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高中数学全套教案新人教版选修2-2


高二数学上学期教学计划
一、 指导思想
“师者,传道授业解惑也。 ”教育的兴衰维系国家之兴衰,孩子的进步与 徘徊事关家庭的喜怒哀乐!数学这一科有着冰冻三尺非一日之寒地学科特 点,在高考中的决定性作业亦举重非轻,夸张一点说数学是强校之本、升学 之源。鉴于此,我们当举全组之力,充分发挥团队精神,既分工合作,立足 高考,保质保量地完成教育教学任务,在原来良好的基础上

锦上添花。

二、 工作目标
1、全组成员精诚团结、互相关心、互相支持,弘扬一种同志加兄弟的同 仁关系,力争使我们高一数学组成为一个充满活力的优秀集体。 2、不拘形式不拘时间地点的加强交流,互相之间取长补短、与时俱进、 教学相长。 3、在日常工作中,既保持和优化个人特色,又实现资源共享,同类班级 的相关工作做到基本统一。

三、 工作思路
本学期高二数学备课组工作总体思路是:1、认真贯彻落实学校教务处对学 科备课组工作的各项要求;2、强化数学教学研究,提高全组老师的教研水平和 教学能力,开展好备课组的集体备课活动;3、继续钻研新教材,认真领会新课 标对高一数学教学的总体要求。

四、 活动设想
1、 按时完成学校(教导处、教研组)相关工作; 2、 轮流出题,讲求命题质量,分章节搞好集体备课; 3、 每周集体备课一次,每次有一个中心发言人,组织进行教学研讨; 4、 互相听课,一人之长补己之短,完善自我; 5、 认真组织好培优辅差工作以及各类竞赛的组织工作。

第一章 推理与证明
课时安排:一课时 教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的 基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推 广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。 教学难点:用归纳进行推理,做出猜想。 教学过程: 一、课堂引入: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例, 回答几个推理各有什么特点?都是由“前提”和“结论”两部分组 成,但是推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解: 1、 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是 180? ,凸四边形的内角和是 360? ,凸五边形的内角和是 540? 由此我们猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180? 3、 课题:合情推理(一)——归纳推理 课型:新授课

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ?1 a a?m ( a, b, m 均为正实数) ? , ? , ? ,? ,由此我们猜想: ? 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b?m

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 实验,观察 三、例题讲解: 例 1 已知数列 ? an ? 的通项公式 an ? 概括,推广 猜测一般性结论

1 (n ? N ? ) , f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) 的值。 【学生讨论:(学生讨论结果预测如下) 】 (1) f (1) ? 1 ? a1 ? 1 ?

1 3 ? 4 4

1 3 8 2 4 f (2) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? f (1) ? (1 ? ) ? ? ? ? ) 9 4 9 3 6

f (3) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 ) ? f (2) ? (1 ?
由此猜想, f (n) ?

1 2 15 5 )? ? ? 16 3 16 8

n?2 2(n ? 1)

学生讨论:1)哥德巴赫猜想:任何大于 2 的偶数可以表示为两个素数的之和。 2)三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习:

1 1 1 3 5 ? ? ??? ? n ? N ? , 经 计 算 : f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , ( ) 2 3 n 2 2 7 f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ? 2 时,有__________________________. 2 3 3 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2、已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ? , sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 。 2 2
1 、 已 知 f (n ) ? 1 ? 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。 3、观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1
? ? ? ? ? ?

(2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1 。
? ? ? ? ? ?

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。 注:归纳推理的几个特点: 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、教学小结: 1.归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表 性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 2.归纳推理的一般步骤:1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) 。 六、作业:

教后反思:

课题:类比推理 ●教学目标: (一)知识与能力: 通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对问 题的发现中去。 (二)过程与方法: 类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似 性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

(三)情感态度与价值观: 1.正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现 事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 2.认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数 学意识。 ●教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点:用类比进行推理,做出猜想。 ●教具准备:与教材内容相关的资料。 ●课时安排:1 课时 ●教学过程: 一.问题情境 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的;茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗? 二.数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc; 2 2 (3) a=b?a =b ;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦

球的性质
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于 截面圆

与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离 的两弦不等,距圆心较近的弦较长 不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较 大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂 直于切线的直线必经过切点 直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们 在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的 pa pb pc 距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论:

ha
试通过类比,写出在空间中的类似结论.

?

hb

?

hc

?1

巩固提高 1.(2001 年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的 对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形 ∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

3 个面两两垂直的四面体 ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜面” S

3. (2004,北京)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同 一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。

已知数列

是等和数列,且

,公和为 5,那么

的值为______________,这个数列的前 n 项和 ________________ 课堂小结

的计算公式为

教后反思:

1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似 性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 2. 类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)

不等式证明一(比较法)
比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为:作差法和作商法 一、作差法:若 a,b∈R,则: a-b>0 ? a>b;a-b=0 ? a=b;a-b<0 ? a<b 它的三个步骤:作差——变形——判断符号(与零的大小)——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时, 通过作差把定量比较左右的大小转化为 定性判定左—右的符号,从而降低了问题的难度。作差是化归,变形是手段,变形的过程是 因式分解(和差化积)或配方,把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和,进而 判定其符号,得出结论. 例 1、求证:x2 + 3 > 3x 证:∵(x2 + 3) ? 3x = x ? 3x ? ( ) ? ( ) ? 3 ? ( x ? ) ?
2 2 2 2

3 2

3 2

例 2:已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证: 证:

a?m a ? b?m b

3 2

3 ? 0 , ∴x2 + 3 > 3x 4

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? ,∵a,b,m 都是正数,并且 a<b, b?m b b(b ? m) b(b ? m) m(b ? a) ?0 b(b ? m)
即:

∴b + m > 0 , b ? a > 0∴

a?m a ? b?m b

变式:若 a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断?

例 3:已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证:(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 ) = a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0,又∵a ? b,∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0,即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 例 4:甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半 时间以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n, 问:甲乙两人谁先到达指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为 S,甲乙两人走完全程所需时间分别是 t1, t2, 则:

t1 t m ? 1 n ? S, 2 2

S S ? ? t2 2m 2n

可得: t1 ?

2S S ( m ? n) , t2 ? m?n 2mn

∴ t1 ? t 2 ?

2S S (m ? n) S[4mn ? (m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? ? ?? m?n 2mn 2(m ? n)mn 2mn(m ? n)
即:t1 < t2

∵S, m, n 都是正数,且 m ? n,∴t1 ? t2 < 0 从而:甲先到到达指定地点。

例 5:是一道利用不等式解决实际问题的例题.我们先用类比列方程解应用题的步骤,然后 参考列方程解应用题的步骤,分析题意,设未知数,找出数量关系(函数关系、相等关系或 不等关系),列出函数关系、等式或不等式,求解,作答等.整个解答过程体现了比较法解决 不等关系等实际问题中发挥着重要的作用. 变式:若 m = n,结果会怎样? 二、作商法:若 a>0,b>0,则:

a a a >1 ? a>b; =1 ? a=b; <1 ? a<b b b b

它的三个步骤:作商——变形——判断与 1 的大小——结论. 作商法是当不等式两边为正的乘积形式时,通过作商把其转化为证明左/右与 1 的大小。 例 5、设 a, b ? R ,求证: a b ? (ab)
+

a

b

a ?b 2

? abb a

证:先证不等式左≥中:由于要比较的两式呈幂的结构,故结合函数的单调性,故可采 用作商比较法证明. 作商:

a abb (ab)
a ?b 2

?a

a ?b 2

b

b?a 2

a ?( ) b

a ?b 2

,由指数函数的性质

a 当 a = b 时, ( ) b
当 a > b > 0 时,

a ?b 2

?1
a ?b a ? 0, ( ) 2 b
a ?b 2

a ? 1, b

?1
a ?b 2

当 b > a > 0 时, 0 ?
a ?b 2

a ? 1, b

a?b a ? 0, ( ) 2 b

?1

即 a b ? (ab)
a b

(中≥右请自己证明,题可改为 a, b ? R ,求证:
+

1 a?b ? (a b ? b a ) a ?b ) 2

作业补充题: 1.已知 a、b ? 0 ,求证:
4 2

b a 1 1 ? ? ? a 2 b2 a b
3

2 求证: 1 ? 2 x ? x ? 2 x
?

3.已知 a, b ? R , m, n ? N , m ? n, 求证: a ? b ? a
*

m

m

m? n

? bn ? a n ? bm?n

4.已知 c>a>b>0,求证

a b . ? c?a c?b

5.已知 a、b、c、d 都是正数,且 bc>ad,求证

a a?c c ? ? . b b?d d

不等式证明二(综合法)
一、 综合法: 从已知条件出发,利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性 质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。 (也叫顺推证法或由因导果法) 例 1、已知 a, b, c 是不全相等的正数, 求证:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 分析:不等式左边含有“a +b ”的形式,我们可以运用基本不等式:a +b ≥2ab;还可 以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a b,b c,c a,ab ,bc ,ca 的“和” ,右边有 三正数 a,b,c 的“积” ,我们可以运用重要不等式:a +b +c ≥3abc. 证:∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理:b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc 当且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号,而 a, b, c 是不全相等的正数 ∴三式不同时取等号,三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 本例证 法可称为三合一法,当要证的不等式关于字母具有对称形式时,我们常可把其看成是由若干 个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得, 我们只要先把减了元的较简单的不等 式证出,即可完成原不等式的证明。 例 2、a , b, c?R, 求证:1? (a ? b ? c)(

1 1 1 ? ? )?9 a b c 1 1 1 9 2? (a ? b ? c)( ? ? )? a?b b?c c?a 2 a b c 3 3? ? ? ? b?c c?a a?b 2
1 1 1 1 ? ? ? 33 , 两式相乘即得。 a b c abc

证:1?、法一: a ? b ? c ? 33 abc , 法二:左边 ?

a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b ? ? ? 3?( ? ) ?( ? ) ? ( ? ) a b c a b a c b c
≥ 3+2+2+2=9

2?、∵

a?b b?c c?a 33 ? ? ? (a ? b)(b ? c)(c ? a) 2 2 2 2
1 1 1 1 ? ? ? 33 a?b b?c c?a (a ? b)(b ? c)(c ? a)
两式相乘即得

3?、由上题: (a ? b ? c)(

1 1 1 9 ? ? )? a?b b?c c?a 2 c a b 9 a b c 3 ∴1 ? ?1? ?1? ? ,即: ? ? ? a?b b?c c?a 2 b?c c?a a?b 2
2 2 2 2

例 3、已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列,求证: a ? b ? c ? (a ? b ? c) 证明:左-右=2(ab+bc-ac) ,∵a,b,c 成等比数列,∴ b ? ac
2

又∵a,b,c 都是正数,所以 0 ? b ?
2

ac ≤

a?c ? a ? c ,∴ a ? c ? b 2
2 2 2 2

∴ 2(ab ? bc ? ac) ? 2(ab ? bc ? b ) ? 2b(a ? c ? b) ? 0 ∴ a ? b ? c ? (a ? b ? c)

说明:此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不 等式的特点
王新敞
奎屯 新疆

例 4、制造一个容积为 V(定值)的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情况,求: 怎样选取底半径与高的比,使用料最省?

分析:根据 1 题中不等式左右的结构特征,考虑运用“基本不等式”来证明.对于 2 题,抓 住容积为定值,建立面积目标函数,求解最值,是本题的思路. 解:设容器底半径为 r,高为 h,则 V=π r h,h= (1)当容器有盖时,所需用料的面积: S=2π r +2π rh=2π r +
2 2 2

V . ?r 2

2V V 2 V 2 V V ? 33 2?V 2 =2π r + + ≥3 3 2?r ? ? r r r r r

当且仅当 2π r =

2

V V V r 1 ,即 r= 3 ,h= 2 =2r,取“=”号.故 ? 时用料最省. 2? ?r h 2 r
2 2

(2)当容器无盖时,所需用料面积:S=π r +2π rh=π r +

2V V 2 V 2 3 =π r + + ≥3 ?V r r r

当且仅当π r = 作业补充题:

2

V V V ,r= 3 ,h= 2 =r.即 r=h 时用料最省. ? ?r r

1、设 a, b, c ? R, 1?求证: a ? b ?
2 2

2 ( a ? b) 2
2 2 2 2

2?求证: a ? b ? b ? c ? c ? a ?
2 2

2 (a ? b ? c)

3?若 a + b = 1, 求证: a ?

1 1 ? b? ?2 2 2

2、设 a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). 3、设 a,b,c 为一个不等边三角形的三边,求证:abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). 4、已知 a, b?R+,求证: (

a ? b 3 a3 ? b3 ) ? 2 2

5、设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: (a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2

不等式证明三(分析法)
当用综合法不易发现解题途径时,我们可以从求证的不等式出发,逐步分析寻求使 这个不等式成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得 出要证的不等式成立,这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析法证明时,

要注意表述的规范性,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合使用,以分析法 寻求证明的思路,而用综合法进行表述,完成证明过程。 例 1、求证: 3 ? 7 ? 2 5 证:分析法: ∵ 3 ? 7 ? 0, 综合表述:

2 5 ?0
2 2

∵21 < 25 ∴ 21 ? 5 ∴ 2 21 ? 10 ∴ 10 ? 2 21 ? 20 ∴ ( 3 ? 7 ) ? (2 5 )
2 2

只需证明: ( 3 ? 7 ) ? (2 5 ) 展开得: 即: ∴

10 ? 2 21 ? 20

2 21 ? 10

21 ? 5

即: 21 < 25(显然成立) ∴ 3? 7 ?2 5
1

∴ 3? 7 ?2 5

1

例 2、设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 证一: (分析法)所证不等式即: ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 3 3 6 6 2 2 2 2 6 6 3 2

即: x ? y ? 3x y ( x ? y ) ? x ? y ? 2 x y
3

3

即: 3x y ( x ? y ) ? 2 x y
2 2 2 2 3

3

只需证: x ? y ?
2 2

2 xy 3 2 2 2 ∵ x ? y ? 2 xy ? xy 成立 3
1 1

∴ (x 2 ? y 2 ) 2 ? (x3 ? y3 ) 3 证二: (综合法)∵ ( x ? y ) ? x ? y ? 3x y ( x ? y ) ? x ? y ? 6 x y
2 2 3 6 6 2 2 2 2 6 6 3 3

? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2
∵x > 0,y > 0, ∴ ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 3 1 2 1 3 3

例 3、已知:a + b + c = 0,求证:ab + bc + ca ≤ 0 证一: (综合法)∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0

展开得: ab ? bc ? ca ? ? ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二: (分析法)要证 ab + bc + ca ≤ 0

a2 ? b2 ? c2 2

∵a + b + c = 0

故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? 0
2 2 2

即: [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0 ∴原式成立 证三:∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b

1 2

(显然)

∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)2 = ?a2 ?b2 ?ab = ? [( a ? ) ?
2

b 2

3b 2 ]?0 4

a 2 ? b2 例 4、已知 a ? b ? 0, ab ? 1 ,求证: ? 2 2 ,并求等号成立的条件。 a ?b
分析:不等式右边是常数,能否用平均值定理?应当可以。 (找条件一正、二定、三相等) 如何把左边变形为和的形式?多项式的除法或配凑! 左=

a 2 ? b 2 (a ? b)2 ? 2ab 2ab ? ( a ? b) ? = (看到了希望! ) a ?b a ?b a ?b
=a ?b?

2 a ?b

(已知 ab ? 1 )

?2 2

1 ? ? a ? 2 ( 6 ? 2) ?( a ? b) ? 2 2 ? 当a ?b ? 时,由 ? 解出当 ? 时等号成立。 a ?b ?ab ? 1 ?b ? 1 ( 6 ? 2) ? ? 2
2

例 5、a>0,b>0,且 a +b =1,求证: a ?

1 1 ? b ? ≤2. 2 2

证明:

a?

1 1 1 1 1 1 ? b ? ≤2 ? (a + )+(b + )+2? a ? ? b ? ≤4 2 2 2 2 2 2

? a?

1 1 ? b ? ≤1 2 2

? ab +

a?b 1 3 1 ? ≤1 ? ab + ≤1 ? ab≤ 2 4 4 4
a? 1 1 ? b ? ≤2. 2 2

∵a>0,b>0,且 a +b =1,∴ab≤( 作业补充题 1.求证: 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 .

a?b 2 1 ) = 成立,故 2 4

2、 若 a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c >ab ; (2)c - c ? ab <a <c + c ? ab
2

2

2

王新敞
奎屯

新疆

3、求证:a,b,c∈R+,求证: 2(

a?b a?b?c 3 ? ab ) ? 3( ? abc) 2 3
2 2 2

4、设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c ? a ? b ? 4ab ? 4 3S 5、已知 0 < ? < ?,证明: 2 sin 2? ? cot

? 2

6、求证:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截 面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

不等式证明四(反证法与放缩法)
一、反证法: 有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明,我们可以间接的方法――反证法去证明, 即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。 例1、 若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 y x

反设

1? x 1? y ≥2, ≥2 y x

∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾,∴原式成立

例 2、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证: (1)设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

(2)若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

证:设(1 ? a)b >

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 64
又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?


2

1 ? (1 ? a ) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a ) a ? ? ? ?4 2 ? ?

1 , 4

(1 ? c)c ?

1 4
与①矛盾.

1 64 1 ∴(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 4
以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 二、放缩法:

在证明不等式的时候,在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性,把 要证明的不等式加强为一个易证的不等式,即欲证 A>B,我们可以适当的找一个中间量 C 作为媒介,证明 A>C 且 C>B,从而得到 A>B.我们把这种把 B 放大到 C(或把 A 缩小到 C)的方 法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技 巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成 功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正 数)使不等式简化易证。 例 4、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ?

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d 证:记 m = ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
∵a, b, c, d?R+ ∴m ?

a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
∴1 < m < 2 即原式成立

例 5、当 n > 2 时,求证: log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ log n (n ? 1) ? 0,

log n (n ? 1) ? 0
2 2

? log (n 2 ? 1) ? ? log (n ? 1) ? log n (n ? 1) ? log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? ? n ?? n ? ? 2 2 ? ? ? ?

? log n n 2 ? ?? ? ? 1,∴ n > 2 时, log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1 2 ? ? 1 1 1 1 例 6、求证: 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 1 2 3 n
证:∵

2

1 1 1 1 ? ? ? 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1+ + + +? ? 2 1 2 3 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n-1) ? n ∴ 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? )( ? ) ? ? ( ? ? ( ? ) 2? ? 2 ? 2 2 3 n ?1 n n
思考:若把不等式的右边改成

7 61 或 ,你可以证明吗? 4 36
王新敞
奎屯 新疆

例 7、 求证:

b |a?b| |a| ? ? 1? | a ? b | 1? | a | 1 ? b

证:∵|a+b|≤|a|+|b| ? |a|+|b|-|a+b|≥0,

? ?

a?b 1? a ? b a?b 1? a ? b a?b

?

a?b ?(a ? b ? a?b) 1? a ? b ? ( a ? b ? a ? b ) a 1? a ? b a 1? a ? ? b 1? b b 1? a ? b . ?

(课本P 22 “溶液”例结论) a ? (把分母减小,使分式放大) . 1? b b

?

1? a

即:

1? a ? b

?

作业补充题 1、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1
2 2 2、设 f ( x) ? ax ? bx ? c, 其中a、b、c ? Z,并且 a ? 1. 试证明: b ? 4ac ? 0

3、设 f ( x) ? x ? px ? q, 求证: f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于 4、设 x > 0, y > 0, a ?

2

1 2

x? y x y ? , b? ,求证:a < b 1? x ? y 1? x 1? y

5、证明:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 (n ? R ? , n ? 2) n n ?1 n ? 2 n 1 1 4 ? ? ?0 a ?b b?c c?a

6、 证明:lg9?lg11 < 1 7、 证明:若 a > b > c, 则
w

教后反思:

.w.w.k.s.5.u.c.o.m

课题:数学归纳法及其应用举例 【教学目标】
1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质. 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤; “数学归纳法” 会用 证明简单的与自然数有关的命题. 3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学 生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和 课堂效率. 5. 通过对例题的探究, 体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热 情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】 第一阶段:输入阶段——创造学习情境,提供学习内容 1. 创设问题情境,启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例:
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子 得出“四就是四横、五就是五横??”的结论,用的就是“归纳法” ,不过,这个归纳推出 的结论显然是错误的.

(2) 完全归纳法对比引例:
有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看看每 一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了; 二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁的,几个一仁、 两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪明. 在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的 历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.

2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识
(从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识,同时 让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳. )

(1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式. (2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、 外部及一边上三种情况.

3. 借助数学史料, 促使学生思辨
(在生活引例与学过的数学知识的基础上, 再引导学生看数学史料, 能够让学生多方位 多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完 全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可能如此.那么,有没有更好 的归纳法呢?)

问题 1 已知 a n = (n 2 ? 5n ? 5) 2 (n∈N) ,
(1)分别求 a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 . (2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗? (培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力. 概括能力是思维能力的核心. 鲁宾斯坦指 出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括” ,这里知识、技能、思维方法、 数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程. )

问题 2 费马(Fermat)是 17 世纪法国著名的数学家,他曾认为,当 n∈N 时,2 2 ? 1
n

一定都是质数,这是他对 n=0,1,2,3,4 作了验证后得到的.后来,18 世纪伟大的瑞士 科学家欧拉(Euler)却证明了 2
25

? 1 =4 294 967 297=6 700 417?641,从而否定了费

马的推测.没想到当 n=5 这一结论便不成立.

问题 3 f (n) ? n 2 ? n ? 41 , 当 n∈N 时, f (n) 是否都为质数?
验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)= 71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,?,f(39) =1 601.但是 f(40)=1 681= 41 ,是合数.
2

第二阶段:新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用,搭建新知结构 4. 搜索生活实例,激发学习兴趣
(在第一阶段的基础上, 由生活实例出发, 与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程. 孔 子说: “知之者不如好之者,好之者不如乐之者. ”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良 好的情感体验. )

实例:播放多米诺骨牌录像 关键: 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于 (1)
是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.

搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等. 5. 类比数学问题, 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 a n ? a1 ? (n ? 1)d :

(1) 当 n=1 时等式成立; (2) 假设当 n=k 时等式成立, 即 a k ? a1 ? (k ? 1)d , 则

ak ?1 ? ak ? d = a1 ? [( k ? 1) ? 1]d , 即 n=k+1 时等式也成立. 于是, 我们可以下结论:
等差数列的通项公式 a n ? a1 ? (n ? 1)d 对任何 n∈ N 都成立.
*

(布鲁纳的发现学习理论认为, “有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通 过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习. )

6. 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下: (1) 证明当 n 取第一个值 n 0 时结论正确; (2) 假设当 n=k (k∈ N ,k≥ n 0 ) 时结论正确, 证明当 n=k+1 时结论也正确. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都正确. 这种证明方法叫做数学归纳法.
*

第三阶段:操作阶段——巩固认知结构,充实认知过程 7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识
(本例要求学生先猜想后证明, 既能巩固归纳法和数学归纳法, 也能教给学生做数学的 方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力. )

例题 在数列{ a n }中, a1 =1, a n ?1 ?
再推测通项 a n 的公式, 最后证明你的结论.

an * (n∈ N ), 先计算 a 2 , a 3 , a 4 的值, 1 ? an

8. 基础反馈练习, 巩固方法应用
(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答, 因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第 3 题恰好是等比数列通项公式的证明, 与前者是一个对比与补充. 通过这两个练习能看到学生 对数学归纳法证题步骤的掌握情况. ) (1)用数学归纳法证明:1+3+5+?+(2n-1)= n . (2)首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列的通项公式是 a n ? a1 q
n ?1

2



9. 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法, 它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两 种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学 归纳法属于完全归纳法; (3) 数学归纳法作为一种证明方法, 其基本思想是递推(递归)思想, 使用要点可概括为:

两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉; (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、 辩证唯物主义思想.

10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
在数学归纳法证明的第二步中,证明 n=k+1 时命题成立, 必须要用到 n=k 时命题 成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考: 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 1 (n∈ N )时, 其中第二步采
*

用下面的证法: 设 n=k 时等式成立, 即 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ? 1 , 则当 n=k+1 时,

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ?

1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 1 . 1? 2

你认为上面的证明正确吗?为什么?

教后反思:
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法.它的操作 步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输, 技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归 纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使 学生可以看到数学归纳法产生的背景, 从一开始就注意它的功能, 为使用它打下良好的基础, 而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充, 也是引导学生发展创新能力的良机. 2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加 强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导 和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列问题,让 学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中,引导学生用 已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展. 3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归纳 法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题成立时必须要用到 n=k 时命 题成立这个条件. 这些内容都将放在下一课时完成, 这种理解不仅使我们能够正确认识数学 归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.

第二章 变化率与导数 课题平均变化率
一、教学目标
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过 程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、教学重点、难点

重点:平均变化率的实际意义和数学意义 难点:平均变化率的实际意义和数学意义

三、教学过程
一、问题情境 1、情境:现有南京市某年 3 月和 4 月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3 月 18 日 3.5℃ 4 月 18 日 18.6℃ 4 月 20 日 33.4℃

观察:3 月 18 日到 4 月 18 日与 4 月 18 日到 4 月 20 日的温度变化,用曲线图表示为: (理解图中 A、B、C 点的坐标的含义)

T (℃) 30 20 10

C (34, 33.4)

B (32, 18.6)

A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)

2 0 2

问题 1: “气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面) 问题 2:如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度? 二、学生活动 1、曲线上 BC 之间一段几乎成了“直线” ,由此联想如何量化直线的倾斜程度。 2、由点 B 上升到 C 点,必须考察 yC—yB 的大小,但仅仅注意 yC—yB 的大小能否精确量化 BC 段陡峭程度,为什么? 3、在考察 yC—yB 的同时必须考察 xC—xB,函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种 改变必定相对于另一个量的改变。 三、建构数学 1.通过比较气温在区间[1,32]上的变化率 0.5 与气温[32,34]上的变化率 7.4,感知曲线 陡峭程度的量化。 2.一般地,给出函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

3.回到气温曲线图中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一 段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的” ,但应注意当 x2—x1 很小时,这种量化便有“粗糙” 逼近“精确” 。 四、数学运用 例 1、 在经营某商品中,甲挣到 10 万元,乙挣到 2 万元,如何比较和评价甲,乙两人的经 营成果? 变:在经营某商品中,甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月时间挣到 2 万元,如何 比较和评价甲,乙两人的经营成果?

小结:仅考虑一个变量的变化是不形的。 例 2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s 后容器 甲中水的体积 V (t ) ? 5 ? 2
?0.1t

(单位: cm ) ,

3

计算第一个 10s 内 V 的平均变化率。

注:

V(10) ? V(0) 10 ? 0
2

例 3、已知函数 f ( x) ? x ,分别计算 f ( x) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]。 五、课堂练习 1、某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11 8.6 6.5

3.5 3

6

9

12

T(月)

2、已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=—2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f(x)及 g(x) 的平均变化率。 (发现:y=kx+b 在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?) 六、回顾反思 1、平均变化率 一般的,函数 f ( x) 在区间[x1,x2]上的平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”. 七、作业

教后反思:

课题:瞬时变化率—导数
教学目标: (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景,培养学生解决实际问题的能力,进一步掌握在一点处

的导数的定义及其几何意义,培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率; 2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数 f(x)在区间[xA,xB]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢? 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出,随着点 P 沿曲线向点 Q 运动,随着点 P 无限逼近点 Q 时,则割线的斜率就会无限逼近曲线在点 Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用 Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点 Q 处的变化趋势 二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设 P(x1,f(x1)),Q(x0,f(x0)),则割线 PQ 的斜率为 k PQ ?

f ( x1 ) ? f ( x0 ) , x1 ? x0

设 x1-x0=△x,则 x1 =△x+x0, ∴ k PQ ?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

当点 P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时, 割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率, 即 当△x 无限趋近于 0 时, k PQ ?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近点 Q 处切线斜率。 ?x

2、曲线上任一点(x0,f(x0))切线斜率的求法:

k?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,当△x 无限趋近于 0 时,k 值即为(x0,f(x0))处切线的斜率。 ?x

3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度: 物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率:

s(t 0 ? ?t ) ? s(t 0 ) ?t

(3)瞬时速度:当无限趋近于 0 时, t=t0 时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤:

s(t 0 ? ?t ) ? s(t 0 ) 无限趋近于一个常数,这个常数称为 ?t

1.先求时间改变量 ?t 和位置改变量 ?s ? s(t 0 ? ?t ) ? s(t 0 ) 2.再求平均速度 v ?

?s ?t

3.后求瞬时速度:当 ?t 无限趋近于 0,

?s 无限趋近于常数 v 为瞬时速度 ?t

(4)速度的平均变化率:

v(t 0 ? ?t ) ? v(t 0 ) ?t

(5)瞬时加速度:当 ?t 无限趋近于 0 时,

v(t 0 ? ?t ) ? v(t 0 ) 无限趋近于一个常数,这个常数 ?t

称为 t=t0 时的瞬时加速度 注:瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用 例 1、已知 f(x)=x2,求曲线在 x=2 处的切线的斜率。 变式:1.求 f ( x) ?

1 过点(1,1)的切线方程 x2
3

2.曲线 y=x3 在点 P 处切线斜率为 k,当 k=3 时,P 点的坐标为_________ 3.已知曲线 f ( x ) ?

x 上的一点 P(0,0)的切线斜率是否存在?

例 2.一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 ?s 为( ) ?t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 例 3.自由落体运动的位移 s(m)与时间 t(s)的关系为 s= (1)求 t=t0s 时的瞬时速度 (2)求 t=3s 时的瞬时速度

1 2 gt 2
(3)求 t=3s 时的瞬时加速度

教后反思:
求瞬时速度, 也就转化为求极限, 瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限 来定义的,只要知道了物体的运动方程,代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来 解决物理方面的问题,是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科,比如物理、化 学等方面问题的一种工具, 我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些 实际背景

课题:导数的概念 一. 教学目标
1、 知识与技能: 通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的 实际背景,知道瞬时变化率就是导数。 2、 过程与方法: ① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法 3、 情感、态度与价值观: 通过运动的观点体会导数的内涵, 使学生掌握导数的概念不再困难, 从而激发学生学习 数学的兴趣.

二、 重点、难点 ? 重点:导数概念的形成,导数内涵的理解 ? 难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点 四、 教学设想(具体如下表)

教 学 环 节

教学内容

师生互动

设计思路

创 设 情 景 、 引 入 新 课

首先回顾上节课留下的 思考题: 幻灯片 在学生相互讨论,交流 ? 回顾上节课留下的思考题: 结果的基础上,提出 : 在高台跳水运动中,运动员相对水面的高 大家得到运动员在这段 度h (单位: 与起跳后的时间 t m) (单位: 时间内的平均速度为 2+6.5t+ “0” ,但我们知道运动 s)存在函数关系 h(t)=-4.9t 员在这段时间内并没有 65 10.计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里 “静止” 为什么会产生 。 49 这 样 的 情 况 的平均速度,并思考下面的问题: 呢? (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗?

引起学生的好奇,意识到平 均速度只能粗略地描述物 体在某段时间内的运动状 态,为了能更精确地刻画物 体运动,我们有必要研究某 个时刻的速度即瞬时速度。 使学生带着问题走进课堂, 激发学生求知欲

根据学生的认知水平,概念的形成分了两 个层次: ? 结合跳水问题, 明确瞬时速度的定义 问题一:请大家思考如何求运动员的瞬时 速度,如 t=2 时刻的瞬时速度?

初 步

提出问题一,组织学生 讨论,引导他们自然地 想到选取一个具体时刻 如 t=2, 研究它附近的平 均速度变化情况来寻找 到问题的思路,使抽象 问题具体化

理解导数的内涵是本节课 的教学重难点,通过层层设 疑,把学生推向问题的中 心,让学生动手操作,直观 感受来突出重点、突破难点

探 索 、 展 示 内 涵

问题二:请大家继续思考,当Δ t 取不同 学生对概念的认知需要 h(2 ? ?t ) ? h(2) 借助大量的直观数据, 值时,尝试计算 v ? 的 所以我让学生利用计算 ?t 值? 器,分组完成问题二, Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ………. …. Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……. … 一方面分组讨论,上台 板演,展示计算结果, 同时口答:在 t=2 时刻, Δ t 趋于 0 时,平均速 度趋于一个确定的值 -13.1,即瞬时速度,第 一次体会逼近思想;另 一方面借助动画多渠道 地引导学生观察、 分析、 比较、归纳,第二次体 会逼近思想,为了表述 方便,数学中用简洁的 符 号 来 表 示 , 即
?t ?0

帮助学生体会从平均速度 出发, “以已知探求未知” 的数学思想方法, 培养学生 的动手操作能力

v

v

问题三:当Δ t 趋于 0 时,平均速度有怎 样的变化趋势? Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001

v
-12.6 1 -13.0 51 -13.0 951 -130 0995 1 -13.0 9995 1 ….

v
-13.5 9 -13.1 49 -13.1 049 -13.1 0049 -13.1 0004 9 …

数形结合,扫清了学生的思 维障碍,更好地突破了教学 的重难点,体验数学的简约 美

lim

-0.00001

0.0000 1 …….

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t

……….

问题四: 运动员在某个时刻 t0 的瞬时速度 如何表示呢?

引导学生继续思考:运 动 员 在 某 个 时 刻 t0 的 瞬时速度如何表示? 学 生意识到将 t0 代替 2, 可
?t ?0

与旧教材相比,这里不提及 极限概念,而是通过形象生 动的逼近思想来定义 t0 时 刻的瞬时速度,更符合学生 的认知规律,提高了他们的 思维能力,体现了特殊到一 般的思维方法









lim

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) ?t
积极的师生互动能帮助学 生看到知识点之间的联系, 有助于知识的重组和迁移, 寻找不同实际背景下的数 学共性,即对于不同实际问 题,瞬时变化率富于不同的 实际意义

?

借助其它实例,抽象导数的概念

问题五: 气球在体积 v0 时的瞬时膨胀率如 何表示呢?

类比之前学习的瞬时速 度问题,引导学生得到 瞬时膨胀率的表示

r (v0 ? ?v) ? r (v0 ) ?v ?0 ?v lim

问题六:如果将这两个变化率问题中的函 数 用 f ( x) 来 表 示 , 那 么 函 数 f ( x) 在

在前面两个问题的铺垫 下,进一步提出,我们这

x ? x 0 处的瞬时变化率如何呢?

引导学生舍弃具体问题的 实际意义,抽象得到导数定 义,由浅入深、 由易到难、 由 里研究的函数 f ( x) 在 特殊到一般,帮助学生完成 了思维的飞跃;同时提及导 x ? x0 处的瞬时变化 数产生的时代背景,让学生 率 感受数学文化的熏陶,感受 f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?f 数学来源于生活,又服务于 lim 0 ? lim ?x ?0 ?x?0 ?x 生活。 ?x 即 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处的导数,记作

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
x ? x0

(也可记为 y?

)

例 1:将原油精炼为汽油、柴油、塑料等 不同产品,需要对原油进行冷却和加热。 如果在第 x h 时候,原油温度(单位: c ) 为 f ( x) ? x ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8)
2

?

步步设问,引导学生深 入探究导数内涵

(1)计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 (2)计算第 3h 和第 5h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 步骤: ①启发学生根据导数定义,再分别求出

发展学生的应用意识,是高 中数学课程标准所倡导的 重要理念之一。在教学中以 具体问题为载体,加深学生 对导数内涵的理解,体验数 学在实际生活中的应用

循 序 渐 进 、 延 伸 拓 展

f ?(2) 和 f ?(6)
②既然我们得到了第 2h 和第 6h 的原油温 度的瞬时变化率分别为-3 与 5,大家能说 明它的含义吗? ③大家是否能用同样方法来解决问题 二? ④师生共同归纳得到,导数即瞬时变化 率,可反映物体变化的快慢 变式练习:已知一个物体运动的位移(m) 2 与时间 t(s)满足关系 S(t)=-2t +5t (1)求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度 学生独立完成,上台板 演,第三次体会逼近思 (2)求物体在 t 时刻的瞬时速度 想 (3)求物体 t 时刻运动的加速度,并判 断物体作什么运动?

目的是让学生学会用数学 的眼光去看待物理模型,建 立各学科之间的联系,更深 刻地把握事物变化的规律

归 纳 总 结 、 内 化 知 识

1、瞬时速度的概念 引导学生进行讨论,相 2、导数的概念 互补充后进行回答,老 师评析,并用幻灯片给 3、思想方法: “以已知探求未知” 、逼近、 出 类比、从特殊到一般

让学生自己小结,不仅仅总 结知识更重要地是总结数 学思想方法。这是一个重组 知识的过程,是一个多维整 合的过程,是一个高层次的 自我认识过程,这样可帮助 学生自行构建知识体系,理 清知识脉络,养成良好的学 习习惯

作 业 安 排 、 板 书 设 计

(必做)第 10 页习题 A 组第 2、3、4 题 作业是学生信息的反馈,能在作业中发现和弥 补教学中的不足,同时注重个体差异,因材施 教

(选做) :思考第 11 页习题 B 组第 1 题

附后

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

五、 学法与教法 ? 学法与教学用具 学法:
(1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。 (如题 2 的处理) (2)自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动。 (如题 3 的处理) (3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。 (如例题的处理)

教后反思:
?

教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出①动——师生互动、共同
探索。②导——教师指导、循序渐进 (1) (2) (3) (4) 新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲 理解导数的内涵——数形结合, 动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义 例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识 变式练习——深化对导数内涵的理解,巩固新知

课题: 导数的几何意义 教学目的:
1. 了解平均变化率与割线之间的关系 2. 理解曲线的切线的概率 3. 通过函数的图像理解导数的几何意义

教学重点
函数切线的概念,切线的斜率,导数的几何意义

教学难点
理解导数的几何意义

教学过程 探究曲线的切线及切线的斜率 当点pn ( xn,f ( xn ))( n ? 1, 3,?)沿着曲线f ( x)趋近于点P( x0,f ( x0 ))时割线PPn变化趋势 2,4 是什么? 割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率无限接近 f ( xn ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? lim ? lim ? f ' ( x) ?x ?0 ?x ?0 xn ? x0 ?x 注意: ( )设切线的倾斜角为?,那么当x ? 0时, 1 割线PPn的斜率为曲线在点P处的切线的 斜率.

(2)求曲线上某点的切线的斜率可以求该 点的导数. (3)切线的斜率 — 函数在该点的导数 .
练习

1. 函数y ? 2 x 3 ? x在区间[1, 上的平均变化率为 3]

2. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 1的图像上一点(1,及附近一点(1 ? ?x, ?f ),则 1) 1?

?f ? ?x

3. 一个做直线运动的物体,其位移与时间的关系是s ? 3t ? t 2 . ( )求此物体的初速度; 1 (2)求t ? 0到t ? 2时的平均速度. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 4.已知函数y ? f ( x)在x ? x0处的导数为 .则 lim 11 ? ?x ?0 ?x 导数的几何意义: 函数y ? f ( x)在x ? x0处的切线的斜率就是函数在该点时的导数.
曲线在某点的切线 ( )与该点的位置有关. 1 (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线且唯一;若无极限, 则不存在切线. (3)曲线的切线与切线并不一定只有一个交点,可以有多个甚至无数个. 例1.求曲线y ? f ( x) ? x 2 ? 1在点P(1,)处的切线方程. 2
练习

1 1 ( )函数y ? ? 在点( , 2)处的切线方程为 1 ? x 2 (2)已知y ? 3x 2 ? x,求曲线上点A(1,)处的斜率k ? 2 导函数的定义 从求函数f ( x)在x ? x0处求导数的过程可以看到f ' ( x)是一个确定的数,那么当x变 化时,f ' ( x)便是x的一个函数,我们称它为f ( x)的导函数,记作f ' ( x)或y ' . 即f ' ( x) ? y ' ? lim
注 意

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

( )函数在某一点处的导数f ' ( x)是一个定值,是函数在该点的函数该变量与自变量该变量 1 的比值的极限,不是变量. (2)函数的导数:是指某 一区间内任一点x而言的. (3)函数f ( x)在x0处的导数就是导函数f ' ( x)在x ? x0处的函数值.
例2.求函数y ? x 2 ? x ? 1的导数,及在(2,]处的斜率. 7
作业: 《习案》作业三

教后反思:

课题:常见函数的导数

一、教学目标:掌握初等函数的求导公式; 二、教学重难点:用定义推导常见函数的导数公式. 一、复习
1、导数的定义;2、导数的几何意义;3、导函数的定义;4、求函数的导数的流程图。 (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ? 0 ?x
(2)求平均变化率 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 (1) 、y=x (2) 、y=x2 (3) 、y=x3

问题: y ? x ?1 , y ? x ?2 , y ? x ?3 呢? 问题:从对上面几个幂函数求导,我们能发现有什么规律吗? 二、新授 1、基本初等函数的求导公式:
⑴ ⑶ ⑸

(kx ? b)? ? k (k,b 为常数) ? (x ) ? 1
( x3 )? ? 3 x 2

⑵ ⑷ ⑹

(C )? ? 0 (C 为常数)
? ( x2 ) ? 2 x

1 1 ( )? ? ? 2 x x



( x )? ?

1 2 x

由⑶~⑹你能发现什么规律? ( ? 为常数)

⑻ ⑼ ⑽ ⑾

( x? )? ? ? x? ?1

? (a x ) ? a x l a a ? ,a ? n ( 0

1)

1 1 log a e ? (a ? 0,且a ? 1) x xlna 1 (e x )? ? e x ⑿ (lnx)? ? ⒀ ( s i n ?x? c o s x ) x (log a x)? ?



( c o s ?x -s i n x ) ?

从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 例 1、求下列函数导数。 (1) y ? x
?5

(2) y ? 4

x

(3) y ?

x x x

(4) y ? log 3 x (7)y=cos(2π -x)

(5)y=sin(

? +x) 2

(6) y=sin

? 3

(8)y= f ?(1)

例 2:已知点 P 在函数 y=cosx 上, (0≤x≤2π ) ,在 P 处的切线斜率大于 0,求点 P 的横坐

标的取值范围。

例 3.若直线 y ? ? x ? b 为函数 y ?

1 图象的切线,求 b 的值和切点坐标. x

变式 1.求曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 变式 2:求曲线 y=x2 过点(0,-1)的切线方程 变式 3:求曲线 y=x3 过点(1,1)的切线方程 变式 4:已知直线 y ? x ? 1 ,点 P 为 y=x2 上任意一点,求 P 在什么位置时到直线距离最短. 三、小结(1)基本初等函数公式的求导公式(2)公式的应用

教后反思:

课题:函数的和、差、积、商的导数
教学目的: 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数. 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点:用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点:函数的积、商的求导法则的推导. 授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引入: 常见函数的导数公式:

C '? 0 ; (kx ? b) ' ? k (k,b 为常数) ( x n )' ? nx n ?1 ; (a x ) ' ? a x ln a(a ? 0, 且a ? 0)
(e x ) ' ? e x (ln x) ' ?

1 x

1 1 (log a x) ' ? log a e ? (a ? 0, 且a ? 0) x x ln a
(cos x)' ? ? sin x

(sin x)' ? cos x ;

二、讲解新课: 例 1.求 y ? x ? x 的导数.
2

法则 1

两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即

? f ( x) ? g ( x) ? ' ?

f '( x) ? g '( x)

法则 2 常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数. ? cf ( x)? ' ? cf ( x) ' 法则 3 两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以 第二个函数的导数,即

? f ( x) g ( x) ? ' ?

f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x)

证明:令 y ? f ( x) g ( x) ,则

?y ? f ( x ? ?x) g ( x ? ?x) - f ( x) g ( x) ? f ( x ? ?x) g ( x ? ?x) - f ( x) g ( x ? ?x) + f ( x) g ( x ? ?x) - f ( x) g ( x) ,

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) g ( x ? ?x) ? g ( x) g ( x ? ?x) + f ( x) ? ?x ?x ?x
因为 g ( x) 在点 x 处可导,所以它在点 x 处连续,于是当 ?x ? 0 时, g ( x ? ?x) ? g ( x) , 从而 lim

?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) g ( x ? ?x) ? g ( x) g ( x ? ?x) + f ( x) lim ? lim ?x ?0 ?x ?x?0 ?x ?x
? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ,

法则 4 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,

? f ( x) ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) 再除以分母的平方,即 ? ? ? g ( x) 2 ? g ( x) ?
三、讲解范例: 例 1 求下列函数的导数 1、y=x +sinx 的导数. 2、求 y ? (2 x ? 3)(3x ? 2) 的导数.(两种方法)
2
2

'

( g ( x) ? 0)

3、求下列函数的导数 ⑴ h( x) ? x sin x

t2 ?1 ⑵ s (t ) ? t

4、y=5x sinx-2

10

x cosx-9,求 y′

5、求 y=

x2 的导数. sin x

变式:(1)求 y=

x?3 在点 x=3 处的导数. x2 ? 3
1 ?cosx 的导数. x

(2) 求 y=

例 2 求 y=tanx 的导数.

例 3 求满足下列条件的函数 f ( x) (1) f ( x) 是三次函数,且 f (0) ? 3, f '(0) ? 0, f '(1) ? ?3, f '(2) ? 0 (2) f '( x) 是一次函数, x f '( x) ? (2 x ? 1) f ( x) ? 1
2

变式:已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2),且在点 M 处(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,求函数的解析式

四、课堂练习: 1.求下列函数的导数:(1)y=

a?x a?x

(2)y=

x?2 3x 2

(3)y=

1 1 ? cos x

五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利 用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数 法则(

u u ?v ? uv? )′= (v≠0),如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些 v2 v

复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住 六、课后作业:?

教后反思:

课题

简单复合函数的导数

课型

新授

教学目标:1.掌握简单复合函数的导数的推导 2.简单复合函数的导数的应用 教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 教学难点:简单复合函数的导数的应用

教学过程 一、基础知识梳理:
复合函数的求导数公式;

备课札记

二、典型例题分析:
例 1、求下列函数的导数; 1) y ? (2 x ? 3) 、
3

2) y ? ln(5x ? 1) 、

练习:求下列函数的导数 1) y ? (2 x ? 3) 、
2

2) y ? (1 ? 3x) 、

3

例 2、求下列函数的导数; 1) y ? 、

1 3x ? 1

2)、 y ? cos(1 ? 2 x)

练习:求导数; 1) y ? ln 、

1 x

2) y ? e 、

2x

3) 、求曲线 y ? sin 2 x 在点 P( ? ,0 )处的切线方程。

例 3 、 设 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1 , 求 h(5) 及 h '(5) 1) h( x) ? 3 f ( x) ? 2 g ( x) 、 3) h( x) ? 、 2) h( x) ? f ( x) g ( x) ? 1 、

f ( x) ? 2 g ( x)

四、课堂小结:

教后反思:

第三章 导数的应用 课 题: 函数的单调性

教学目的: 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点:利用导数判断函数单调性 教学难点:利用导数判断函数单调性 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: ? 以前, 我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1, 2∈I, x 且当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1 <x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数. 在函数 y=f(x)比较复杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单 教学过程: 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式:

C '? 0 ; ( x n )' ? nx n ?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x

(ln x)' ?
2.法则 1 法则 2

1 1 ; (log a x)' ? log a e ; (e x )' ? e x ; (a x )' ? a x ln a x x

[ f ( x) ? g ( x)]' ? f ' ( x) ? g ' ( x) .

[ f ( x) g ( x)]? ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , [cf ( x)]? ? cf '( x)
? f ( x) ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? ? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?
'

法则 3

( g ( x) ? 0)

二、讲解新课: 1. 函数的导数与函数的单调性的关系: 我们已经知道,曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 y ? x ? 4 x ? 3 的图像 可以看到:
2

y
f?x? = ?x2-4?x?+3

在 (2,+∞) 增函数 正 区间 (-∞,2) 减函数 负 <0 (2, +∞)内,切线的斜率为正,函数 y=f(x)的值随着 x 的增
/

y=f(x)=x2-4x+3

切线的斜率

f′(x) >0

B O
1 2 3

A

x

大而增大,即 y >0 时,函数 y=f(x) 在区间(2,+∞)内为增函数;在区间(-∞,2)内,
/ 切线的斜率为负, 函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小, y ? 0 时, 即 函数 y=f(x) 在区间 (- ∞,2)内为减函数. /

定义:一般地,设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y >0,那么函 数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y <0,那么函数 y=f(x) 在为这个区 间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间. 三、讲解范例: 例 1 确定函数 f(x)=x2-2x+4 在哪个区间内是增函数, y 哪个区间内是减函数. 解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令 2x-2>0,解得 x>1. ∴当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 2 令 2x-2<0,解得 x<1. ∴当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. f?x? = ?x2-2?x?+4 3 2 例 2 确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数, O 1 x 哪个区间内是减函数. y 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0 f?x? = ?2?x3-6?x2?+7 ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 令 6x2-12x<0,解得 0<x<2. ∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
O
1 2
/

x

例 3 证明函数 f(x)=

1 在(0,+∞)上是减函数. x

证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x1 x2 x 2 ? x1 >0 x1 x 2

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0 ∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)=

1 在(0,+∞)上是减函数. x

证法二:(用导数方法证) ∵ f ( x) =(
/

1 1 - )′=(-1)?x 2=- 2 ,x>0, x x 1 / <0. ∴ f ( x) ? 0 , 2 x

∴x2>0,∴-

∴f(x)=

1 在(0,+∞)上是减函数. x2

点评:比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数, 用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性. 例 4 确定函数 f ( x) ? sin x( x ? ? 0, 2? ?) 的单调减区间

例5已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x
y 1 x 2

1 解:y′=(x+ )′ x
=1-1?x 2=


f?x? = x+

x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x2 x2
2

-1

O

1

x

-2



( x ? 1)( x ? 1) >0. 解得 x>1 或 x<-1. x2 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x

∴y=x+



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x

∴y=x+

四、课堂练习: 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 (1)解:y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4) 令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2. ∴y=x3-9x2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令 3(x-2)(x-4)<0,解得 2<x<4.∴y=x3-9x2+24x 的单调减区间是(2,4) (2)解:y′=(x-x3)′=1-3x2=-3(x2-

3 3 1 )=-3(x+ )(x- ) 3 3 3

令-3(x+

3 3 3 3 )(x- )>0,解得- <x< . 3 3 3 3 3 3 , ). 3 3

∴y=x-x3 的单调增区间是(-

令-3(x+

3 3 3 3 )(x- )<0,解得 x> 或 x<- . 3 3 3 3 3 3 )和( ,+∞) 3 3

∴y=x-x3 的单调减区间是(-∞,-

2.讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间. 解:y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令 2ax+b>0,解得 x>-

b 2a

∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调增区间是(-

b ,+∞) 2a

令 2ax+b<0,解得 x<-

b . 2a b ) 2a

∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调减区间是(-∞,-

3.求下列函数的单调区间(1)y=

x?2 x

(2)y=

x (3)y= x +x x ?9
2

(1)解:y′=(

x?x?2 2 x?2 ?? 2 )′= 2 x x x 2 <0,∴y′<0. x2

∵当 x≠0 时,-

∴y=

x?2 的单调减区间是(-∞,0)与(0,+∞) x
x2 ? 9 ? x ? 2x ? x2 ? 9 x2 ? 9 x ? 2 ?? 2 )′ ? ( x 2 ? 9) 2 ( x ? 9) 2 ( x ? 9) 2 x2 ? 9

(2)解:y′=(

当 x≠±3 时,-

x2 ? 9 <0,∴y′<0. ( x 2 ? 9) 2

∴y=

x 的单调减区间是(-∞,-3),(-3,3)与(3,+∞). x ?9
2

(3)解:y′=(

x +x)′ ?

1 ?1 1 x 2 ?1 ? ? 1. 2 2 x
x +x 的单调增区间是(0,+∞)

当 x>0 时 五、小结 :

1 2 x

+1>0,∴y′>0. ∴y=

f(x)在某区间内可导,可以根据 f ( x) >0 或 f ( x) <0 求函数的单调区间,或判断函数的单 调性,或证明不等式.以及当 f ( x) =0 在某个区间上,那么 f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业:
/

/

/

教后反思:

1.32 课 题:函数的极值(1)
教学目的: 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型:新授课

课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数 在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出, 判别极大、 极小值的方法.判断极值点的关 键是这点两侧的导数异号 教学过程: 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式:

C '? 0 ; ( x n )' ? nx n ?1 ; (sin x)' ? cos x ;; (cos x)' ? ? sin x ;
(log a x)' ?
2.法则 1 法则 2

(ln x)' ?

1 x

1 l o g e ; (e x )' ? e x ; a x

(a x )' ? a x ln a

[u ( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x)

[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

法则 3

3.复合函数的导数: y ' x ? y 'u ?u ' x (理科) 4. 函数的导数与函数的单调性的关系:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区 间内 y >0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y <0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 5.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 二、讲解新课: 1.极大值:一般地, 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0). 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值请注意 以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如 下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得
/ /

最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点

y
f(x5)

f(x3) f(x1) f(x4)

a

x1

x2

O
f(b) f(x2) f(a)

x3

x4

x5

b x

4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x 0 是 f (x) 的极值点,

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足 “左负右正” 则 x 0 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) ,
是极小值 5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f ( x) (2)求方程 f ( x) =0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处 无极值 三、讲解范例: 例 1 求 y=
/ / /

1 3 1 x -4x+ 的极值 3 3 1 3 1 x -4x+ )′=x2-4=(x+2)(x-2) 3 3

解:y′=(

令 y′=0,解得 x1=-2,x2=2 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表

x
y?

? ??, 2 ?
+

-2 0

(-2,2) -

2 0

? 2, ?? ?
+

极大值

极小值 ↘

y



f (?2)

f (2)



∴当 x=-2 时,y 有极大值且 y 极大值= 当 x=2 时,y 有极小值且 y 极小值=-5
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

17 3

2 -2
O

x

例 2 求 y=(x2-1)3+1 的极值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令 y′=0 解得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表

x
y?

? ??, ?1?
- ↘

-1 0 无极值

(-1,0) - ↘

0 0 极小值 0

(0,1) + ↗

1 0 无极值

?1, ?? ?
+ ↗

y

∴当 x=0 时,y 有极小值且 y 极小值=0

y

f?x? = ?x2-1?3+1

-1

O

1
/

x
/

求极值的具体步骤:第一,求导数 f ( x) .第二,令 f ( x) =0 求方程的根,第三,列表, 检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值,如果左右都是正,或者左右都是负,那么 f(x) 在这根处无极值. 如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 四、课堂练习:
/

1.求下列函数的极值. (1)y=x2-7x+6 (2)y=x3-27x (1)解:y′=(x2-7x+6)′=2x-7 令 y′=0,解得 x=

7 . 2
7? ? ? ??, ? 2? ?

当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表.

x
y?

7 2

?7 ? ? , ?? ? ?2 ?

- ↘

0 极小值 ?

+

y
∴当 x=

25 4



7 25 时,y 有极小值,且 y 极小值=- 2 4

(2)解:y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3) 令 y′=0,解得 x1=-3,x2=3. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表

x
y?

? ??, ?3?
+ ↗

-3 0 极大值 54

(-3,3) - ↘

3 0 极小值-54

? 3, ?? ?
+ ↗

y

∴当 x=-3 时,y 有极大值,且 y 极大值=54 当 x=3 时,y 有极小值,且 y 极小值=-54 五、小结 :函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤.还 有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的, 在整个定义区间可能有多个极 值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为 0,但导数为零的点不一定是极值点,要看 这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业:

教后反思:

课题:函数的最大值与最小值
教学目的: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上

所 有 点 ( 包 括 端 点 a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) >f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如 下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 二、讲解新课: 1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b ? 上的函数
y

f (x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值,

f ( x2 ) 是极大值.函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值
是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) .

a

x1

O

x2

x3

b

x

一般地,在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值. 说明:⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 x

(0,??) 内连续,但没有最大值与最小值;
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函 数值得出的. ⑶函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个,

也可能没有一个 ⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f (x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进 行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f (x) 在 ?a, b ? 上连续,在 (a, b) 内可导,则求 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步 骤如下:⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值 三、讲解范例: 例 1 求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值
4 2

y
12 10 8

例 2 已知 x,y 为正实数,且满足 x ? 2 x ? 4 y ? 0 ,求 xy 的取值范围
2 2

6 4

2 3 例 3.设 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? b(?1 ? x ? 1) 的 3 2
-4 -2

2

y=x4-2x2+5 O
2 4

x

6 最大值为 1,最小值为 ? ,求常数 a,b 2
例 4 已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f (x) 同时满足下列 x

两个条件: (1) f (x) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f (x) 的最 小值是 1,若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由. 四、课堂练习: 1.下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12

)

4.函数 y=

2x ? x 2 的最大值为( x ?1

)。A.

3 3

B.1

C.

1 2

D.

3 2

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b,则( A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 五、小结 :

)

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区 间端点; ⑵函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件; ⑶闭 区 间 ?a, b ? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 .

教后反思:

课 题:导数在实际生活中的应用
教学目的: 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法; ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0). 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x 0 是 f (x) 的极值点,

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足 “左负右正” 则 x 0 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) ,
是极小值 5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x)

(2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那 么 f(x)在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小 值.⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较 整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 件. (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个 7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值;⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、

f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值
二、讲解范例: 例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起(如 图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为 xcm , 则 箱 高

x _
x x

h?

60 ? x cm,得箱子 2
60 x 2 ? x 3 2

容积

60 _

x _

V ( x) ? x 2 h ?

(0 ? x ? 60) .

60 _

V ?( x) ? 60 x ?
(0 ? x ? 60)


3x 2 2

V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 2

并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000

是最大值 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱 子容积 ( 略) V ( x) ? (60 ? 2 x) x (0 ? x ? 30) . 后面同解法一,
2
60
3

60-2x

x
60-2x 60-2x

60-2x

x

由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所 以最大值出现在极值点处. 事 实 上 , 可 导 函 数 V ( x) ? x h ?
2
60

60 x 2 ? x 3 2



V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x 在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象
角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点, 不必考虑端点的函数值 例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选 取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R 由 V=π R h,得 h ?
2



V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R 2V s?( R) ? ? 2 +4π R=0 R
V V ,从而 h= = 2? ? R2 4V V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

解得,R= 3

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所 用材料最省? 提示:S=2 ?Rh + 2?R ? h=
2

S ? 2?R 2 2?R

? V(R)=

S ? 2?R 2 1 1 ? R 2 = (S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2?R 2 2

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .

例 3 在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出售 x 单位产品的收 益称为收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。 (1) 、如果 C(x)= 10
?6

x 3 ? 0.003 x 2 ? 5x ? 1000 ,那么生产多少单位产品时,边际

C ?(x) 最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2) 、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利润最 大?

变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数 关系式为 p ? 25 ?

1 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ?

? ?

1 ? 1 q ? ? 25q ? q 2 , 8 ? 8

利润 L ? R ? C ? ? 25q ?

? ?

1 2? 1 q ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 (0 ? q ? 100) 8 ? 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4

答:产量为 84 时,利润 L 最大 三、课堂练习: 1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 2.函数 f(x)=sin2x-x 在[-

? ? , ]上的最大值为_____;最小值为_______. 2 2

3.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___. 4.使内接椭圆

x2 y2 ? =1 的矩形面积最大,矩形的长为_____,宽为_____. a2 b2

5.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大 答案:1. -15 2. 四、小结 : ⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适 当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.

? 2



? 2

3.

a 2

a 2

4. 2 a

3 2 b 5. R 2

⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点, 那么这 个极值就是所求最值,不必再与端点值比较. ⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五、课后作业: 1.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个 无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少? 解: (1)正方形边长为 x,则 V=(8-2x)?(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0<x< V′=4(3x2-13x+10)(0<x<

5 ) 2

5 ),V′=0 得 x=1 根据实际情况,小盒容积最大是存在的, 2
E A h B 600 b C D

∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18. 2.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面 尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此 时的高 h 和下底边长 b. 解:由梯形面积公式,得 S=

3 1 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 3 2


∴AD=

1 2 3 3 2 3 h ? 2b)h ? ( h ? b) h h+b, ∴S= ( 2 3 3 3

∵CD=

h 2 2 ? h ,AB=CD.∴l= h ?2+b cos30? 3 3



由①得 b=

4 3 S 3 S S 3 h? ? h ? 3h ? ? h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
S S S S =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时,l′<0,h> 4 时,l′>0. 2 h 3 3 3

l′= 3 ?

S 24 3 S? ∴h= 4 时,l 取最小值,此时 b= 3 3

教后反思:

第四章 定积分
课 题:汽车行驶的路程 教学目标:

1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程; 2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近) 。 3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限) . 教学难点:过程的理解. 教学过程: 一.创设情景 复习:1.连续函数的概念; 2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤; 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反 之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 二.新课讲授 问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt .如果汽车 作变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v ? t ? ? ?t ? 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单
2

位:h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路 程问题,化归为匀速直线运动的路程问题. 把区间 ? 0 ,1? 分成 n 个小区间,在每个小区间上, 由于 v ? t ? 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间 上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位:km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单位:km)的精确值. (思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思 想方法求出匀变速直线运动的路程) . 解:1.分割 在时间区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ?0 , n ? , ? n , n ? ,?, ? n ,1? ? ? ? ? ? ?
记第 i 个区间为 ?

? i ?1 i ? , (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ? n n? ?

?t ?
把汽车在时间段 ?0 ,

i i ?1 1 ? ? n n n

? ?

1? ?1 2? ? n ?1 ? ? , ? n , n ? ,?, ? n ,1? 上行驶的路程分别记作: n? ? ? ? ?

?S1 , ?S2 ,?, ?Sn
显然, S ?

? ?S
i ?1

n

i

(2)近似代替 当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间 ?

? i ?1 i ? 2 上,可以认为函数 v ? t ? ? ?t ? 2 的值变化 , n n? ? ?

很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
2

i ?1 处的函数值 n

? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 i ? v? , (i ? 1, 2 , ? , n) ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义上看,即使汽车在时间段 ? ? n ? ? n ? ? n n? ?
上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 处的速度 v ? ? ? ?? ? ? 2 作匀 n ? n ? ? n ?
2

速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替

?Si ,即在局部范围内“以直代取” ,则有
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ?Si ? ?Si? ? v ? ??t ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? (i ? 1, 2,?, n) ① ? n ? ? n ? n n ? ? n ? ? n ? ?

(3)求和
2 n ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? 由①, S n ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? n? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? n ? n ? ? n n

1 ?1? 1 1 2 2 ? n ?1 ? 1 2 = ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 = ? 3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ?n? n n ? ? n ? n
2 2

=?

1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 3 ? n ?? 2n ? n 6
1? 3? 1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 2 n ?? 2n ?

从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ? ?1 ? (4)取极限

当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, Sn ? ? ?1 ?

1? 3?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S ,从 n ?? 2n ?

而有

n 1 ? i ?1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 S ? lim Sn ? lim ? ?v ? ? ? lim ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 ? ? n ?? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考: 结合求曲边梯形面积的过程, 你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和 曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?

结合上述求解过程可知, 汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0
n ??

和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积. 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v ? t ? ,那么我们也可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 S . 三.典例分析 例 1. 弹簧在拉伸的过程中, 力与伸长量成正比, 即力 F ? x ? ? kx( k 为常数,x 是伸长量) , 求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功. 分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,则所作的功为 W ? F ? x . 1.分割 在区间 ? 0 , b ? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? ? n ? 1? b ? ? b ? ? b 2b ? , b? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ? n? ?n n ? ? ? n ?
记第 i 个区间为 ?

? ? i ? 1? b i ? b ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 n ? ? n

?x ?
? ?

i ? b ? i ? 1? b b ? ? n n n

把在分段 ?0 ,

? ? n ? 1? b ? b ? ? b 2b ? , b ? 上所作的功分别记作: ? , ? n , n ? ,?, ? n n? ? ? ? ?

?W1 , ?W2 ,?, ?Wn
(2)近似代替 有条件知: ?Wi ? F ? (3)求和

? ? i ? 1? b ? ? i ? 1? b ? b ? ? ?x ? k ? n n ? n ?

(i ? 1 , 2 , n , ) ?

Wn ? ? ?Wi ? ? k ?
i ?1 i ?1

n

n

? i ? 1? b ? b
n

n

kb 2 kb 2 n ? n ? 1? kb 2 ? 1 ? ? = 2 ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ?1 ? ? ? n n ? 2 2 ? n?

从而得到 W 的近似值 W ? Wn ? (4)取极限

kb 2 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n?

W ? lim Wn ? lim ? ?Wi ? lim
n ?? n ?? i ?1

n

kb 2 ? 1 ? kb 2 ?1 ? ? ? n ?? 2 2 ? n?

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为: 四.课堂练习 1.课本 练习 五.回顾总结 求汽车行驶的路程有关问题的过程. 六.布置作业

kb2 2

教后反思:

课 题:定积分的概念(2 课时) 教学目标: ⒈通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; ⒉借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单的定积分. 3. 理解掌握定积分的几何意义; 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?

b?a ) ,在每个小区间 n

? xi ?1 , xi ? 上取一点 ?i ? i ? 1,2,?, n ? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 i ?1

n

n

b?a f (?i ) n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ? ?? )时,上述和式 S n 无限趋近于常数 S ,那么称该常数

S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S ? ? f ( x)dx
a

b

其中 f ( x) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 S n 无限趋近的常数 S ( n ? ?? 时)称为

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 S n .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 ? a , b ? ;②近似代替:取点

?i ? ? xi ?1 , xi ? ;③求和: ?
i ?1

n

n b b?a b?a f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1

(3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ? 2.定积分的几何意义

?

b

a

f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? v(t )dt ;
t2 t1

?

b

a

F (r )dr

说明:一般情况下,定积 分

?

b

a

函数 f ( x) 的图形以及直线 x ? a , x ? b 之间各部分面 f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、

积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号. (可以先不给学生讲) . 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上可取负值。 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ? ? f ( xi )?x ? ? ? f ? xn ? ?x 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ),?, f ( xn ) ? 0 于是和式即为 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ? ? f ( xi ?1 )?x ? {[? f ( xi )?x] ? ? ? [? f ? xn ? ?x]}

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
a

b

2.定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

? 1dx ? b ? a
a

b

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
b 1
b

? [f
a

b

1

( x ) f ( x ) d? ? ? 2 ]x

a

f ( x)? ?x d
a

b 2

f( ) d x (定积分的线性性质) x
? a ? c) b

?
a

b

f ( x) d ? x

?
a

c

f ) ?x ( x d ?
c

( f ) x 其中 d(x

(定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广: ②推广:

? [ f ( x) ? f ( x) ? ? ? f
a 1 2
c1 a

b

m
c2

( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a
b ck

b

b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx
c1

③性质解释:
y

性质 4 性质 1
y=1 M y A C

B

N a P b x

O

a

b

x

O

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
三.典例分析 例 1.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx
5 。 2
y

分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为 即:

?

2

1

( x ? 1)dx ?

5 2

思考:若改为计算定积分

?

2

?2

( x ? 1)dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函数在 [?2, 2] 上出 现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) 四.课堂练习 计算下列定积分 o 1 2 x

1. 2.

?
?

5

0
1

(2 x ? 4)dx
x dx

?
?
1 ?1

5

0

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5

?1

1 1 x dx ? ?1?1 ? ?1?1 ? 1 2 2

五.回顾总结 1. 定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 六.布置作业

教后反思:

课 题:微积分基本定理
教学目标:了解牛顿-莱布尼兹公式 教学重点:牛顿-莱布尼兹公 教学过程 一、复习:定积分的概念及计算 二、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为

?

T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表 达,即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 ) ,且 S ?(t ) ? v(t ) 。

对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

若上 式成立,我 们就找到了 用 f ( x) 的原 函数 (即满足 F ?( x) ? f ( x)) 的数值 差

F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。
定理 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:因为 ?( x) =

?

x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故

F ( x) - ?( x) =C( a ? x ? b )
其中 C 为某一常数。 令 x ? a 得 F (a) - ?(a) =C,且 ?(a) = 即有 C= F (a) ,故 F ( x) = ?( x) + F (a)

?

a

a

f (t )dt =0

? ?( x) = F ( x) - F (a) = ? f (t )dt
a

x

令 x ? b ,有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
b

为了方便起见,还常用 F ( x) |a 表示 F (b) ? F (a) ,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的 一般方法, 把求定积分的问题, 转化成求原函数的问题, 是微分学与积分学之间联系的桥梁。 例1. 计算 解:由于

? x dx
2 0

1

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x d x= 3 x |0 = 3 ?1 ? 3 ? 0 = 3
2

例2 求

?

x 1 ? x2
xdx 1 ? x2

0

dx
1 1 1 d ( x2 ) 2 d (1 ? x 2 ) 1 2 ? ? = ? ? x ) 2 ? C ? (1 ? x ) 2 ? C 2(1 2 2 ? 1 ? x2 2 1 ? x2 2

解 因为

?

?



(1 ? x )
2

1 2

2 0

x

? 5 ? 1 1 ? x2
1

有一个原函数为 (1 ? x ) 2 ,所以
2

1

?

2

x 1 ? x2

0

dx = (1 ? x 2 ) 2 ? 5 ? 1
0

2

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/ 秒 2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里/小时 =

32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽 3600

车停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

8.88 ? 4.93 秒 1.8

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0

4.93

? 21.90 米,即在刹车后,汽

车需走过 21.90 米才能停住. 小结:本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式.

教后反思:

课 题:定积分在几何中的应用 一、教学目标: 1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2.掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、教学重点与难点: 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程: (一)练习
a 1 1.若 ? (2 x ? ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为( D 1 x

) C.3 D.2

A.6 2.设 f ( x) ? ?
3 4
1

B.4
? x 2 (0 ? x ? 1) ?2 ? x(1 ? x ? 2)
a

,则 ?1 f ( x) dx 等于( C B.
4 5


5 6

A.

C.

D.不存在

3.求函数 解:∵

f (a) ? ?0(6x 2 ? 4ax ? a 2 )dx 的最小值
1 2
12 2 2

(2 x a ? a ? ax ? (6x ? 4ax ? ? (6)xdx 4? (?2ax)dx??2ax? 2? a axx)) | ? 2 ? 2a ? a
3
3

2

2

2

2

1 1

2

0

0

0 0



∴ f (a) ? a 2 ? 2a ? 2 ? (a ? 1)2 ? 1 . 4.求定分 ??2 16 ? 6x ? x 2 dx.
3

∴当 a = – 1 时 f (a)有最小值 1.

5.怎样用定积分表示: x=0,x=1,y=0 及 f(x)=x2 所围成图形的面积?

S1 ? ? f ( x )dx ? ? x 2dx ?
0 0

1

1

1 3

6. 你能说说定积分的几何意义吗?例如

?

b

a

f ( x )dx 的几何意义是什么?

表示 x 轴,曲线 y ? f (x) 及直线 x ? a , x ? b 之间的各部分面积的代数和, 在 x 轴上方的面积取正,在 x 轴下方的面积取负 二、新课 例 1.讲解教材例题 例 2.求曲线 y=sinx ,x? [0, 练习: 1.如右图,阴影部分面积为( B ) A. ?a [ f ( x) ? g ( x)] dx B. ?a [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ?c [ f ( x ) ? g ( x )] dx C. ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?c [ g ( x ) ? f ( x )] dx D. ?a [ g ( x) ? f ( x)] dx 2.求抛物线 y = – x2 + 4x – 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的面积. 四、作业:
b b b c b b

2? 2? ] 与直线 x=0 , x ? 3 3

,x 轴所围成图形的面积。

2 3

教后反思:

课 题:定积分在物理中的应用 一、教学目标: 2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2.掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点: 3. 定积分的概念及几何意义 4. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程: (一)练习 1.曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1,x = 1 及 x 轴所围成图形的面积为( B A. ) .

8 3

B.2

C.

4 3

D.

2 3

3 2.曲线 y = cos x (0 ? x ? ? ) 与两个坐标轴所围成图形的面积为( D 2

) D.3

A.4

B.2

C.

5 2

3.求抛物线 y2 = x 与 x – 2y – 3 = 0 所围成的图形的面积. 解:如图:由 ?
? y2 ? x ?x ? 2 y ? 3 ? 0

得 A(1,– 1) ,B(9,3) .

选择 x 作积分变量,则所求面积为
1 0 1 9 1 1 9 S ? ? [ x ? (? x )]dx ? ? [ x ? ( x ? 3)]dx = 2? 1dx ? ? xdx ? ? ( x ? 3)dx 0 1 0 1 2 2 1
9 = x 2 |1 ? x 2 |1 ?( 0

4 3

3

2 3

3

x2 3 9 32 . ? x) |1 ? 4 2 3

(二)新课 变速直线运动的路程 1.物本做变速度直线运动经过的路程 s,等于其速度函数 v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a, b]上的 定积分 ,即 s ?

? v(t )dt .
a

b

2.质点直线运动瞬时速度的变化为 v (t) = – 3sin t,则 t1 = 3 至 t2 = 5 时间内的位移是 (只列式子) ? ?? 3sin t ?dt .
5 3

3.变速直线运动的物体的速度 v (t) = 5 – t2,初始位置 v (0) = 1,前 2s 所走过的路程为

25 . 3

变力作功
1.如果物体沿恒力 F (x)相同的方向移动,那么从位置 x = a 到 x = b 变力所做的功 W = F b ( —a) . 2.如果物体沿与变力 F (x)相同的方向移动,那么从位置 x = a 到 x = b 变力所做的 功W=

?

b

a

F ( x)dx .

练习: 1.教材练习 2.一物体在力 F (x) = ? A.44J
?10(0 ? x ? 2) (单位:N)的作用下沿与力 F(x)做功为( B ?3x ? 4( x ? 2)



B.46J

C.48J

D.50J

3.证明:把质量为 m(单位 kg)的物体从地球的表面升高 h(单位:m)处所做的功 W =

G?

Mmh ,其中 G 是地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径. k (k ? h)

证明:根据万有引力定律,知道对于两个距离为 r,质量分别为 m1、m2 的质点,它们之间 的引力 f 为 f = G?
m1m2 ,其中 G 为引力常数. r2
Mm ( k ? x) 2

则当质量为 m 物体距离地面高度为 x(0≤x≤h)时,地心对它有引力 f (x) = G? 故该物体从地面升到 h 处所做的功为
W ? ? f ( x) dx = ? G ?
0 h

h

0

h 1 h Mm 1 ?dx = GMm ? d (k + 1) = GMm (? ) |0 2 0 (k ? x) 2 ( k ? x) k?x

= GMm(?

1 1 Mnh . ? k) ? G ? k ?h k (k ? h)

教后反思: 第五章
课 题:数系的扩充
教学目标 (1)了解数的概念发展和数系扩充的过程,了解引进虚数单位 i 的必要性和作用,体会数 学发现和创造的过程,以及数学发生、发展的客观需求; (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 教学重点,难点:复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 教学过程 一.问题情境 1.情境: 1)数的概念的发展 从正整数扩充到整数, 从整数扩充到有理数, 从有理数扩充到实数, 数的概念是不断发展的, 其发展的动力来自两个方面. ①解决实际问题的需要. 由于计数的需要产生了自然数; 为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数; 由于测量等 需要产生了分数;为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数). ②解方程的需要. 为了使方程 x ? 4 ? 0 有解,就引进了负数,数系扩充到了整数集;为了使方程 3x ? 2 ? 0 有 解,就要引进分数,数系扩充到了有理数集;为了使方程 x ? 2 有解,就要引进无理数,
2

数系的扩充与复数的引入

数系扩充到了实数集.
2 引进无理数以后,我们已经能使方程 x ? a (a ? 0) 永远有解.但是,这并没有彻底解决问 2 2 题,当 a ? 0 时,方程 x ? a 在实数范围内无解.为了使方程 x ? a (a ? 0) 有解,就必须

把实数概念进一步扩大,这就必须引进新的数. (可以以分解因式: x ? 4 为例)
4

2.问题:实数集应怎样扩充呢? 二.建构数学
2 1.为了使方程 x ? a (a ? 0) 有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从引

入平方等于 ?1 的“新数”开始. 为此,我们引入一个新数 i ,叫做虚数单位( imaginary unit ) .并作如下规定: ① i ? ?1 ;
2

②实数可以与 i 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立. 在这种规定下,i 可以与实数 b 相乘,再同实数 a 相加得 i ? b ? a .由于满足乘法交换律和加 法交换律,上述结果可以写成 a ? bi ( a, b ? R )的形式. 2.复数概念及复数集 C 形如 a ? bi ( a, b ? R )的数叫做复数( complex number ) .全体复数构成的集合叫做复数 集( set of 即

complex numbers ) ,一般用字母 C 来表示,
.显然有 N* N Z Q R C.

C ? ? z z ? a ? bi, a, b ? R?

3.复数的有关概念 1) 复数的表示:通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi ( a, b ? R ),其中 a, b 分别叫做复数的实 部( real

part )与虚部( imaginary part ) ;

2)虚数和纯虚数 ①复数 z ? a ? bi ( a, b ? R ),当 b ? 0 时, z 就是实数 a . ②复数 z ? a ? bi ( a, b ? R ),当 b ? 0 时, z 叫做虚数( imaginary number ) . 特别的,当 a ? 0 , b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数( pure imaginary number ) . 3)复数集的分类 分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一.根据上述原则,复数集的分类如下:

4)两复数相等 如果两个复数 a ? bi 与 c ? di ( a, b, c, d ? R )的实部与虚部分别相等,我们就说这两个复

数相等.即

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d

, (复数相等的充要条件) ,

?a ? 0 a ? bi ? 0 ? ? ?b ? 0 (复数为 0 的充要条件) 特别地: .
复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径. 5)两个复数不能比较大小: 两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,不能比较它 们的大小. 三.数学运用 1.例题: 例 1.写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数.

1 4 4, 2 ? 3i, 0, ? ? i,5 ? 2i, 6i 2 3
1 4 1 4, 2 ? 3i, 0, ? ? i,5 ? 2i, 6i 4, 2, 0, ? ,5, 0 2 3 2 解: 的实部分别是 ; 4 0, ?3, 0, , 2, 6 3 虚部分别是 . 1 4 2 ? 3i, ? ? i,5 ? 2i, 6i 2 3 是虚数,其中 6i 是纯虚数.

4,0 是实数;

例 2.实数 m 取什么值时,复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

分析:由 m ? R 可知 m ? 1 , m(m ? 1) 都是实数,根据复数 a ? bi 是实数、虚数和纯虚数的 条件可以分别确定 m 的值. 解: (1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1时,复数 z 是实数;

(2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1时,复数 z 是虚数; (3)当 m(m ? 1) ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 0 时复数 z 是纯虚数.

(变式引申) :已知 m ? R ,复数

z?

m(m ? 2) ? (m2 ? 2m ? 1)i m ?1 ,当 m 为何值时:

(1) z ? R ; (2) z 是虚数; (3) z 是纯虚数. 解: (1)当 m ? 2m ? 1 ? 0 且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 ? 2 时, z 是实数;
2

(2)当 m ? 2m ?1 ? 0 且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 ? 2 且 m ? 1时, z 是虚数;
2

m(m ? 2) ?0 2 (3)当 m ? 1 且 m ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 0 或 ?2 时, z 为纯虚数.
思考: a ? 0 是复数 z ? a ? bi 为纯虚数的充分条件吗? 答:不是,因为当 a ? 0 且 b ? 0 时, z ? a ? bi 才是纯虚数,所以 a ? 0 是复数 z ? a ? bi 为 纯虚数的必要而非充分条件. 例 3.已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i ,求实数 x, y 的值.

解:根据两个复数相等的充要条件,可得:

?x ? y ? 2x ? 5 ? ? x ? 2 y ? 3x ? y

,解得:

?x ? 3 ? ? y ? ?2



(变式引申) :已知 a ?1 ? 2ai ? ?4 ? 4i ,求复数 a . 解:设 a ? x ? yi ( x, y ? R) ,则 x ? yi ? 1 ? 2( x ? yi)i ? ?4 ? 4i ,

? x ? 2 y ? 1 ? ?4, ? ? ( x ? 2 y ? 1) ? (2 x ? y)i ? ?4 ? 4i , 由复数相等的条件 ?2 x ? y ? 4,

? x ? 1, y ? 2,? a ? 1 ? 2i .
2.练习: (1)已知复数 z ? k ? 3k ? (k ? 5k ? 6)i (k ? R) ,且 z ? 0 ,则 k ?
2 2



解:? z ? 0 ,则 z ? R .故虚部 k ? 5k ? 6 ? 0, (k ? 2)(k ? 3) ? 0
2

? k ? 2 或 3 .但 k ? 3 时, z ? 0 ,不合题意,故舍去,故 k ? 2 .
四.回顾小结: 1.能够识别复数,并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数;

2.复数相等的充要条件.

教后反思:

课题

复数的四则运算

课型

新授

教学目的: 知识与技能:掌握复数的加法运算及意义 过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚 数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点:复数加法运算. 教学难点:复数加法运算的运算率。

教学过程

备 课 札 记

讲解新课: 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解范例: 例 1 计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i) 例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解 法 一 : 原 式 =(1 - 2+3 - 4+ ? - 2002+2003)+( - 2+3 - 4+5+ ? +2003 - 2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i. 解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, ?? (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i 4.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi, 2=c+di(a、 c、 z b、 d∈R)是任意两个复数, 那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac

-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘, 类似两个多项式相乘, 在所得的结果中把 i2 换成-1, 并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 3 计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i) 例 4.计算(a+bi) (a-bi) 5*.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共 轭复数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 课后作业: 复数的乘法法则是: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘, 可按多 项式类似的办法进行,不必去记公式.

教后反思:

课题

复数的四则运算(2)

课型

新授

教学目的: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘 法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学 生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是 生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。

教学过程
1、实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C 及 m,n∈N*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.

备课札 记

例 2:设 ? ? ?

1 3 ? i ,求证: (1) 1 ? ? ? ? 2 ? 0, (2)? 3 ? 1 2 2

2. 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复 数 c+di 的商,记为:(a+bi) ? (c+di)或者

a ? bi c ? di

3.除法运算规则: ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

ac ? bd ? x? 2 , ? ? c ?d2 解这个方程组,得 ? ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?
于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2 a ? bi 的分母有理化得: c ? di

②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将

原式=

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) [ac ? bi ? (?di )] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采 用的分母有理化思想方法,而复数 c+di 与复数 c-di,相当于我们初中学习的

3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,而(c+di)?(c-di)=c2+d2
是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

例4

计算

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

例 3 已知 z 是虚数,且 z+

1 z ?1 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1

证明:设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0),于是 z+

1 a ? bi a b 1 ?a? 2 ? (b ? 2 )i . =a+bi+ =a+bi+ 2 2 2 a ?b a ?b a ? b2 a ? bi z b 1 ∈R,∴b- 2 =0. a ? b2 z

∵z+

∵b≠0,∴a2+b2=1. ∴

z ? 1 (a ? 1) ? bi [(a ? 1) ? bi][(a ? 1) ? bi] ? ? z ? 1 (a ? 1) ? bi (a ? 1) 2 ? b 2

?

a 2 ? 1 ? b 2 ? [(a ? 1)b ? (a ? 1)b]i 0 ? 2bi b ? ? i. 2 2 a ? b ? 2a ? 1 1 ? 2a ? 1 a ? 1
b i 是纯虚数 a ?1

∵b≠0,a、b∈R,∴


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