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上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末考试 数学试题 (1)

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上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末考试 数学试题
(答题时间:90 分钟
题 号 得 分 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. 已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B = 2. “若 ? 一 1~12 二 13~16 17 18

试卷满分:100 分)
三 19 20 21 总分

?x ? 1 ?x ? y ? 2 ,则 ? ”是 ?y ?1 ? xy ? 1

(真或假)命题.

4 ? x2 3.函数 y ? 的定义域是_____________. x ?1
4. 命题“若 x≠3 且 x≠4,则 x –7x+12≠0”的逆否命题是 5.已知 f ?x? ? x x ? 2 , g ?x ? ? 6.若幂函数 f ( x) 的图像经过点 (3,
x
2

. . .

x ? 2 ,则 f ?x ? ? g ?x ? ?
3 ) ,则 f ( x) = 3

?1? 7.若函数 f ( x) ? ? ? ? m 的图像不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 . ? 2? ?- 2, a?上是奇函数,若 8. 设函数y ? f ?x ?在区间 f ?? 2? ? 11, 则f ?a ? ? __________.
9. 设 x ? 0 ,则 x ?

3 的最小值为 x ?1

10.已知 y ? f ?x ? 是 R 上的偶函数,且 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上是增函数,若 f ?a ? ? f ?2? ,则 a 的取值范围是 .
2

11 、 已 知 关 于 x 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 { x |1 < x < 2} , 则 不 等 式
2 c( 2x? 1) ? b (2 x? 1) ? a ?的解集为 0

12.近几年,每年 11 月初,黄浦江上漂浮在大片的水葫芦,严重影响了黄浦江的水利、水 质、航运和市容景观。为了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关。下图是科研人员在 实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图像。 假设其函数关系为指数函数, 并给 出下列说法: ①此指数函数的底数为 2;

②在第 5 个月时,水葫芦的面积会超过 30 m ; ③水葫芦从 4 m 蔓延到 12 m 只需 1.5 个月; ④设水葫芦蔓延至 2 m 、3 m 、6 m 所需的时间分别为 t1 、 t 2 、 t3 ,则有 t1 ? t2 ? t3 ;
2 2 2
2 2

2

其中正确的说法有

. (请把正确的说法的序号都填在横线上).

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 3 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论代号是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13.若下列命题中正确的是: ( A)若 ac ? bc ,则 a ? b ( C)若
2 2 (B) 若 a > b ,则 a ? b

(

)

1 1 ? ,则 a ? b a b

(D) 若 a ? b ,则 a ? b ( )

14.设命题甲为“ 0<x<5” ,命题乙为“ |x-2|<3” ,那么甲是乙的: ( A)充分非必要条件; ( C)充要条件; ( B)必要非充分条件; ( D)既非充分又非必要条件

x 15.若集合 M ? y y ? 2 , P ? y y ?

?

?

?

x ? 1 ,则 M ? P =
(C) y y? 0?

?

( (D) y y? 0? (



(A) y y? 1?

?

(B) y y? 1?

?

?

?

16. 函数 y ? ? ? 的图像是

?1? ?2?

x



三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分)

? x?3 ?2 ? 解不等式组 ? x ? 1 2 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0

【解】 18.(本题满分 8 分)

3x ? 1 已知函数 f ? x ? ? x ,判断函数 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由. 3 ?1
【解】 19.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 设集合 A ? {x | x 2 ? 4x ? 0, x ? R} , B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0, x ? R} , (1)若 A∩B=A∪B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B= B,求实数 a 的取值范围。 20. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 将长为 12 米的钢筋截成 12 段,做成底面为正方形的长方体水箱骨架,设水箱的高 h , 底面边长 x ,水箱的表面积(各个面的面积之和)为 S。 (1)将 S 表示成 x 的函数。 (2)根据实际需要,底面边长不小于 0.25,不大于 1.25,当底面边长为多 少时,这个水箱表面积最小值,并求出最小面积。 【解】 21. (本题满分 14 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 5 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

(1)若方程 f ( x) ? 3x ? 1 有且只有一个实数解 x ? 2 ,求实数 a、b 的值; (2)设 a ? 0 , x ? (0 , ? ?) ,写出 f ( x) 的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义 进行证明; (3)若对任意 a ?[ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 x ?[ ,1] 上恒成立,求实数 b 的取值范围。 【解】

a ? b ,其中 a、b 为实常数。 x

1 2

1 4

答案及评分细则
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分。每个空格填对得 3 分,等价即得分.) 1. {?1,0,1,2,4} ; 2.真; 3. ? ?2,1? 5. x ? 2 x
2

?1,2? ;

4.若 x2–7x+12=0,则 x=3 或 x=4 ; 8.-11 ; 9. 2 3 ? 1 ;

?x ? 2? ;

6.

1 ; 2

7. m ? ? 1 ;

10. ?? 2,2?

; 11. (?

1 , 0) ; 4

12. ①②④

二、选择题 (本大题共有 4 题,每小题 3 分,本大题满分 12 分) 13. D;
17.(本题 8 分)

14. A;

15.C;

16.B

三、解答题(其他解法相应得分)

解:



x?3 x ?1 ? 2 得: ? 0 ,∴ x ? ?1或x ? 1 ???????3 分 x ?1 x ?1
2

由 x ? 6 x ? 8 ? 0 得: 2 ? x ? 4 ??????????? 6 分 ∴不等式组得解集为 18.(本题 8 分) 解:奇函数 ??????????????????????????2 分

? 2, 4 ? ???????????????

8分

? 任意x ? R



1 1 ? 3x ? 1 x x 3? x ? 1 1 ? 3x f ? ? x ? ? ? x ?3分? ? 3 4分? ? 3 x ?5分? ? 6分? ? ? f ? x ? ?7分? ? x ? 1 1 ? 3 3 ?1 1 ? 3 ?1 3x 3x

? f ?x ? 为奇函数. (8 分)
19.(本题 10 分,4+6) 解:(1) A={x|x2+4x =0,x∈R}={0,-4}????????????????1 分 若 A∩B=A∪B,则 A ? B ????????????????2 分 ???????????3 分

? a2 ?1 ? 0 ?a ? 1或a ? ?1 ? ?? ? 2 ? ?16 ? 8 ? a ? 1? ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1或a ? 7

∴ a ? 1 ?????????????????????????????4 分 (2)若 A∩B= B,则 B ? A ∴ B= ? 或{0}或{-4}或{0,-4};???????????????????5 分 ①当 B= ? 时,⊿=[2(a+1)]2-4?(a2-1)<0 ? a< -1???????????6 分 ②当 B={0}时, ?

?0 ? ?2( a ? 1)
2 ?0 ? a ? 1

?

a=-1

? ??????????7 分

③当 B={-4}时, ?

? ?4 ? 4 ? ?2( a ? 1)
2 ?16 ? a ? 1

? a 不存在? ??????????8 分

④当 B={0,-4}时, ?

? ?4 ? 0 ? ?2( a ? 1)
2 ?0 ? a ? 1

? a=1

??????????9 分

∴ a 的取值范围为 (??,?1] ? {1} 。

??????????10 分

20.(本题 12 分,6+6) 解:(1)由题得 8 x ? 4h ? 12 ????????????????????2 分

水箱的表面积 S ? 4 xh ? 2 x ?????????????????4 分
2

? 3? ? S ? x?12 ? 8x? ? 2x 2 = ? 6 x 2 ? 12x (5 分) x ? ? 0, ? ????6 分 ? 2?
(2) S= ? 6?x ? 1? ? 6 (8 分)
2

9分 x ??0 . 2 5 , 1 . 25 ? ????????

21 ??????????????????11 分 8 21 ? 当水箱的高与底面边长都为 0.25 米时,这个水箱的表面积最小,为 平方米?12 分 8

? 当 x ? 0.25时,S小 =

21.(本题 14 分,3+6+5)

解: (1)由 f ( x) ? 3x ? 1 得 x ?

a ? b ? 3x ? 1 ,即 2 x2 ? (1 ? b) x ? a ? 0 , ???1 分 x ? ?a ? ?8 ? 10 ? a ? 2b ? 0 , ? 。????????????????3 分 ? 2 ?b ?9 ? ?(1 ? b) ? 8a ? 0

(2) f ( x) 在 (0 , a ] 上是单调递减函数,在 [ a , ??) 上是单调递增函数。 证明:设 x1 , x2 ? (0 , ? ?) ,且 x1 ? x2 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ?

a a a ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) , x1 ? x2 ? 0 ,??????5 分 x1 x2 x1 x2
a ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ( x) 在 (0 , a ] 上递减;??7 分 x1 x2
a ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ( x) 在 [ a , ??) 上递增;?9 分 x1 x2

当 x1 , x2 ? (0 , a ] 时, 1 ?

当 x1 , x2 ?[ a , ??) 时, 1 ?

(3)∵ f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 中的较大者,???????11 分

1 4

1 4

? 1 1 1 ? f ( ) ? 10 ,?????13 分 a ?[ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 x ?[ ,1] 上恒成立,∴ ? 4 4 2 ? ? f (1) ? 10 39 ? ? 4a 7 7 ?b ? , b ? ,即 b ? (?? , ] 。 ?????????????????14 分 4 ? 4 4 ? ? b?9?a


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