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数列通项公式的求法

时间:2017-07-03


数列通项公式的求法
1.数列 ?an ? 的通项公式的定义: 数列 ?an ?的第n项 an与项数n的函数关系 ) 如果可用一个公式 an ? f (n来表示,则 称这个公式为数列的通项公式。

复习提问

问题:是不是任何数列都有通项公式? 若有,是不是唯一的? 注意:不是任何数列都有通项公式。 若有,通项公式也不一定是唯一的。


1

问题:知道数列的通项公式(函数的解析式), 就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的 通项公式?你会求什么数列的通项公式呢? 等差数列与等比数列

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

an ? a1 ? (n ? 1)d
? am ? (n ? m)d (n, m ? N )
n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? ?d 2 2
2

?

3.等比数列{an }的通项公式与前n项和公式:

an ? a1q

n ?1

4. 数列?an ? 的通项an与前n项和Sn的关系:
?S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

? am q

n?m

(n, m ? N )

?

S n?1 ? S n ? an?1
3

数列通项公式求法
数列的通项公式是数列的核心内容之 一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式 便可研究其性质等;而有了数列的通项公式 便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数 列的通项公式往往是解题的突破口、关键 点. 因此近年来的高考题中经常出现给出数 列的解析式(包括递推关系式和非递推关 系式),求通项公式的问题,对于这类问 题考生感到困难较大.为了突破这一难点, 现将求数列通项的思想方法系统归纳如下:
4

数列通项公式求法

常用数学思想:
1.化归思想;2. 换元思想; 3. 方程思想

5

已知数列的前几项,求通项公式

求下列数列的一个通项公式:
(1)1, ? 1, 1, ? 1, ? (2),, , , (3),,, , 4, 3 5 9,17 33 ? 0 3 8 15 2 ? 2 4 6 8 10 2 10 17 26 37 (4) , , ? , ,? ,? (5) , ? 1, , ? , ,? , ? 3 15 35 63 99 3 7 9 11 13 1 1 1 (6)1, 0, ? , 0, , 0, - , 0,? (7)5,55,555,5555 ? , 3 5 7

【思路分析】 此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要 2, 4, 8, 16, 32, ? an ? 2 n ( n为偶数) ?1 靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化 n ?? 1? ? ? (n为奇数) ?? 1 为等差或等比数列)等方法. 每一项序号与这一项的对应关系可 看成是一个序号到另一个数集的对应关系,这对考生的归纳 6 推理能力有较高的要求。

1,0,1,0? 0,?1,0,?1? 1,0,?1,0,1,0,?1,0?

类型一:等差数列与等比数列的通项:
方法:若{an }为等差(比)数列,求出其中一项am 及 公差 d(公比q) ,然后直接套用 公式

例1:已知{an }为等比数列, 若a3 ? a8 ? 124, a4 ? a7 ? ?512 , 且公比 q为整数,则通项公 n ?1 式an= ? ?? 2?
7

题型二:等差数列与等比数列的通项:
方法:若{an }为等差(比)数列,求出 其中一项am 及 公差 d(公比q) ,然后直接套用 公式
例:已知 an }为等比数列,若 3 ? a8 ? 124, a4 ? a7 ? ?512 { a , 且公比 q为整数,则通项公式 n= a
分析: {an }为等比数列,则 4 ? a7 ? a3 ? a8 ? ?512 ? a3 ? a8 ? 124 ? a ,

? ?? 2?

n ?1

故知a3与a8是方程x2 ?124x ? 512 ? 0 的两根 与 ? 4 ,又q是整数 128
a8 ? a3 ? ?4 ,a8 ? 128, ? q 5 ? ?32? q ? ?2 ? an ? a3 ? q n?3 ? ?(?2) n?1 a3

本题也可以把a3,a 4,a7,a8 全部用 a1与 q表示,得出 a1与 q的方 程组,解出 a1 与 q,然后套公式。 等比 an } ? a4 ? a7 ? a3 ? a8 ? ?512 { ,
8

类型三:类等差数列, 即an?1 ? an ? f (n) (条件 : f (1) ? f (2) ? ? ? f (n)的和是可求的)

? 中,a1 ? 2,an?1 ? an ? 2n(n ? 1,2,3?), 例:数列 an ?
求数列?an ? 的通项公式。

分析:由已知易得 an?1 ? an ? 2n
a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 2 ? 2, a4 ? a3 ? 2 ? 3,?, an ? an?1 ? 2(n ?1 )
上面各式相加得 n ? a1 ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1)] ? n(n ?1), a

方法归纳:累加

故an ? n2 ? n ? 2(n ? 1,2,3,?)

可求和
9

an ?1 若 ? f (n), 且f (1) ? f (2) ?? ? f (n ? 1)的积是可求的, an
an?1 n ? 中,a1 ? 1且满足 ? 例: 已知数列 an ? ,则数 an n?2

该题型方法归纳: 累乘法求得a n

其他解法探究:

? (n ? 1)(n ? 2)an?1 ? n(n ? 1)an 则可构造?n(n ? 1)an ?是常数数列

an?1 an n a2 a3 a4 1 2 3 4 n- 1 分析 : ? 得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? an n ? 2 a1 a2 a3 an?1 3 4 5 6 n ?1 an 1? 2 2 ? ? ? a1 ? 1? an ? 累乘 a1 n(n ? 1) n(n ? 1) a n?1 n ? ? (n ? 2)an?1 ? na n an n?2

列?an ? 的通项公式为

2 故有n(n ? 1)a n ? 1 ? 2 ? a1 ? 2, a1 ? 1? a n ? ? n(n ? 1)10

变式训练:
1.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 满足
an?1 ? an ? 2 ? n ,求数列 ?an ?的通
n

项公式 2.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 满足
an?1 ? an ? n ? 2 ? n ,求数列 ?an ? 的
n

通项公式

11

类型四: Sn,求an 知 例:已知二次函数y ? f ( x)的图象 经过原点, 其导函数为f ?( x) ? 6 x ? 2,
数列?an ? 的前n和为S n , 点?n, S n ?(n ? N )
?

?an ?的通项公式。

均在函数 y ? f ( x)的图象上,求数列

方法:可直接应用公式 (n ? 1) ?S1 an ? ? 求解 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

12

类型四: Sn,求an 知

例:已知二次函数y ? f ( x)的图象经过原点,其导 函数

(n ? 1) ? S1 方法:可直接应用公式a n ? ? 求解 ?S n ? S n?1 (n ? 2)

为f ?( x) ? 6 x ? 2,数列?a n ? 的前n和为S n,点?n, S n ?(n ? N ? )

? 的通项公式。 均在函数 y ? f ( x)的图象上,求数列a n ?

略解:依题意易得 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x,故有S n ? 3n 2 ? 2n
故当n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ? 3n 2-2n ? [3(n ? 1) 2 -2(n ? 1)] ? 6n ? 5

而当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 1合上式

故a n ? 6n ? 5(n ? N )
13

?

练习: ? 的前n 项和Sn满足 1.已知数列 an ? log2 (Sn ? 1) ? n ? 1,则?an ? 的通项 公式为
略解 :由 log2 ( S n ? 1) ? n ? 1 ? S n ? 2 a1 ? S1 ? 3不合上式
?3 (n ? 1) ? 故an ? ? n (n ? N ) ?2 (n ? 2)
14

n ?1

?1

当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? (2 n ?1 ? 1) ? (2 n ? 1) ? 2 n,

类型五:知S n与an 及n 的关系式, 求通项an

例: 重庆)各项均正数的数 (07 列?an ? 的前n项和S n 满足S1 ? 1 * 且6 S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N , 求?an ? 的通项公式
15

类型五:知 n与an及n 的关系式,求通项 n S a

方法总结:可考虑用n ? 1或 n ? 1(n ? 2)代替n,得另一式 子,与原关系 式两式相减, 得出相邻两项的关系式再分 析求解。
16

方法总结:可考虑用n ? 1或n ? 1(n ? 2)代替n,得另一式子,
(有时用an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)消an得Sn与Sn?1的关系式,先求出Sn,再求an)

类型五:知 n与an及n 的关系式,求通项 n S a

与原关系 式两式相减,得出相邻两项的关系式再分析求解。

? 的前n项和S n 满足S1 ? 1 例: 重庆)各项均正数的数列a n ? (07
且6S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), n ? N *,求?a n ? 的通项公式

2 分析:由题意得 S n ? an ? 3an ? 2 ① 6

找an?1与an的关系?化为等差比)或类等差比) ( (

当n ? 1时, 1 ? 6S1 ? a12 ? 3a1 ? 2 解得a1 ? 1或a1 ? 2又a1 ? S1 ? 1故a1 ? 2 6a
2 且有6S n?1 ? an?1 ? 3an?1 ? 2 ②

由②-①整理得
? an?1
17

故?an ?是首项为 ,公差为 的等差数列,S n?1 ? S n 2 3 故?an ? 的通项为an ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0又an?1 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 3
可找出an?1与an的关系

变式训练:
1. ( 07福建)数列?an ? 的前n项和S n , a1 ? 1,
?

? 的通项公式 2S n ? an?1 (n ? N ),求数列 an ?

略解:Sn?1 ? an?2 , 两式相减整理得 2 an?2 n?2 a2 ? 3 ? a n ? 2 ? 3, 而 ? 2?3 a n ?1 a1
?1(n ? 1) 故a n ? ? 2 ? 3n?2 (n ? 2) ?
18

类型六:等定系数法求递推数列 的通项: 例:数列?an ? 的前n项和为S n满足

?an ?的通项公式

S n ? an ? 2n ? 1(n ? N ),求数列

?

19

x ? qx ? d
(一)若数列 ?an ? 是相邻两项 a 与 an 满足 an?1 ? qan ? d (q, d为常数) ,则可考虑待 定系数法 an?1 ? x ? q?an ? x ? (其中 x 为等定系数,满足 满足x ? qx ? d )) , 构造新的辅助数列 {a n ? x} 是首 项为,公比为 q 的等比数列,求 a1 ? x ? 0,再进一步求通项 a n 出
n ?1
20

类型六:等定系数法求递推数列的通项:x ? qx ? d (一)若数列相邻两项 n?1与an满足 n ?1 ? qa n ? d (q, d为常数) a a

则可考虑待定系数法设 an?1 ? x ? q?an ? x ? (其中x为待定系数,

故数列?a n ? 2?是首项为 a1 ? 2 ? ? ,公比为 的等比数列 2 2 n ?1

求数列?an ? 的通项公式 3 解析:由 S n ? an ? 2n ? 1 ? a1 ? , 且S n ?1 ? an ?1 ? 2n ? 3, 2 1 1 两式相减整理得 an ?1 ? an ? 1 ? a n ?1 ? 2 ? (a n ? 2) 2 1 1 2

? x ,再进一步求通项 an 例:数列?an ? 的前n项和为S n满足S n ? an ? 2n ? 1(n ? N ? ),
公比为q的等比数列,求出a n

满足x ? qx ? d ) 构造新的辅助数列 {an ? x}是首项为 a1 ? x

1 ?1? 故an ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2?

1 ? an ? 2 ? n 2

21

归纳提高:满足这样的推递关系的 数列的通项求解问题(陌生的,难 的,不会的),可用待定系数法转 化为特殊数列(等差数列或等比数 列)的通项问题(熟悉的,易,我 们会的) ,借助等差(比)数列的 通项公式求辅助数列的通项,从而 解决问题。

数学思想:转化、化归思想。

22

x 类型六:等定系数法求递推数列的通项: ? qx ? d (一)若数列相邻两项 n?1与an满足 n ?1 ? qa n ? d (q, d为常数) a a
公比为q的等比数列,求出a n

则可考虑待定系数法设 an?1 ? x ? q?an ? x ? (其中x为待定系数,

满足x ? qx ? d ) 构造新的辅助数列 {an ? x}是首项为 a1 ? x

? x ,再进一步求通项 an

归纳提高:满足这样的推递关系的数列的通项 求解问题(陌生的,难的,不会的),可用待 定系数法转化为特殊数列(等差数列或等比数 列)的通项问题(熟悉的,易,我们会的) ,借 助等差(比)数列的通项公式求辅助数列的通 项,从而解决问题。

数学思想:转化、化归思想。
23

变式探究一:

(06)数列?an ? 的前n项和为S n满足 4 1 n ?1 2 ? S n ? an ? ? 2 ? (n ? N ), 3 3 3 求数列?an ? 的通项公式
24

其他解法探究: 4 1 n ?1 2 (06)数列?an ? 的前n项和为S n满足S n ? an ? ? 2 ?
? 的通项公式 (n ? N ? ),求数列 an ?
3 3 3

3

3

3

4 1 n ?1 2 分析:由 S n ? an ? ? 2 ? ? a1 ? 2 为什么类型呢? 3 3 3 4 1 2 且S n ?1 ? a n ?1 ? ? 2 n ? 2 ? 两式相减整理得 n?1 ? 4an ? 2n?1 a

同除以4 n ?1,转化

an 1 an ?1 an 1 几个式子? ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? n n 4 2 4 4 2 a3 a 2 a n a n ?1 1 1 , 3 ? 2 ? 3 ,? n ? n ?1 ? n 4 4 2 4 4 2 a n a1 1 1 1 上面各式相加可得 ? ? 2 ? 3 ??? n n 4 2 4 2 2
an 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ??? n ? 1? n n 2 2 4 2 2 2

an ?1 可化为 n ?1 ? 4 a 2 a1 1 ? ? 2 2 4 2 4

? an ? 4 ? 2
n

n
25

变式探究一: 4 1 n ?1 2 (06)数列?an ? 的前n项和为S n满足S n ? an ? ? 2 ?
? 的通项公式 (n ? N ? ),求数列 an ?
3 3 3

3

3

3

4 1 n ?1 2 分析:由 S n ? an ? ? 2 ? ? a1 ? 2 直接应用。怎么办? 3 3 3 4 1 2 且S n ?1 ? a n ?1 ? ? 2 n ? 2 ? 两式相减整理得 n?1 ? 4an ? 2n?1 a

2 n?1 不是常数,不能

a n ?1 2 ? an ? ?2 ? 2 ? n ?1 ? 1 ? 2? n ? 1? 1 2 ?2 ? 相邻两项,与 2都是常数 a1 ? an ? 故数列? 2 ? 1?是首项为 ? 1 ? 2,公比为2 的等比数列 2 ?2 ?

an ?1 an 可化为 n ?1 ? 2 ? n ? 1 a ?a ? a 2 2 新数列? n ?, n ?1 、 n 是其 n n ?1 n

同除以2 n ?1, 构造新数列

an n ?1 n n n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? an ? 4 ? 2 n 2

26

变式: ?an ?满足 a1 ? 2, 且an?1 ? 2an ? 2n?1(n ? N ? ) 数列

求其通项 an

略解 :由an?1 ? 2an ? 2 (n ? N )得 :

n ?1

?

an ?1 an an ?1 an ? n ? 1 ? n ?1 ? n ? 1 n ?1 2 2 2 2 an n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ?an ? n ? 2 n 2
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探究归纳,总结提升:
递推式如 型的通项的求法: (1)若 b ?
an?1 ? qan ? d ? b n?1 (n ? N ? , bdq ? 0, b, d , q为常数)

a1 a n ?1 a n q ,则可化为 n ?1 ? n ? d ,从而化为以 b b b

为首项,公差为 d 的等差数列,通项可求.
a n ?1 q a n (2)若 b ? q ,则可化为 b n?1 ? b ? b n ? d ,进而转化

为型如 an?1 ? qan ? d 的数列,从而通项可求.
28

变 (06山东)在数列?an ?中,a1 ? 2, 修 改 式 点(n, an?1-2an )( n ? N ? )在直线 探 y ? x上,求数列?an ? 的通项公式。 究
探究归纳:



(二)若数列相邻两项满足an ?1 ? qan ? An+B ( A、 B、q为常数)设an ?1 ? (n ? 1) x ? z ? q(an ? n ? x ? z ),

列?an ? x ? n ? z? ? an ? x ? n ? z ? an

然后展开对比系数确定A、B、q,构造得等比数
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探究归纳:

(二)若数列相邻两项满足an ?1 ? qan ? An+B ( A、B、q为常数) 设an ?1 ? (n ? 1) x ? z ? q(an ? n ? x ? z ), 然后展开对比系数确定 A、B、q,构造得等比数列?an ? x ? n ? z? ? an ? x ? n ? z ? an

变 直线 y ? x上,求数列?a ?的通项公式。(修改) 式 分析:易得a ? 2a ? n , 可设a ? (n ? 1) x ? z ? 2(a ? n ? x ? z) 探 展开后对比系数可得x ? ?1, z ? 1 究 则a +(n ? 1)+1 ? 2(a +n+1)
n

(06山东)在数列?an ? 中,a1 ? 2, 点(n, an?1-2an )( n ? N ? )在
n ?1

n

n?1

n

n ?1



n

故?an ? n ? 1?是首项为a1 ? 1 ? 1 ? 4,公比为 2 的等比数列

an ? n ? 1 ? 4 ? 2

n ?1

? an ? 2

n ?1

? n ?1
30

其他解法探究:

(06山东)在数列?an ? 中,a1 ? 2, 点(n, an ?1-2an )( n ? N ? )在 直线 y ? x上,求数列?an ? 的通项公式。(修改)

分析:易得an?1 ? 2an ? n , 等式两边同除以2 n?1 可得 : 方法二:
an an ?1 n ? 1 a2 a1 1 a3 a2 2 ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 , ?, n ? n ?1 ? n , 各式相加可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a n a1 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ? 2 ? 3 ??? n 令S ? 2 ? 3 ? ? ? n ① n 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 n ? 2 n ?1 S ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n+1 ② 2 2 2 2 2

a n ?1 a n a n ?1 2a n n n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2

累加

由①-②得

1 1 1 1 n ? 1 1 n ? 1 ? S ? 1 ? n ? 1 ? an ? 1 S ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n+1 ? ? n ?1 2n 2n 2 2 2 2 2 2 2

an n ?1 ? n ? 2 ? n ? an ? 2 n?1 ? n ? 1 2 2

31

变式训练:
数列 ?an ?满足 a ? 2, 且a
1

答案an ? 6 ? 4

n ?1

? (n ? 1) ? 2
n?1

n
?

n?1

? 4an ? n ? 2 (n ? N )

求其通项 an

32

变式训练: an ? 6 ? 4 答案
数列 ?an ?满足 a ? 2, 且a
1 n?1

n ?1

? (n ? 1) ? 2
n?1 ?

n

? 4an ? n ? 2 (n ? N )
n ?1

an ?1 n ?1 4

求其通项 an

略解 :由an?1 ? 4an ? n ? 2 得 : an an ?1 an n n ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ?1 4 2 4 4 2

an an ?1 n ? 1 a2 a1 1 a3 a2 2 ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 , ?, n ? n ?1 ? n , 各式相加可得 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2

1 2 n ?1 令S ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2

an a1 1 2 n ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 错位相减求和法 n 4 2 2 2 2
33

a 变式探究Ⅲ: n?1 ? qan ? An ? Bn ? C呢? ? 例: 已知数列 an ?满足a1 ? 1,且an?1 ? 2an ? n 2 ? n ? 1, 探究归纳:该类型可转化为特殊数列: 求?an ? 的通项公式
2

方法:设an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? q(an ? xn ? yn ? z )
2 2

分析:设a n?1 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z )
?? x ? 1 ? x ? ?1 ? ?2 x ? y ? ?1 ? ? y ? ?1 ? ?x ? y ? z ? 1 ? ? 3 ?z ? 2

展开整理可得 n?1 ? 2an ? xn2 ? (2x ? y)n ? x ? y ? z a 2 与an?1 ? 2an ? n ? n ? 1对比系数可得:

故有an?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3 ? 2(an ? n 2 ? n ? 3)

由等比数列通项公式可 an ? n2 ? n ? 3=6 ? 2n?1 ? 3 ? 2n 得

故知{a n ? n 2 ? n ? 3}是首项为a1 ? 6,公比为 2 的等比数列

? an=3 ? 2 ? n ? n ? 3
n 2

34

变式探究Ⅳ:
若已知数列相邻三项的递推关系式,又 如何求其通项公式呢? 可化为an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 例:已知数列?an ?满足a1 ? 1, a2 ? 3, an? 2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ? ) 1与2是方程t ? 3t ? 2 ? 0的两根 求数列?an ? 的通项公式。
2

设an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) ? an?2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan
?x ? y ? 3 ?x ? 2 ?x ? 1 与an?2 ? 3an?1 ? 2an对比系数得? ?? 或? ? xy ? 2 ?y ?1 ?y ? 2 即由an?2 ? 3an?1 ? 2an 可得a ? 2a ? a ? 2a

? an?1 ? 2an ? a2 ? 2a1 ? 1

故{an?1 ? 2an }是常数数列

n?2

n ?1

n ?1

(即取x ? 2,y ? 1 )

n

? an?1 ? 2an ? 1
35

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ?an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? an ? 2n ?1

(三)若数列相邻三项的关系满足 an? 2 ? Ba n?1 ? Can ? 0
且方程t 2 ? Bt ? C ? 0有解 若设解为x与y,则有x ? y ? ?B, x ? y ? C ,
则可得 an? 2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) 则可构造以y 为公比的辅助等比数列 若a2 ? xa1 ? 0且y ? 0,

探究归纳:

?an?1 ? xan ?, 转化为相邻两项的类型再分析求解

设an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) ? an?2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? 0

问题:知道连续三项满足这样的递推关系的 数列的通项,在什么条件下,你才会求其通 项公式呢?
与an? 2 ?x ? y ? ?B ? Ban?1 ? Ca n ? 0对比系数得? 有解 ? xy ? C
2

即方程t ? Bt ? C ? 0有解

36

解法探究: 例:已知数列?an ?满足a1 ? 1, a2 ? 3, an? 2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ? ) 求数列?an ? 的通项公式。 即取x ? 1 y ? 2 ,
则{an?1 ? an }是首项为a2 ? a1 ? 2,公比为2 的等比数列则an?1 ? an ? 2

解析:由an? 2 ? 3an?1 ? 2an可得an? 2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an )
(a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1

n

两种情况一起考虑,即 ? 与? 都取,由上面过程知 ?y ? 2 ?y ?1 ?a ? 2 a ? 1

2(1 ? 2 n ?1 ) ? an ? 1 ? ? 2 n ? 2 ? an ? 2 n ? 1 1? 2 ?x ? 1 ?x ? 2
n ?1 n

累加

则有? , n ?an ?1 ? an ? 2

消去a n?1,可得a n ? 2 ? 1
n
37

注:若 t 2 ? Bt ? C ? 0有两异根x、y(即x, y有两组解) 方程思想 则可得到两个等比数列,分别求其通项,再由方程组求出 an

? 例 :已知数列 an ?满足a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? 5an?1 ? 6an ? 2
与an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 2对比系数可得
?x ? y ? 5 ?x ? 2 ?x ? 3 ? ? ? x ? y ? 6 解得? y ? 3或? y ? 2 ? ? yz ? z ? 2 ?z ? 1 ?z ? 2 ? ? ?
n?1

变式探究:

t 2 ? 5t ? 6 ? 0有解

求数列?an ? 的通项公式设an? 2 ? xan?1 ? z ? y ? (an?1 ? xan ? z )

? an? 2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? yz ? z
分别得到:
n?1

an?2 ? 2an?1 ? 1 ? 3(an?1 ? 2an ? 1) ? ?an?1 ? 2an ? 1? 为等比数列

an?1 ? 2an ?1 ? 1? 3
又有an?2

① ? 3an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 3an ? 2) ? {an?1 ? 3an ? 2}是等比数列 ②
38

? an?1 ? 2an ? 3

?1

an?1 ? 3an ? 2= ? 2n?1 ? an?1 ? 3an ? 2n?1 ? 2 1
由①-②得

an ? 3

n?1

?2

n?1

?1

练习
(08广东理)设 p、q为实数, ? , ?是方程x 2 ? px ? q ? 0的两个实根,

1 (3)若 p ? 1,q ? ,求?x n ? 的前 n 项和 S n 4 p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 【解析】(1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ? ? 2 2
p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ? ? ? p ?? ? ? ?q 2 2 2 2

? 的通项公式 (1)证明:? ? ? ? p,?? ? q;(2)求数列 xn ?

数列?xn ?满足x1 ? p, x2 ? p 2 ? q, xn ? pxn?1 ? qxn?2 (n ? 3,4,?)

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) ? (2) xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3) S n ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n
39

1 2

1 2

1 2

1 2

类型七:特征根法求数列通。
(条件:若 ?an ?的相邻两项关系式可化为: Aan?1 ? an ? Ba n?1 ? Can ? D ? 0 ( A ? 0) 可用这种方法;(其中方程 Ax ? ( B ? C ) x ? D ? 0
2

的根称为该数列的特征根)
可视an?1与an都为x得到x的一元二次方程求出特 征根

一元二次方程有两根、一根、没有实 数根三种情况,下面分三情况探究:

40

(一)有两特征根
构造等比数列

a n ? x1 (一)若有两特根 x1 与 x2 ,可令 bn ? an ? x2

an ? 1 ? 的通项公式 可设bn ? n ? 1,2,? 求数列 an ? an 略解:可得该数列特征根为0与1
则bn ?1 3a n ?1 a n?1 ? 1 2a n ? 1 1 an ? 1 1 ? ? ? ? ? bn 3a n a n ?1 3 an 3 2a n ? 1

特征根为0与1 3an 3 ? 的首项a1 ? , an?1 ? 例 : (08陕西)已知数列 an ? , 5 2an ? 1

bn 进而求出 a n

?bn ?,则可等比数列通项公式求出

3n ? an ? n 3 ?2

2 an ? 1 ? bn ? ? n ? an 3
41

练习

8 x 2 ? 16 x ? 2 x ? 5 ? 0 ? x ?

1 5 或x ? 2 4

(05重庆)数列{an }满足a1 ? 1且 8an ?1an ? 16an ?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 求?an ? 的通项公式 (改编)

42

练习
求?an ? 的通项公式

8 x 2 ? 16 x ? 2 x ? 5 ? 0 ? x ?

(05重庆)数列{an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1).

1 5 或x ? 2 4

2a n ? 5 5 5 5 5 ? an ? a n ?1 ? an ? 16 ? 8a n 4 12a n ? 15 4 , 则b ? 4 ? 4 可设bn ? ? ? 2? n ?1 1 1 2a n ? 5 1 1 6a n ? 3 an ? a n ?1 ? an ? ? 2 2 16 ? 8a n 2 2

2an ? 5 1 5 分析:易得有两特征 与 ,且条件可化为 n?1 ? a 2 4 16 ? 8an

(改编)

即bn ?1

1 ? 2bn,故?bn ?是首项为 b1 ? ? ,公比为 2 的等比数列 2

1 n ?1 故有bn ? ? ? 2 ? ?2 n ?2 2

5 an ? 2 n ? 10 4 ?a ? ? n 1 2 n ?1 ? 8 an ? 2

43

(二)有一根 x 0时,可令bn

1 构造辅助数列 bn ,分析 a n ? x0 bn?1与bn的关系易得 ?bn ? 是等差数列,求 b 进而求出 a n n ?

? ?

1 1 例: 佛山一模)数列{a n }满足a1 ? 且an?1 ? (08 (n ? N ? ) 2 2 ? an
1 可设bn ? 解:依题意可得该数列有惟一特征根为1 an ? 1 2 ? an 1 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? bn 则b1 ? ?2 且bn?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ? 1 ? 1 an ? 1 2 ? an
1 n 即bn ? ? ?(n ? 1) ? a n ? an ? 1 n ?1

求?an ? 的通项公式

唯一特征根1

故?bn ?是首项为b1 ? ?2,公差为-的差数列, bn ? ?2 ? (n ? 1)(?1) 1 ?

该题也可以先求出前几项,

再猜想归纳出其通项,但要特别注意要用数学归纳法证明。
44

课堂练习:
求?an ? 的通项公式
1

视a n ?1与a n 都为 x得x ?

1.数列{an }满足a1 ? 1, 且an?1

an ? 4 ? ? (n ? N ) an ? 3

x?4 ?x?2 x?3

1 1 分析:可设bn ? , 则b1 ? ? ?1 an ? 2 a1 ? 2

bn ?1

3 ? a n ? (a n ? 2) ? 1 1 ? ? ? ? a n ?1 ? 2 a n ? 4 an ? 2 an ? 2 ?2 an ? 3

?bn ?是首项是b1 ? ?1,公差为? 1的等差数列
1 1 故有bn ? ?1 ? (n ? 1)(?1) ? ?n ? ? an ? 2 ? an ? 2 n 45

1 ? ?1 ? ? ?1 ? bn ? bn?1 ? bn ? ?1 an ? 2

(三)没有特征根,则可由递推关系式得 出若干项可判断 ?an ? 是周期数列
视an ?1与an都为 x得x ? ? x?2 ? 无实根 x ?1

an ? 2 例:数列 an }满足a1 ? 1且an?1 ? ? { (n ? N ? ).求?an ? 的通项公式 an ? 1

an ? 2 3 ? 分析:由an?1 ? (n ? N ).? a1 ? 1 ? a2 ? ? an ? 1 2

(n ? 2k ? 1) ?1 ? ? 由递推性可得a n ? ? 3 (k ? N ) ?? 2 (n ? 2k ) ?

a2 ? 2 ? a3 ? ? ?1 a2 ? 1

46

其他方法:有构造常数数列,取对数(注意 真数大于零),取倒数,归纳法(注意要用 数学归纳法证明) 2 2 ? 1.若?a n ? 是首项为1的正项数列,且 n ? 1?an?1 ? nan ? an?1an ? 0, 左边能否因式分式? 则数列?an ? 的通项公式为
? [?n ? 1?an?1 ? nan ] ? (an?1 ? an ) ? 0 又? an?1 ? an ? 0

2 2 分析:先按 n?1的降幂处理? ?n ? 1?an?1 ? an ? an?1 ? nan ? 0 a

? (n ? 1)an?1 ? nan ? ?nan ?是常数数列 1 故有 na n ? 1 ? a1 ? 1 ? an ? n

累乘法

an ?1 n 若(n ? 1)an ?1 ? nan ? ? ,可用什么方法处理? an n ?1
47

变式探究:

an ?1 an 1 an?1 an 1 1 ? ? ? n(n ? 1) (n ? 1)n (n ? 1)n ? n(n ? 1) ? (n ? 1)n ? [ (n ? 1) ? n ] an ?1 an 1 1 an 1 ? ? ? ? { ? }(n ? 2)是常数数列 n(n ? 1) n (n ? 1)n (n ? 1) (n ? 1)n (n ? 1) an 1 a2 ? ? ? ? 1 ? 2 ? a ? n(2n ?1)(n ? 2) n (n ? 1)n (n ? 1) 2

且a2 ? 6,求?an ? 的通项公式 (n ? 1)与a ,n ? 1)与a 对应在一起 ( 当n ? 1时,易得a1 ? 1 ( 当n ? 2时,原式可化为 n ? 1) ? an?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1) a n?1 an 1 两边同除 ? ? ? 观察分析可知 以(n ? 1)(n ? 1) n ?1 n ?1 n ?1 两边再除以n
n?1 n

2.数列?an ?满足(n ? 1) ? an?1 ? (n ? 1) ? (an ? 1)

? a1 ? 1合上式,故 n ? n(2n ? 1)(n ? N ? ) a

48

n?n ? 1? Sn ? ? an ? 2S n ? n(n ? 1)an , 且有 2S n ?1 ? (n ? 1)( n ? 2)an ?1 2

1 n?n ? 1? ? 中,a1 ? ,前 n 项和S n ? 练习:已知数列 a n ? ? a n, 6 2 则数列?a n ? 的通项公式为

S n?1 ? S n ? an?1 , 两式相减得 n ? 3)an?1 ? (n ? 1)an (

? (n ? 2)(n ? 3)an?1 ? (n ? 1)(n ? 2)an
1 (n ? 1)(n ? 2)an=2 ? 3 ? a1 ? 1 ? an ? (n ? 1)(n ? 2)
思想方法:配凑法构造化归成特殊数列,借助特殊数 列的通项公式的求法,从而解决问题。
49

? {(n ? 1)(n ? 2)an }为常数数列

例 :已知数列?an ?满足a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an ?1 ,? 1 是首项为 ,公比为 的等比数列,求 n的表达式 1 a 3 n ?1
? ?1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 3? a1+(a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? a n ? ? 1 1? 3 ? ? n ?1 ? 3? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2 ? ? 3? ? ? ?

(09

an a 2 a3 年联考)如果数列 ?an ?满足 a1 , a1 , a2 ,?, an?1 ,?

是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, a100 ? 则 (
A 2
100


50

B 2

99

C 2

5050

D 2

4950

q an?1 ? pan ( p ? 0) 型的数列 递推式如

通项的求法:



分析:依题意可得an?1 ? a ? 2an ? an?1 ? 1 ? (an ? 1)

? 的通项公式。 的图象上,其中 ? 1,2,3,?,求数列 an ? n

例 : (山东)已知a1 ? 2,点?an , an?1 ?在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x
2 n

2

??log3 ?an ? 1??是首项为log3 (a1 ? 1) ? 1公比为2的等比数列

又 ? a1 ? 2 ? an ? 0 n ? N ? ,? an ? 1 ? 0 2 log3 (an ?1 ? 1) ? log3 ?an ? 1? ? 2 log3 ?an ? 1?, 而 log3 ?a1 ? 1? ? 1

?

?

log3 ?an ? 1?= ? 2 1

n -1

? an ? 1 ? 3

2n ?1

? an ? 3
2n ?1

2n ?1

?1

2 练习5.已知数列?an ? 中,a1 ? 4且满足an?1 ? an,求数列?an ? 的通项公式

log4 an?1=log4 a ? 2 log4 an ? an ? 4
2 n

51

变式探究:

2 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 6an ? 2 ,求数 例:数列

列 ?an ?的通项公式
q a n ?1 ? pa n ( p ? 0) 型的数列通项的求法: 递推式如

①若 p ? 1 ,则等式两边取常用对数或自然对数,化 为: lg an?1 ? q lg an 得到首项为 lg a1 公比为 q 的等比数

lg a1 ? an ? a ②若 p ?1,则等式两边取以 p 对数,化为:
log p an?1 ? q log p an ? 1的形式, 可用待定系数法求其

列 ?lg an ?,所以 lg an ? q

n ?1

q n ?1 1

通项
52

7. (06江西)已知各项均为正数的数 ?an ?满足a1 ? 3, 列 2an?1 ? an ? 的通项公式 且 ? an an?1 , n ? N ?,求数列 an ? 2an ? an?1 2an?1 ? an 2an?1 ? an 分析:由 ? an an?1 ? ? 2an ? an?1 2an ? an?1 an an?1 ? 2 1 1 1? ? ? ? 2a n ? a n?1 ? a n?1 ? ? 2? an ? ? ? a n an?1 a n?1 an ? ? ?

1 1 8 {an ? }是首项为a1 ? ? ,公比为2 等比数列 an a1 3
1 8 n?1 2n? 2 1 n?1 an ? ? ? 2 ? ? an ? 0 ? an ? 2 ? 22n? 2 ? 9 an 3 3 3

?

?

思想方法:观察分析结构特点变形转化为特殊 数列,方程思想转化求一元二次方程的根
53



探究方法归纳:倒数法求通项 递 推 式 如 a ? pa ? qa a ( p, q为常数, pq ? 0) 型的数列通项的求法:
n?1 n n?1 n

例:已知数列 ?an ?满足 a1 ? 2, an ? an?1 ? 2an an?1 ,求 数列 ?an ?的通项公式

变式探究:
例: 已知数列 ?an ?满足 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 2an an?1 , 求 数列 ?an ?的通项公式
54



探究方法归纳:倒数法求通项 递 推 式 如 a ? pa ? qa a ( p, q为常数, pq ? 0) 型的数列通项的求法:
n?1 n n?1 n

1 1 方法归纳:两边同除以 an?1an 得 an ? p an?1 ? q

①若

1 p ? ?1 则构成以首项为 a 1

, 公差为 ? q 的等

?1? 1 差数列 ? an ? ,求出 a n ? ?

,进而求 an

②若 p ? ?1 ,转化为待定系数法求通项的类型
55

8.(06全国)设数列?a n ? 的前n和为S n,且方程 x 2 ? a n x ? a n ? 0 有一根为S n ? 1,n ? 1,2,3,?,求数列?a n ? 的通项公式
n n

分析:依题意可得S n ? 1) 2 ? an (S n ? 1) ? an ? 0 消去a 得S 与S ( 当n ? 2时,an ? S n ? S n?1代入上式得 n S n?1 ? 2S n ? 1 ? 0 S

n?1

的关系

?bn ?是首项为? 2公差为? 1的等差数列? bn ?
当n ? 2时,a n ? S n ? S n?1 ?

1 ? Sn ? (n ? 2) 可令bn ? 1 ,则当n ? 2时,有 特征 2 ? S n?1 Sn ?1 根法 2 ? S n ?1 1 1 1 bn ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? bn ?1 1 Sn ?1 S n ?1 ? 1 S n ?1 ? 1 ?1 2 ? S n ?1
1 ? ?(n ? 1) ? Sn ? 1

n Sn ? n ?1

1 1 1 ,而a1 ? 合上式 故a n ? n? N? n(n ? 1) 2 n(n ? 1)

?

?

注意:本题先消去an得S n与S n?1的关系, 算出前几项后观察分析 归纳法猜想Sn,再用数学归纳法证明,再转化为知S n求an
56

小结:
? 系, 消去S n (或an ), 转化为 an ?(或?S n ?)相邻两项关系式再分析 求解.
2.掌握用配凑法、待定系数法、取倒数法构造辅助数列(等差 等比或常数数列),借助辅助数列的通项(易求),进而求 an 。 重点要掌握递推数列通项的求法,总的思路是找出并分析相邻 两项的递推关系式,然后通过配凑法、待定系数法、取倒数等方 法化为等差等比数列,再分析求出通项,难点是掌握构造辅助列 的方法与技巧.

在熟练掌握等差等比数 列通项公式的基础上 1.利用S n与an的关 ,

57

58


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