次变换。把直线 y=kx 上的各点映到这点本身,而把直线 y=mx 上的各点映到这点关于原点的对称点。这时, k= m= p= q= (19)设 M={平面内的点(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos2x+bsin2x},给出 M 到 N 的映射 f:(a,b)→f(x)=acos2x+bsin2x,则点(1, 3)的象 f(x)的最小正周期为 A .π B.2π π C. 2 π D. 4

训练(1)已知函数 y ? f ( x) , x ? ?a, b?,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? [a, b]} ? {( x, y) | x ? 2} 中所含元素的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 或 1 个 (2)若函数 y ? D. 0 或 1 或无数个

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

(3)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” ,那么函数解析式为 2 y=2x +1,值域为{5,19}的“孪生函数”共有 A、10 个 B、9 个 C 、8 个 D、7 个 (4)已知函数 y ? f ( x) ,它的图象与直线的交点的个数是( (A)至少一个 (B)至多一个 (C)一个或两个 ) (D)可能有无数个

(5).已知两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x f(x) 1 2 2 3 3 1 x g(x) x g (f (x) ) A. 3,1,2 ( B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 1 1 1 2 3 2 3 2 3

填写下列 g[ f ( x)] 的表格,其三个数依次为


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