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平面向量练习题一有答案

时间:2015-01-29


平面向量练习题一
一、选择题 1 .若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为

? ?

?

?

?

?

?

? ?

r />?





A.

?
6

【答案】B

2? 5? D. 3 3 6 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 由 a ? b ? a ? b 得 , a ? 2 a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b , 即 a ? b ? 0 . 由
B.

?

C.

? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 a ? b ? 2 a , 得 a ? 2a ? b ? b ? 4a , 即 b ? 3a , 所 以 b ? 3 a , 所 以

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ( a ? b) ? a ? a ? a ? b ? a , 所 以 向 量 a ? b 与 a 的 夹 角 的 余 弦 值 为
? ? ? ?2 ( a ? b) ? a a 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ,选 3 a?b ? a 2 a ? a 2
? ? ? ? ? ?
B.

2 .已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?





A.—3

B.—2

C .l

D.-l

? ? ? ? ? ?? ? ? ? (a ? 2b) ?c =0 ,即 a ?c ? 2b?c =0 ,所以 【答案】 A 【解析】因为 a ? 2b与c 垂直 , 所以有
3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得 k ? ?3 ,选 A.
3 .已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC

??? ? ??? ? ???? ????

? ? 0 ,则有 ????





A. AO ? 2OD
【 答 案 】 B

????

????

B. AO ? OD

????

????

C. AO ? 3OD

???? ?

D. 2 AO ? OD

????

解 : 由 2OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?2OA ? 2 AO , 即 B. ( )

??? ? ??? ? ????

??? ? ????

??? ?

????

??? ? ???? ???? ???? ???? ???? OB ? OC ? 2OD ? 2 AO ,所以 OD ? AO ,即 O 为 AD 的中点.选
4 .已知点 A( ?1,1), B (2, y ) ,向量 a=(1,2),若 AB / / a ,则实数 y 的值为

uuu r

r

A.5

B.6

C .7

D.8 C.

uuu r r ??? ? 【答案】C【解析】 AB ? (3, y ? 1) ,因为 AB / / a ,所以 y ? 1 ? 2 ? 3 ? 0 ,即 y ? 7 ,选
5 . 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60? , 点 M 在 AB 边 上 , 且

AM ?

???? ? ??? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3





3 C. ?1 D.1 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【 答 案 】 D DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB , 所 以 3 ???? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 ??? ? 2 4 ??? ? ??? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3 ???? ??? ? 7 4 7 4 1 D. ? ? AD ? AB cos 60? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1.选 3 3 3 3 2 ???? ???? o 6 .在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB.AC 的边长分别为 2、1, ? BAC=60 .则 AG ?BG = (
A. ? B. A. ?

3 2



8 9

B. ?

10 9

C.

5? 3 9

D.-

5? 3 9

【答案】A【解析】由 AB ? 2, AC

? 1, ?BAC ? 60? ,所以 BC ? 3, ?ACB ? 90? ,将直

角三角形放入直角坐标系中 ,

,则 A(0,1), B( ? 3, 0) ,所以重心

G (?

3 1 , ) 3 3

,





???? ? 2 3 1 3 2 ??? AG ? (? , ? ), BG ? ( , ) 3 3 3 3

,





???? ???? 3 2 2 3 1 8 AG ? BG ? ( ? , ? ) ?( , ) ? ? ,选 A . 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? ? ? 7 .若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? c 的最小值为
A. 2 ? 1
【答案】A

( D. 2



B.1

C. 2 ? 1

? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 3 ? 2(a ? b) ? c , 因 为

? ? a ?b ? 0

,



? ? ? a ? b ? c ?1

,





? ? a?c ? 2
,

, 所



以 以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? b c cos ? a ? b, c ?? 2 cos ? a ? b, c ?

? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? a ? b ? c ? 3 ?2 2 cos ? ( a ? b ),c ? , 所以当 cos ? (a ? b), c ?? 1 时 , a ? b ? c 最
小为 a ? b ? c ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) ,所以 a ? b ? c ?
2

? ? ?2

? ? ?

? ? ? 2 ? 1 ,即 a ? b ? c 的最小值

为 2 ? 1 .选 A.
8 .已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ?

?

? ?

? ?

( C. 4 D. 5



A. 2
【 答 案 】 【

B. 3 答 案 】 D





? ? ? a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) , 所 以
D.

? ? ? ? b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2)? (3,1)? ? ( 1, 3) ,所以 a ? b ? (1, 2) ? (?1,3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,选
9 .如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,E 为 BC 中点,则 AE ? BD ?
?

??? ? ??? ?

( A.-3 B.0 C.-1 D.1 以



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 【 答 案 】 C , 所 AE ? AB ? BE ? AB ? BC 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? AE ? BD ? ( AB ? BC ) ? BD ? AB ? BD ? BC ? BD 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 ? AB ? BD cos120? ? BC ? BD cos 60? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ,选 2 2 2 2

C.

? 上的点, M , N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 10.如图, AB 是圆 O 的直径, P 是圆弧 AB
???? ? ???? AB ? 6, MN ? 4 ,则 PM ? PN ?

( A.13 B.7 C .5 D.3



【 答 案 】 C 连 结 AP,BP. 则 PM ? PA ? AM , PN ? PB ? BN ? PB ? AM , 所 以

???? ?

??? ? ???? ? ????

??? ? ????

??? ? ???? ?

???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ?2 PM ? PN ? ( PA ? AM ) ? ( PB ? AM ) ? PA ? PB ? PA ? AM ? AM ? PB ? AM

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? 2 ???? ? ??? ? ???? ?2 ? ? PA ? AM ? AM ? PB ? AM ? AM ? AB ? AM ? 1? 6 ? 1 ? 5 .

11.已知

? ? ? ? a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为

?

?

( D.



A.

?
2
案 】

B. B

?

【 答

3 4 ? ? ? ? ? ?2 a ? (b ? a ) ? a ? b ? a ? 2

C.

?

?

6 ? ? , 所 以 a ?b ? 3 , 所 以
B.

? ? ? ? ? ? a ?b 3 1 ? cos ? a, b ?? ? ? ? ? ,所以 ? a, b ?? ,选 3 a b 1? 6 2
12.已知平面向量 a=(-2,m),b=(1,

? ? ? 3 ),且 (a ? b) ? b ,则实数 m 的值为
C. 4 3 D. 6 3





A. ?2 3

B. 2 3

【答案】 【解析】 B 因为 (a ? b) ? b ,所以 (a ? b) ? b ? a ? b ? b

? ?

?

? ? ?

? ? ?2

? 0 .即 ?2 ? 3m ? 4 ? 0 ,

解得 m ? 2 3 ,选
13. 若函数 f ( x) ? 2 sin(

B.

?
6

x?

?
3

)(?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函
( D.32 )

数的图象交于 B.C 两点,则 (OB ? OC ) ? OA ? A.-32 B.-16 C.16

【答案】D 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 4 ,即 A(4, 0) ,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B.C

两 点 , 根 据 对 称 性 可 知 , A 是 B, C 的 中 点 , 所 以 OB ? OC ? 2OA , 所 以

??? ? ????
D.

??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 (OB ? OC ) ? OA ? 2OA ? OA ? 2 OA ? 2 ? 42 ? 32 ,选

14、已知点 A

?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为(

??? ?



A. ? ,【答案】A

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

??? ? ??? ? AB ? (3, ?4) , 所 以 | AB ? | 5, 这 样 同 方 向 的 单 位 向 量 是
? 1 ??? 3 4 AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5
??? ? ???? 15 .已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为





3 2 2 【答案】A

A.

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为 AB ? (2,1), CD ? (5,5) , 所以 AB ? CD ? (2,1) ? (5,5) ? 15 , CD ? 5 ? 5 ? 5 2 。所以向量 AB 在 CD 方向上的
2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD 15 3 2 投影为 AB cos ? AB, CD ?? ??? ,选 A. ? ? ? 2 5 2 CD

16 .已知向量 m ?

?? ?1,1? , n ? ?? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则?= (
B. ? 3 C. -2 D. -1



A. ? 4
【答案】B

(m ? n) ? (m ? n) ? (2? ? 3,3) ? (?1,?1) ? ?(2? ? 6) ? 0 ,所以 ? ? ?3 ,
故选 B.
17 .已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____

____





A. 2 ? 1 【答案】C

B. 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

【命题立意】本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 ,不妨让 a, b 固定,设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1,即 c 的终点在以 u 对应点为圆
心,半径为 1 的圆上。则当 c 与 u 方向相同时, c

?

?

?

max

? 2 ? 1 ,选 C.

18 .设 a 是已知的平面向量且 a

? ? ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ? ? ? ? ? ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ;

?

?

②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1
【答案】B

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?





B.2

C .3

D.4

本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形 法则. 利用向量加法的三角形法则, 易的①是对的; 利用平面向量的基本定理, 易的②是对的; 以 a 的终点作长度为

? 的圆,这个圆必须和向量 ? b 有交点,这个不一定能满足,③

是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须

?b ? ?c =? +? ? a

,所以④是假命题.综上,本题选 B. ( D.0 )

19 .已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于

A. ? 2
【答案】C

B. 2

C. ? 2 或 2

因为 a ? (1, m), b ? (m, 2), 且a / /b, 所以 1? 2 ? m ? m ? m ? ? 2. ,所以选 C
20 .在四边形 ABCD 中, AC

?

?

?

? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为(
C .5 D.10



A. 5
【答案】C

B. 2 5

本 题 考 查 的 是 向 量 垂 直 的 判 断 以 及 向 量 的 模 长 . 因 为

AC ? BD ? 1? (?4) ? 2 ? 2 ? 0 , 所 以 AC ? BC , 所 以 四 边 形 的 面 积 为
12 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 | AC | ? | BD | ? ? 5 ,故选 C 2 2
二、填空题 21.若 a

?

? ? ? ? ?1, ?2 ? , b ? ? x,1? ,且 a ? b ,则 x =__________. ? ? ? ? ? b ,所以 a? b ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 .
??? ? ???? AC ? 3 , AB, AC ? 60? , 则

【答案】2 解:因为 a

22 . 如 图 , 在 △ABC 中 ,O 为 BC 中 点 , 若 AB=I,

??? ? OA ? ______________.

【答案】

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 13 1 3 ? 因为 AB, AC ? 60 ,所以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? ,又 2 2 2 ???? 1 ??? ? ???? ???? 2 1 ??? ? ???? ?2 ??? ? ???? ???? 2 1 ??? AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) 2 ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4

??? ? ???? 2 1 13 13 . AO ? (1 ? 3 ? 9) ? ,所以 OA ? 2 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23.已知向量 a, b 满足 a ? 2b ? a ? b ? ?6, 且 a ? 1, b ? 2 ,则 a与b 的夹角为_________

?

??

?

【 答 案 】

?

3 ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a? b 1 1 ? ,所以 a? b ? ?a ? 2b ? 6 ? ?1 ? 8 ? 6 ? 1 , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? a b 1? 2 2

【 解 析 】 由

? a ? 2b ? ? ? a ? b ? ? ?6,

?

?

? ?

得 a ? a? b ? 2b ? ?6 , 即

?2

? ?

?2

? ? ? ? ? ? ? a, b ?? ,即 a与b 的夹角为 . 3 3
24.已知向量 a ? (1,1), b ? ( 2,0) ,则向量 a, b 的夹角为______________. 【答案】

?
4

【 解 析 】 因 为 a ? (1,1), b ? (2,0) , 所 以 a ?

?

? 2, b ? 2 , 所 以

? ? ? ? ? ? a? b 2 2 ? ,所以 ? a, b ?? . cos ? a, b ?? ? ? ? ? 4 2 a b 2 2
25 . 如图 , 在平行四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 交于点 O ,

? ? _____________.

??? ? ???? ???? AB ? AD ? ? AO , 则

【答案】2

AB ? AD ? AC ? 2 AO ,所以 ? ? 2 ,故填 2.
???? ??? ?

BE ? 1 , 则 AB 26.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·
的长为______.

【答案】

1 2

??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? 因 为 E 为 CD 的 中 点 , 所 以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . 2 2 ? ? ? ? ? ???? ???? ??? ? A · ?1 C E AC ? AD ? AB 因 为 ,B 所 以

?

?

???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 2 1 ??? ? 2 1 ??? ? ???? AC· BE ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 2 2 1 1 1 1 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2





27 .

??? ? ??? ? OA 为 边 , OB 为 对 角 线 的 矩 形 中 , OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) , 则 实 数

k ? ____________.
【答案】4

本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算。在矩形中,

???? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O A? ( ?3, 1)O , B? ? ( 2 k,,)所 以 A B? O B ? O? A ( 2 ? , )k? ( ?3 , 1 ? )

为 (k 1, ? , 因1 )

? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? A B? O ,所以 A AB ? OA ? 0 ,即 ?3 ? k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 4 。
??? ? ??? ?

28. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90 ,则实数 t 的
o

值为______ 【答案】5

??? ? BA ? (?3, t ? 2)

,





?ABO ? 90o







??? ? ??? ? BA ? OB ? (?3, t ? 2) ? (2, 2) ? ?6 ? 2t ? 4 ? 0 ,故 t ? 5 。
? ?

29.若非零向量 a, b 满足 【答案】 ?

? ? ? ? ? ? a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

1 3

等式平方得: a ? 9 b ? a ? 4 b ? 4a ? b
2 则 a ? a ? 4 b ? 4|a|?|b|cos? ,即 0 ? 4 b ? 4 ? 3|b| cos? ,得 cos ? ? ?

?2

?2

?2

?2

? ?

?2

?2

?2

? ? ?

?2

?

1 3

30.已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 a2 、

??

?? ?

?? ? ?? ?? ? ?? a3 ; 以 C 为起点 , 其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 .若 i, j, k , l ??1,2,3? 且
?? ?? ? ?? ? ?? i ? j, k ? l ,则 ai ? a j ? ck ? cl 的最小值是________.

?

??

?

【答案】 ?5

根据对称性,

当向量 (ai ? a j )与(c k ? cl )互为相反向量,且它们 的模最大时

, (ai ? a j )( c k ? cl )最小。这时 ai ? AC , a j ? AD , c k ? CA, cl ? CB, (ai ? a j )( c k ? cl ) ? ? | ai ? a j ) | 2 ? ?5 。
31.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。

??? ? ??? ?

【答案】 2

???? 1 ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? A? D D, C BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 所 以 2 ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 。 2 2 2
在 正 方 形 中 , A E?

??? ?

32.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c
?

? 0 ,则 t ? _____.
? ?

【答案】2

o s 6 0 ? , 所 以 b ? c ? [ta ? (1 ? t )b] ? b ? 0 , 即 因 为 a? b ? a cb
?

?

?

?

?

? ? 2? t ? 1 ? t ? 0 ,解得 t ? 2 。 ,所以 t a ? b ? (1 ? ) t b? 0 2

1 2

? ?

?


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