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2013届高考文科数学一轮复习考案2.4 二次函数与幂函数

时间:2012-08-10


§2.4 二次函数与幂函数
考纲解读 知识盘点 典例精析 命题预测

基础拾遗
技巧归纳 例题备选

真题探究

考 1



考纲解读 掌握含参数的二次函数的 最值、单调性,会利用分 类讨论解决问题.

二次函数的性质及应用

2

二次函数与方程、不等式 会用函数研究方程和不等 、函数 式,结合其他函数研究二 次函数的性质.

3

幂函数

了解幂函数的性质.

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基础拾遗 例题备选

?
高考中常以二次函数为载体,考查数形结合及等价转化、函数
与方程的思想.在高考中对基础知识的考查多以选择题、填空题为 主,对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次方程、不等式相

结合的综合性较强的解答题,极可能出现与导数相结合的解答题.

?

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基础拾遗 例题备选

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).

②顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).
③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2). 2.二次函数的图象与性质

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基础拾遗 例题备选

f(x)=ax2+bx+c 图象

a>0

a<0

?
分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况 R

?

Δ 定义域

值域

[

?

4ac ? b 2 4a ,+∞)

(-∞,

?

4ac ? b 2 4a ]

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基础拾遗 例题备选

(续表)
f(x)=ax2+bx+c 单调性 在(-∞,在(b 2a

a>0

a<0

?)上单调递减
b 2a

在(-∞,递增 在(-

?)上单调
b 2a

?,+∞)上单调递增

?,+∞)上单
b 2a

调递减
对称性 图象关于直线x=a、b、c的作用

?对称
b 2a

a决定图象开口方向,a与b决定对称轴, c决定与y轴的交点,a、 b、c共同决定图象的顶点.

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基础拾遗 例题备选

3.幂函数 (1)幂函数的概念:形如y=xα的函数称为幂函数,其中α为常数. (2)幂函数(y=xα)的性质: 当α>0时 ① 图象都通过点(1,1). ② 在第一象限内,函数值随x的增大而增大.

③ 在第一象限内,α>1与0<α<1的图象凹凸性不一样.
④ 图象在点(1,1)处发生交叉. 当α<0时 ① 图象都通过点(1,1). ② 在第一象限内,函数值随x的增大而减小. ③ 图象在点(1,1)处发生交叉.
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1.(2011年辽宁沈阳二中月考)已知幂函数f(x)过点(4,2),则f(9)等于? ( (A)1. ) (B)2. (C)3. (D)4

【解析】设f(x)=xα,点(4,2)在函数图象上,∴2=4α,
1 1 92 ∴α=? ,∴f(9)=?=3. 2

【答案】C

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基础拾遗 例题备选

2.(2011届福州三中月考)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足2a+? >b且c <0,则含有f(x)零点的一个区间是? ( (A)(-2,0).
c 2

c 2

) (C)(0,1). (D)(0,2).

(B)(-1,0).

【解析】∵2a+? >b且c<0,∴4a-2b+c>0且c<0,
? f (?2) ? 0, ∴? ∴在(-2,0)内存在零点. f (0) ? 0, ?

?

【答案】A

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基础拾遗 例题备选

3.(2011年广东中山实验高中)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y= ax-? 的图象可能是? (
1 a

)

?
【解析】当a>0时,直线的斜率为正,在y轴上的截距为-? <0,此时幂函 数y=xa在(0,+∞)上是增函数,故A、D图象不可能,对于C,由y=xa的图 象知a>1,而直线的斜率0<a<1,不符合.故选B. 【答案】B
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1 a

4.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是( (A)a≤-2. (C)a>2或a<-2. (B)-2<a<2. (D)1<a<3.

)

【解析】∵f(x)=x2-ax+1有负值, ∴Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2. 【答案】C

?
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题型1二次函数、幂函数基础试题

? 例1 (1)已知函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,则实数m取值范
围为 . .

(2)若-1<x<0,则0.5x、5-x及5x从小到大的顺序为

【分析】(1)二次函数的开口向下,故只需二次函数的顶点在x轴的 下方即可.
(2)三个数的指数都有x,故把三个数的指数化成正数,再分析底数即 可.
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【解析】(1)f(x)=-2x2+6x-m=-2(x2-3x+? ? )-m+ =-2(x-? -m+? )2 ≤-m+? , ∵函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0, ∴-m+? <0,∴m>? .
(2)0.5x=2-x,5x=0.2-x,∵-1<x<0,0<-x<1,0.2<0.5<5, 且y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函数, ∴0.2-x<2-x<5-x(-1<x<0), ∴5x<0.5-x<5-x.
9 【答案】(1)(? ,+∞) 2 9 2 9 2

9 4

9 2

3 2

9 2

9 2

(2)5x<0.5-x<5-x

【点评】(1)从二次函数的开口方向与参数的结合命题,属二次函数 的性质与应用范围.(3)从比较大小入手,考查幂函数的性质.
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变式训练1

(1)若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论成立的是?(

)

(A)函数f(x)一定是偶函数. (B)函数f(x)一定存在零点. (C)函数f(x)在(0,+∞)上一定是增函数. (D)函数f(x)在(a,+∞)上一定是增函数.
(2)当x∈(0,+∞)时,幂函数f(x)=(m2-m-1)x-m+1为减函数,则实数m= .

【解析】(1)只有a=0时,函数f(x)才是偶函数,故A错;
a 2 ? m 2 ? m ? 1 ? 1, (2)由题知 ? ? ? m ? 1 ? 0,

函数f(x)在(-∞,-? )上是减函数,在(-? ,+∞)上是增函数,故C、D错.

a 2

?

∴m=2.

【答案】(1)B (2)2
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题型2与二次函数有关的问题

? 例2 已知二次函数f(x)满足:①f(3-x)=f(x),②f(1)=0,③对任意实
数x,f(x)≥?-? 恒成立,求f(x)的解析式. 【分析】由f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=? ;由f(1)=0可得a、b
3 2

1 1 4a 2

、c的一个方程;由③对任意实数x,f(x)≥?-? 恒成立,可知把f(x)表示
成a的形式后转化为含参不等式恒成立问题.

1 1 4a 2

【解析】∵f(x)为二次函数,故设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=? , ∴-?=? ,∴b=-3a,
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3 2

b 2a

3 2

∵f(1)=0,∴a+b+c=0,∴c=-a-b=2a, ∴f(x)=ax2-3ax+2a, ∵对任意实数x,f(x)≥?-? 恒成立, ∴ax
2

1 1 4a 2

1 1 -3ax+2a≥?-? 恒成立. 4a 2

∴ax2-3ax+2a-?+? ≥0恒成立.
?a ? 0, ? 2 ?a ? 2a ? 1 ? 0,

1 4a

1 2

?a ? 0, ? ? 1 1 Δ ? 9a 2 ? 4a(2a ? ? ) ? 0, ? 4a 2 ?

?
?

∴a=1.∴f(x)=x2-3x+2. ∴

【点评】本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴,并对恒成立 问题进行转化分析再结合二次函数图象确定Δ≤0.本题也可以设出f (x)=ax2+bx+c(a≠0),直接分析f(3-x)=f(x),可得到a、b的关系.
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变式训练2 函数f(x)=x2-2x+2在[t,t+1](t∈R)上的最小值为g(t),求g(t) 的解析式.

【解析】函数f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1,开口向上,
∴f(x)在(-∞,1)上是减函数;在(1,+∞)上是增函数. 当t<0时,t+1<1,函数f(x)在[t,t+1]上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2+1;

当0≤t≤1时,x∈[t,t+1],函数f(x)的最小值g(t)=f(1)=1;
当t>1时,函数f(x)在[t,t+1]上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2.
?t 2 ? 1(t ? 0), ? ∴g(t)= ?1(0 ? t ? 1), ?t 2 ? 2t ? 2(t ? 1). ?

?

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命题预测 技巧归纳

知识盘点 真题探究

基础拾遗 例题备选

题型3二次函数与其他基本函数的结合

? 例3

3? 已知函数f(x)=?2 x ?ax?1(a∈R).
2

(1)若函数的单调递增区间为(-∞,1),求a的值; (2)若函数f(x)的值域为(0,9],求a的值. 【分析】(1)利用复合函数确定函数的单调区间,再利用单调区间求 a的值;
(2)利用函数的值域分析指数的范围,再求a的值.
a 4

【解析】(1)设g(x)=-2x2-ax+1,对称轴为x=-? ,开口向下,
a a 则g(x)在(-∞,-? )上是增函数,在(-? ,+∞)上是减函数. 4 4
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y=3x在R上是增函数,
3 则f(x)=??2 x ?ax?1(a∈R)在(-∞,-? )上是增函数,在(-? ,+∞)上是减函数.
2

a 4

a 4

∴-? =1,∴a=-4.
(2)函数f(x)的值域为(0,9],则g(x)=-2x2-ax+1的值域为(-∞,2],
a2 a 2 a2 g(x)=-2(x+?) +?+1≤?+1, 8 8 4

a 4

a2 2 ∴?+1=2,∴a=±2?. 8

【点评】本题需要对问题进行转化,对二次函数有关问题的探究需 要数形结合,故需要运用化归与数形结合的思想,第一小题也可以用 导数的方法进行解答.
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变式训练3 设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证: (1)方程f(x)=0有实根; (2)-2<? <-1. 【解析】(1)若a=0,则b=-c, f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0, 与已知矛盾,∴a≠0. 方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4(b2-3ac), 由条件a+b+c=0,消去b,
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b a

得Δ=4(a2+c2-ac)=4[(a-? 2+?2]>0, c) c 故方程f(x)=0有实根.
(2)∵f(0)f(1)>0,∴c(3a+2b+c)>0,
由条件a+b+c=0,消去c,得(a+b)(2a+b)<0. ∵a2>0,∴(1+?)(2+?)<0,故-2<?<-1.
b a b a b a

1 2

3 4

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基础拾遗 例题备选

?
1.注意数形结合,密切联系图象是研究掌握二次函数性质的基本方 法.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口方向、顶点坐标、对称轴及 单调区间等是处理二次函数的重要依据. 2.注意二次函数与方程、不等式和导数等的结合,充分利用二次函 数的性质解决问题. 3.注意对二次函数的零点问题、判别式、函数区间端点值的正负的

分析. 帮助学生从知识、方法、思想等方面总结归纳,反思提高.
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1.(2011年安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x, 则f(1)等于? ( (A)-3. (B)-1. ) (C)1. (D)3.

【解析】f(x)为奇函数,则f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 【答案】A

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基础拾遗 例题备选

2.(2011年浙江卷)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= 【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|?|x+a|=|x-a|,所以a=0. 【答案】0

.

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基础拾遗 例题备选

3.(2011年广东卷)设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. 【解析】函数的定义域为(0,+∞),对f(x)求导可得: f'(x)=? +2a(1-a)x-2(1-a)
2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 =? , x

1 x

令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,
(1)当a=1时,g(x)=1,f'(x)>0,此时函数在(0,+∞)是增函数; (2)当0<a<1时,令g(x)=0,则Δ=4(1-a)2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a),

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基础拾遗 例题备选

①当0<a<?时,g(x)=0有两个不等实数根,x1=?
1 3

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

>0,

x2=

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

且x,2>x1,函数开口向上, ? 当x∈(0,x1)时,g(x)>0,此时f'(x)>0,函数在(0,x1)上单调递增; 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,此时f'(x)<0,函数在(x1,x2)上单调递减; 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)>0,函数在(x2,+∞)上单调递增.

②当a=?时,g(x)=0有两个相等正实根,则g(x)≥0,此时f'(x)≥0,函数在
(0,+∞)是增函数.
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1 3

③当?<a<1时,g(x)=0无实数解,此时g(x)>0,则f'(x)>0,函数在(0,+∞)是 增函数. (3)当a>1时,函数图象开口向下,g(x)=0有一正根和一负根,

1 3

其中x1=
x2=

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

?>0,

(1 ? a) ? (1 ? a)(1 ? 3a) 2a(1 ? a)

?<0,

函数在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.

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基础拾遗 例题备选

?
? 例1 已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);②f(x)的最
小值为-? . (1) 求函数f(x)的解析式; (2) 设数列{an}的前n项积为Tn, 且Tn=(? , 求数列{an}的通项公式. )f(n)
4 5

1 8

【解析】(1) 由题知:

?

? 1 ? ?a ? b ? 0, a? , ? ? ? 2 a ? 0, ? 解得 ? ? b2 ?b ? ? 1 , 1 ? ?? 2 ? ?? , 8 ? 4a

?

故f(x)=?2-? x x.
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1 2

1 2

) (2)Tn=a1a2…an=(??,
) Tn-1=a1a2…an-1=(??(n≥2),
n ∴an=?=(?)n-1(n≥2),

4 5

n2 ?n 2

4 5

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

T Tn?1

4 5

又a1=T1=(?)f(1)=1满足上式,所以an=(?)n-1(n∈N*).

4 5

4 5

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基础拾遗 例题备选

? 例2 已知幂函数f(x)的图象过点(2,4),幂函数g(x)的图象过点(2,
1 ? ). 8

(1)求f(x),g(x)的解析式; (2)解不等式f(x)>g(x).
【解析】(1)设f(x)=xα,g(x)=xβ,
1 ∵幂函数f(x)的图象过点(2,4),幂函数g(x)的图象过点(2,? ), 8

∴2α=4,2β=? ,∴α=2,β=-3, ∴f(x)=x2,g(x)=x-3.
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1 8

(2)由f(x)>g(x)可得x2>x-3, 当x≥0时,x2>x-3>0,∴x5>1,∴x>1. 当x<0时,x2>0,x-3<0,∴x2>x-3恒成立. 综上:不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).

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? 例3 已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求
a的值.

【解析】∵f(x)=4(x-?2-2a+2,对称轴为x=? ) .
①当? ≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数, ∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
2 2 由a2-2a+2=3,得a=1±? .∵a<0,∴a=1-? .

a 2

a 2

a 2

a ②当0<? <2,即0<a<4时, 2

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f(x)min=f(? )=-2a+2. 由-2a+2=3,得a=-? ?(0,4),舍去. ③当? ≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=a2-10a+1 8.
10 由a2-10a+18=3,得a=5±? , 10 ∵a≥4,∴a=5+? . 10 综上所述,a=1-?2 或a=5+? .

a 2

1 2

a 2

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