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2.3抛物线终结版教案


2.3抛物线

进入抛物线的内部世界

y

o

x

探 究 ?

画图观察

再次观察

问题探究:
M

H

·

/>C

·
F 观察发现

l

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

知识点一:抛物线的定义及其标准方程
H 一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. l 准线 点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线 d
M

·
焦 点

C

·
F

d 为 M 到 l 的距离

MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 想一想:比较椭圆、双曲线的标准方程的建立过 程,如何建立坐标系,才能使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

二、标准方程的推导
yy
M

如何建立坐标系呢?

H

·

C
xx
思考:抛物线是 轴对称图形吗?怎 样建立坐标系,才能 x 使焦点坐标和准线 方程更简捷?

y00
l

·
F

0

y
M(x,y)
K o F

解:以过F且垂直于 l 的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x , y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

l
1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:

焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2

一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程有四种形式.

四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?
? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

准线方程
p x?? 2

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

p x? 2

x 2 ? 2 py

? p ? 0?

? p? ? 0, ? ? 2?

p y?? 2

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

观察上表:抛物线的标准方程的四种不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系 是有规律的,这个规律是什么?

第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.

第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

根据标准方程的知识,我们可以确定抛物 线的焦点位置及准线方程.
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程.

3 解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是 ( , 0) 2 3 准线方程是 x ? ?

,

p (2)因为焦点在y轴的负半轴上,且 ? ? ?2, 2 ,所以所求抛物线的标准方程是 x 2 ? ?8 y ?p?4

2

例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=


A

y

9 4

O

x

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得p=

2 = 9 y 或 y2 ∴抛物线的标准方程为x

2 3

2

=

4 ? x 。 3

思考:M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点
M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是

x0 +
这就是抛 物线的焦 半径公式!

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

小结:
1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本 质,灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易, 且思路清晰,解法简捷,巧妙解法常常来源于对定 义的恰当运用. 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对 焦点和准线对应一种形式.抓住标准方程的特点, 注意与焦点位置,开口方向的对应关系;

3、注重数形结合和分类讨论的思想。

不同位置的抛物线
y
y

y
y l O


F

x
F

O

F

O

x

x

F O l


l

x

l

焦点位置
标准方程 焦点坐标

x轴的 正方向 y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x =2

x轴的 负方向 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正方向 x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y =2

y轴的 负方向 x2=-2py
p F ( 0, - ) 2 p y= 2

准线方程

知识点二:抛物线的简单几何性质 y
o
F

结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R

.

x

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点.

y

(4)离心率

e=1

P

(5)焦半径
(6)通径

|PF|=x0+p/2

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度:2P

特点:
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;

2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大!

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2
p ? ( x1 ? x2 )

(0,0)
p ? y0 2
p ? y1 ? y2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可

避免讨论!

y 2 ? 8 x 的焦点,作倾斜角为 450 例2、(1)过抛物线

的直线,则被抛物线截得的弦长为 . (2)过抛物线的焦点做倾斜角为? 的直线L, 设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求 y |AB|的最小值.
A

思考:通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗?
F B

?
x

例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线y ? 2 px p ? 0)上,求这个 (
2

正三角形的边长.

y

A

O B

x

一、抛物线的几何性质:
性质

方程

设抛物线方程为:y ? 2 px, ( p ? 0)
2

y

l

d

M

图形

K

O

F

x

范围 对称性

顶点坐标

x ? 0, y ? R 关于x轴对称 坐标原点(0,0)
e ?1
p | MF |? x0 ? , 2 M ( x0 , y0 )

离心率 焦半径 通径

| AB |? 2 p

二、抛物线的焦点弦:

如图所示,弦AB过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F, 设A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ),弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为A1、B1、P,依据 1 抛物线的定义,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线, 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此,我们容易得到
p1
B1 l

y
A

A1 p F B

x

抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB |? x1 ? x2 ? p ? 2 x0 ? p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外,将直线方程与抛物线方程联立方程组, l 我们还可以推得以下结论:
y
A

2P (1)若直线的倾斜角为?,则 | AB |? . 2 sin ?
(2) A、B两点间的横坐标之积,纵坐标之积均为 定值,即x1x2 ? p , y1 y2 ? ? p 2 . 4
2

A1 p1
B1

?
F

p

(3)设 | AF |? m,| BF |? n, 则

1 1 2 ? ? . m n p

B

x

(4)所有的焦点弦中,通径是最短的.

通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 最小值

2P 的 | AB |? 2 sin ?

1、求焦点为F (?2,3),准线方程为y ? 5的抛物线方程.
y

解:设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
?

.
P

F

O

x

P到F的距离等于到直线y ? 5的距离
即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ?| y ? 5 |

化简得: ? 2) 2 ? ?4( y ? 4) (x

2、设P是曲线y 2 ? 4( x ? 1)上一动点,则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是?
解:曲线y 2 ? 4( x ? 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为2的抛物线
y

d

P?

所以抛物线的准线:x ? 0, 焦点:F (2,0)
? d ?| PF |

A?
O

?

.

F

x

又 | PA | ? | PF |?| AF |

?当A, P, F共线时,PA | ? | PF |) min ?| AF | (|

? (| PA | ? d ) min ?| AF |? 5

3、过抛物线y ? ax 2 (a ? 0)的焦点F 作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点,若线段PF , QF的长度分别是p, q,则 ? ? ? p q y 1 2 抛物线:x ? y a ? P 1 Q? . F 焦点:F (0, ) 4a x O 1 准线:y ? ? 4a

4、抛物线y 2 ? x和圆( x ? 3)2 ? y 2 ? 1上最近两点间的距离为? y 分析:如图, P Q 抛物线上任意一点P与圆上任意一点Q

| PQ |?| PA |
? PQ | 最小值时,连线必经过圆心 |

O F

.

A

? C

x

设P( x, y), C (3,0)

? x 2 ? 5 x ? 9 ( x ? 0) ?| PC |? ( x ? 3) ? y
2 2

5 11 ?当x ? 时,PC |min ? | 2 2 11 ?| PQ |min ? ?1 2

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

A 1 解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB : y ? ? x k . x O F ?M 2 2 ?y ? kx ? y A ? , xA ? 2 联立? 2 k k ? y ? 2x B 1 ? ?y ? ? x 联立? k ? yB ? ?2k , xB ? 2k 2 ? y2 ? 2x ? x A ? xB 1 1 ? ? 2 ? k 2 ? ( ? k )2 ? 2 x? ? ? k 2 k ?? ? 轨迹方程:y 2 ? x ? 2 ? y ? y A ? yB ? 1 ? k ? ? 2 k

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

(2)设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b

A

O F ?M ? y ? k x? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b 2 ? 0 B ? y ? 2x

.

x

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理y1 y2 ? k k

b 2 2b 由OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? ? 0 ? b ? ?2k k k
? l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

6、已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 求证:OA⊥OB. 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB
y

A

O

C(2p,0) y2=2px B
L:x=2 p

x

变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点,求证:OA⊥OB. y A

2

设A ? x1 , y1 ? 、B ? x2 , y2 ?

O

P(2p,0)

x

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

B
l

y2=2px

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................

y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 变式2: 若直线l与抛物线

且OA⊥OB ,则_____l过定点(2p,0) _____. 直线
y

设A ? x1 , y1 ? 、B ? x2 , y2 ?

A

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O

P

x

B
l

y2=2px

y 2 ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a 2

....................

知识点三:直线与抛物线的位置关系
二讲授新课
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种? (1)有一个公共点 (2) 两个公共交点 (3)没有公共点

x F

例1:判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x的
位置关系及求交点坐标? 相交(9,6)

问题:直线与抛物线的对称轴 平行时都有一个交点吗?
注意,当直线与抛物线的对 称轴平行时有一个交点 O

y

x

例1 当k为何值时,直线y= kx+2与抛物线 y 2 ? 2x (1)两个交点(2)一个交点,(3)没有交点 y ? kx ? 2 解:由方程组{ 2 消去 y ,并整理得 y ? 2x
当k=0时,(1)是关于x的一元一次方程。

k 2 x 2 ? (4k ? 2) x ? 4 ? 0( ) 1
x ? 2, y ? 2
此时直线与抛物线有一个交点

当k ? 0时 Δ ? (4k ? 2) 2 ? 4 ? 4k 2 ? ?16k ? 4
1 (1)当Δ ? 0即k ? 时,直线与抛物线有两个交点。 4 1 (2)当? ? 0即k ? 时,直线与抛物线有一个交点。 4
(3)当? ? 0即k ?
1 综上所述:当k ? 时,直线和抛物线有两个交点; 4 1 当k ? 0或k ? 时,直线和抛物线有一个交点; 4 1 当k ? 时,直线和抛物线没有交点。 4

1 时,没有交点。 4

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

例2 求过定点P(0,1)且与抛物线y 2 的直线的方程.

只有一个公共点 ? 2x

解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.

?x ? 0 由? 2 求得交点(0, 故直线 x=0与抛物线只有一个交点. 0) ? y ? 2x
y

(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的 直线方程是y=kx+1 ? y ? kx ? 1 消y得k 2 x 2 ? 2(k - 1)x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 2x
1 当k ? 0时,x ? , y ? 1 2

y2=2x
P(0,1)
O

x

故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 . 当k≠0时,若直线与抛物线只有一个公共点,则 1 1 2 2 Δ ? 4(k ? 1) ? 4k ? 0,? k ? . 此时直线方程为y ? x ? 1. 2 2 1 综上所述:所求直线方程为x ? 0或y ? 1或y ? x ? 1 2

例3 倾斜角为1350 的直线,经过抛物线 y y2 = 8x的焦点,则截得的弦长是多少?
解 (法1)由y2 = 8x的焦点F(2,0) K=-1直线方程为y=-x+2
A

? y 2 ? 8x 由? 得 ? y ? ?x ? 2

X2-12x+4=0

O

F

x
B

所以A(6 ? 4 2 ,?4 ? 4 2 ) B (6 ? 4 2 ,?4 ? 4 2 ) AB ? 16
法2 焦半径
p AF ? x1 ? 2

p BF ? x2 ? ? AB ? x1 ? x2 ? P 2

2 2 法3,弦长公式 AB ? (1 ? k ) (x1 ? x 2) ? 4 x1 x2

例4、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两交点为A、 B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程.
解:由题意可知,直线l斜率一定存在,故可设l的方程为y - 1 ? k(x - 2) k ? 0) ( , 设直线与抛物线的交点坐标A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2

? y 2 ? 4x 而由? 消x得ky 2 - 4y ? 4 - 8k ? 0( ) 1 ? y ? 1 ? k ( x ? 2)

4 由韦达定理可得 y1 ? y 2 ? ? 2 ? k ? 2 k

此时,方程()的判别式? ? 16 ? 4k(4 - 8k) ? 112 ? 0 1
所以直线l的方程为y - 1 ? 2(x - 2), 即2x - y - 3 ? 0

例4、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线两交点为A、 B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程.
解法二:由题意可知,直线l斜率一定存在,故可设A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2(x1 ? x 2) ) , 则x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2
2 ? y1 ? 4 x1 y ? y2 4 ? 由? 2 ? 1 ? ?2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? y 2 ? 4 x2 ?

即k AB ? 2

此时直线l的方程为y - 1 ? 2(x - 2), 即2x - y - 3 ? 0
? y 2 ? 4x 由? 消x得y 2 - 2y - 6 ? 0 ? ? ? 0 ?2 x - y - 3 ? 0

所以直线l的方程为y - 1 ? 2(x - 2), 即2x - y - 3 ? 0

说明:中点弦问题的解决方法:
①联立直线方程与曲线方程,用韦达定理 ②点差法

例5、已知?ABC的三个顶点都在抛物线y 2 ? 32 x上,顶点A(2,8), 三角形的重心恰好是抛物线的焦点,求BC所在直线方程.

解:由y 2 ? 32 x得焦点坐标为(8,0), 设B( x1 , y1 )、C ( x2 , y2 ),
? A(2,8), 三角形重心是(8,0),
? x1 ? x2 ? 2 ? 8, ? ? x1 ? x2 ? 22, ? 3 ?? 即? ? y1 ? y2 ? 8 ? 0. ? y1 ? y2 ? ?8. ? 3 ?

y
A(2,8)

故BC 中点为(11,?4). ? y12 ? 32 x1 y1 ? y2 32 ? 又由? 2 ? ? ? ?4 x1 ? x2 y1 ? y2 ? y 2 ? 32 x2 ? ? k BC ? ?4. 故BC方程为4 x ? y ? 40 ? 0.

o
B

.

F

x

C

?4 x ? y ? 40 ? 0, 2 又由? 2 得 x ? 22 x ? 100 ? 0, ? ? 84 ? 0. ? y ? 32 x.

故BC所在直线的方程为4 x ? y ? 40 ? 0.

课堂练习
1、抛物线 y2 = 2x中,一条过焦点的弦长为16, 求此焦点弦所在的直线方程?
1 1 y ? ? (x ? ) 7 2

2、过Q(4,1)点作抛物线y2 =8x的弦AB恰 被Q点所平分,求AB所在直线方程?

4x - y -15 ? 0

3.已知抛物线y 2 ? 6 x, 过点P (4,1)引一条弦,使它恰在点P被平 分,则这条直线的方程为 y ? 3 x ? 11 .

4. AB为抛物线x 2 ? 4 y上的过焦点的弦,且| AB |? 2m(m ? 2) 则弦AB的中点M到x轴的距离为 m ? 1 .最短的距离为

1

.

例6.若直线y ? k x ? b与抛物线x 2 ? 4 y相交于A、B两点,且 | AB |? 4,
①试用k来表示b; ② 求弦AB中点M离x轴的最短距离. 解:①设直线AB : y ? kx ? b, A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),

y B

②显然点M到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值,由y ? 0, 故 | y |? y. 2 2 y1 ? y2 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 2 ?y ? ? ? ? 2k ? b 2 8 8

? y ? kx ? b A 由? 2 消去y, 得x 2 ? 4kx ? 4b ? 0. ?x ? 4 y ? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b.? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 1 化简得b ? ? k 2. 1? k 2

o

x

1 ?k ? 1? k 2
2

? k 2 ?1?

1 1 ? 1 ? 2 k 2 ? 1? ?1 ? 1 1? k 2 1? k 2

当且仅当

1 ? 1 ? k 2 , 即k ? 0时“?”号成立. 1? k 2

练习:已知抛物线x2=4y,动弦AB的长为4,求AB中点纵坐标的最小值.

解法二: A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
y

2 MN ? AD ? BC ? AF ? BF

M A D F

B

p MN ? ? y0 ? 1 ? y0 , 2

o
N C

x

AF ? BF ? 2(1 ? y0 )
而在?ABF中, AF ? BF ? AB ? 4

? (| AF | ? | BF |) min ? 4

即y0 min ? 1

已知抛物线x 2 ? 2 y, 过点Q(0,2)作一直线交抛物线于A、B两点,试 例7. 求弦AB中点的轨迹方程.

解法1: AB的中点为M,并设A、B、M点的坐标为( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x, y ), 设弦 ( ( 根据题意,有
2 y1 ? x1
2 2

① ②

y

① ? ②得 2( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 又? x1 ? x2 , 且x1 ? x2 ? 2 x,
y?2 ?k ? x ? , 即 y ? x 2 ? 2. x ?x2 ? 2 y ? x 2 ? 4 ? 0, 则? ? 0 联立得? 有 ? y ? x2 ? 2 ?

2 y 2 ? x2

. Q
o x

? 弦AB的中点的轨迹方程为y ? x 2 ? 2.

解法2: 设过Q(0,2)的任意一条弦AB的方程为y ? kx ? 2
? y ? kx ? 2 联立? 2 ,得x 2 ? 2kx ? 4 ? 0 ① ?x ? 2 y 此一元二次方程的两个根x1、x1分别是弦AB两个端点A、B

的横坐标,由韦达定理可得
设AB的中点M ( x, y ), 则有x ? k ,即k ? x.

x1 ? x2 ? 2k

代入直线方程整理得y ? x 2 ? 2.

又因为①式有两个不同的实根,故 ? ? 4k 2 ? 16 ? 0 即k ? R, 则有x ? R.

? 弦AB的中点的轨迹方程为y ? x 2 ? 2.

变式1:已知抛物线x 2 ? 2 y, 过点Q(0,?2)作一直线交抛物线于A、B两点,
试求弦AB中点的轨迹方程.

设过Q(0,?2)的任意一条弦AB的方程为y ? kx ? 2 解:
? y ? kx ? 2 联立? 2 ,得x 2 ? 2kx ? 4 ? 0 ① ?x ? 2 y 此一元二次方程的两个根x1、x1分别是弦AB两个端点A、B

的纵坐标,由韦达定理可得

设AB的中点M ( x, y ), 则有x ? k ,即k ? x.

x1 ? x2 ? 2k
2

y

代入直线方程整理得y ? x ? 2.
又因为①式有两个不同的实根,故 ? ? 4k ? 16 ? 0 得k ? 4
2 2

. Q
o

即x 2 ? 4 ? x ? -2或 x ? 2

.Q

x

? 弦AB的中点的轨迹方程为y ? x 2 ? 2( x ? ?2或x ? 2).

练习: 已知抛物线x 2 ? 2 y, 过点Q(1,2)作一直线交抛物线于A、B两点, 试求弦AB中点的轨迹方程.
解:设过Q(1,2)的任意一条弦AB的方程为y ? k ( x ? 1) ? 2
? y ? k ( x ? 1) ? 2 联立? 2 ,得x 2 ? 2k x ? 2k ? 4 ? 0 ?x ? 2 y



此一元二次方程的两个根x1、x1分别是弦AB两个端点A、B 的横坐标,由韦达定理可得x1 ? x2 ? 2k

设AB的中点M ( x, y), 则有x ? k ,即k ? x.
代入直线方程整理得y ? x 2 ? x ? 2.
又因为①式有两个不同的实根, 故? ? k 2 ? 2k ? 4 ? (k ? 1) 2 ? 3 ? 0恒成立,故k ? R

?弦AB的中点的轨迹方程为y ? x 2 ? x ? (x ? R) 2

小结
直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系 (1)若消元得到二次方程,则

??0

??0 ? ??0?

?

方程组两组解 方程组一组解 方程组没有解

?

两个交点 一个交点

? ?

没有交点

(2)若消元得到一次方程,则方程组只有一组解,直线和 抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.

课堂练习
1.设抛物线y 2 ? 4 x截直线y ? 2 x ? k所得的弦长 | AB |? 3 5 , 则k ?

?4

2.抛物线的一条弦所在直线是 y ? 2 x ? 5 ,且弦的中点的横坐标为

-3,则此抛物线的方程为

y 2 ? ?4 x

.

2 3.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F ,作互相垂直的两条焦点弦 AB和CD

则| AB | ? | CD |的最小值为

16

.


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