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2016福建商业高等专科学校高职招考数学模拟试题(附答案解析)


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2016 福建商业高等专科学校高职招考数学模拟试题(附答 案解析)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题 p:a2+b2<0(a,b∈R);命题 q:a2+b2≥0(a,b∈R),下列结论正确的是 A.“p 或 q”为真 B

.“p 且 q”为真 C.“非 p”为假 D.“非 q”为真 2.已知向量 a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),那么|a-b|的值是 A. B. C. D.1 3.正项等比数列{an}满足:a2?a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项的和是 A.65 B.-65 C.25 D.-25 4.空间四边形四条边所在的直线中,互相垂直的直线最多有 A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 5.P 为椭圆 椭圆的离心率为 A. =1 上一点,F1、F2 为焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则

B.

C.

D. 6.有下面四个命题,其中正确命题的序号是 ①“直线 a、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线 a、b 不相交”; ②“直线 l⊥平面α 内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α ”; ③“直线 a∥直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面”; ④“直线 a∥平面α ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于α 内的一条直线.” A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 7.如果 a1、a2、a3、a4、a5、a6 的平均数(期望)为 3,那么 2(a1-3)、2(a2-3)、2(a3- 3)、2(a4-3)、2(a5-3)、2(a6-3)的平均数(期望)是 A.0 B.3 C.6 D.12 8.如果函数 y=log2|ax-1|(a≠0)的图象的对称轴方程是 x=-2,那么 a 等于 A. B.- D.-2 9.若 f(x)=ax3+3x2+2,且 f′(-1)=4,则 a 等于 C.2

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A. B. C.

D. 10.已知抛物线 y=ax2 的焦点为 F,准线 l 与对称轴交于点 R,过抛物线上一点 P(1, 2)作 PQ⊥l,垂足为 Q,则梯形 PQRF 的面积为 A. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) B. C.

11. 已知 x 、 y 满足线性约束条件 则线性目标函数 z=3x+2y 的最小值是 _________. 12.(1-x+x2)3(1-2x2)4=a0+a1x+a2x2+?+a14x14,则 a1+a3+a5+?+a11+a13=___________. 13.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面相内切,第二个球与正方体各条 棱相切,第三个球过正方体各顶点,则这三个球的面积之比为___________. 14.设函数 f(x)=sin(wx+ )(w>0,- < < ,给出以下四个结论: 对称;③它的图象关于点( ,0)对称;

①它的周期为π ;②它的图象关于直线 x=

④在区间(- ,0)上是增函数. 以其中两个论断为条件,另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题: ________________________________________________________________________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方 通过(绿灯亮通过)的概率分别为 , , ,对于在该大街上行驶的汽车, 求:(1)在三个地方都不停车的概率; (2)在三个地方都停车的概率;

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(3)只在一个地方停车的概率.

16.(本小题满分 12 分) 已知平面向量 a=( ,-1),b=( , ),若存在不为零的实数 k 和角α ,使向量 c=a+ (sin α -3)b,d=-ka+(sinα )b,且 c⊥d,试求实数 k 的取值范围.

17.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PD⊥底 面 ABCD,PD=AD. 求证:(1)平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求 PC 与平面 PBD 所成的角; ( 3 )在线 段 PB 上是否存在一 点 E ,使 得 PC ⊥平 面 ADE?若存在,请加以证明,并求此时二面角 A—ED—B 的大 小;若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 13 分) 如图所示,曲线段 OMB 是函数 f(x)=x2(0<x<6)的图象, BA⊥x 轴于 A,曲线段 OMB 上一点 M(t,f(t))处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q,

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(1)试用 t 表示切线 PQ 的方程; (2)试用 t 表示出△QAP 的面积 g(t);若函数 g(t)在(m,n)上单调递减,试求出 m 的 最小值; (3)若 S△QAP∈[ ,64],试求出点 P 横坐标的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上, 且满足 ? =0, =- , (1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E (x0,0),使得△ABE 为等边三角形,求 x0 的值.

20.(本小题满分 16 分) 设 f1(x)= ,定义 fn+1 (x)=f1[fn(x)],an= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+?+2na2n,Qn= 小,并说明理由. ,其中 n∈N*.

,其中 n∈N*,试比较 9T2n 与 Qn 的大

参考答案及解析
1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C

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11. 12.-13 13.1∶2∶3 14.①② ? ? = . 4分 (2)P= ? ? = 8分 (3)P= 16.∵c⊥d, ∴c?d=0, 2分 即[a+(sinα -3)b]?[-ka+(sinα )b]=0, 4分 2 也即-ka +a?b?sinα -k(sinα -3)a?b+sinα (sinα -3)b2=0, 又∵a=( ,-1),b=( , ), 2 2 2 ∴a?b=0,且 a =|a| =4,b =|b|2=1, 6分 ∴-4k+sinα (sinα -3)=0, 8分 k= (sinα - )2- , ? ? 12 分 + ? ? + ? ? = . ③④或①③ ②④

15.(1)P=

10 分 而-1≤sinα ≤1, ∴当 sinα =-1 时,k 取最大值 1; 当 sinα =1 时,k 取最小值- .

所以所求 k 的取值范围为[- ,1] 12 分 17.(1)∵PD⊥底面 ABCD, ∴AC⊥PD, 又∵底面 ABCD 为正方形, ∴AC⊥BD,而 PD 与 BD 交于点 D, ∴AC⊥平面 PBD, 2分 又 AC 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBD. 4分 (2)记 AC 与 BD 相交于 O,连结 PO,由(1)知,

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AC⊥平面 PBD, ∴PC 在平面 PBD 内的射影是 PO, ∴∠CPO 就是 PC 与平面 PBD 所成的角, 6分 ∵PD=AD, ∴在 Rt△PDC 中,PC= CD,

而在正方形 ABCD 中,OC= AC= CD, ∴在 Rt△POC 中,有∠CPO=30°. 即 PC 与平面 PBD 所成的角为 30°. 8分 (3)在平面 PBD 内作 DE⊥PO 交 PB 于点 E,连 AE, 则 PC⊥平面 ADE.以下证明: 由(1)知,AC⊥平面 PBD, ∴AC⊥DE, 又 PO、AC 交于点 O, ∴DE⊥平面 PAC, ∴DE⊥PC,(或用三垂线定理证明) 而 PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD, 又∵AD⊥CD,∴AD⊥平面 PCD,∴AD⊥PC, ∴PC⊥平面 ADE,由 AC⊥平面 PBD, ∴过点 O 作 OF⊥DE 于 F, 连 AF,由三垂线定理可得,AF⊥DE, ∴∠OFA 是二面角 A—ED—B 的平面角, 10 分 设 PD=AD=a,在 Rt△PDC 中, 求 OF= a,

而 AO= a, ∴在 Rt△AOF 中,∠OFA=60°, 即所求的二面角 A—ED—B 为 60°. 13 分 2 18.(1)设点 M(t,t ), 又 f′(x)=2x, ∴过点 M 的切线 PQ 的斜率为 k=2t, 2分 ∴切线 PQ 的方程为 y-t2=2t(x-t), 即 y=2tx-t2. 4分 (2)由(1)可求得 P( ∴g(t)=S△QAP= (6- ,0),Q(6,12t-t2)

t)(12t-t2)

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= t3-6t2+36t,(0<t< , 6分 由于 g′(t)= t2-12t+36, 令 g′(t)<0,则 4<t<12, 又 0<t<6,∴4<t<6, ∴g(t)的单调递减区间为(4,6), 因此 m 的最小值为 4. 8分 (3)由(2)得,g(t)在(4,6)上递减, ∴此时 S△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64), 令 g′(t)>0,得 0<t<4, ∴g(t)在(0,4)上递增. ∴此时 S△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64), 又 g(4)=64, ∴函数 g(t)的值域为(0, . 10 分 由 ∴ ≤ ≤g(t)≤64,得 1≤t<6, <3, , . 13 分 19.(1)设点 M 的坐标为(x,y),由 2分 由 ? 2 又得 y =4x, =0,得(3,- )(x, =- ,得 P(0,- ),Q( ,0),

∴点 P 的横坐标∈[

)=0, 5分

由点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x>0, 所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. 6分 (2)设直线 l:y=k(x+1), 其中 k≠0,代入 y2=4x, 得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0,① 7分 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两个实根,

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∴x1+x2=- ,x1x2=1, , ),

所以,线段 AB 的中点坐标为( 9分 线段 AB 的垂直平分线方程为 y- =- (x- ),

11 分 令 y=0,x0= +1, +1,0) +1,0)到直线 AB 的距离等于 |AB|,

所以点 E 的坐标为(

因为△ABE 为正三角形,所以点 E( 而|AB|= = ? , 13 分

所以,

=

,

解得 k=±

,得 x0=

. 14 分

20.(1)f1(0)=2,a1= fn+1(0)=f1[fn(0)]=

= ,

,

an+1= =-

= =- an,

=

4分 ∴数列{an}是首项为 ,公比为- 的等比数列,

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∴an= (- )n 1.


6分 (2)T2n=a1+2a2+3a3+?+(2n-1)a2n-1+2na2n, - T2n=(- a1)+(- )2a2+(- =a2+2a3+?+(2n-1)a2n-na2n, )3a3+?+(- 9分 两式相减得 T2n=a1+a2+a3+?+a2n+na2n, )(2n-1)a2n-1+(- )?2na2n

所以, 分 T2n= -

T2n=

+n?

(-

)2n 1=




(-

)2n+

(-

)2n 1,


11

(-

)2n+ , ,

(-

)2n 1=


(1-

).

∴9T2n=1- Qn=1-
2n

13 分 当 n=1 时,2 =4,(2n+1) =9,∴9T2n<Qn; 当 n=2 时,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n<Qn; 14 分 2n 当 n≥3 时,2 =[(1+1)n]2
2

=(C +C +C +?+C )2>(2n+1)2, ∴9T2n>Qn. 16 分


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