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2013年广东省理科数学高考题答案及点评

时间:2013-06-10


2013 年 广东省高考理科数学试题
参考公式:棱台体积 V ? 一 选择题: 1.设集合 M= x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,N= x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M ? N ? ( A. ?0? B. ?0,2? C. ?? 2,0? D. ?? 2,0,2?

1 S1 ? S1 ? S 2 ? S

2 h ,其中 S1 , S 2 为上、下底面面积,h 为棱台的高。 3

?

广州六中江玉军编辑整理 2013.6.10

?

?

?

?

?

D )

2.定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( C ) A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) 4.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 1 2 3

3 5

3 10

1 10

则 X 的数学期望 E(X)=( A ) A.

3 2
B.

B.2

C.

5 2 16 3

D.3
2

1

5.某四棱台的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是( B ) A.4

14 3

C.

D.6
2 正视图 1 1 俯视图 图1 侧视图

6.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面。 下列命题中正确的是( D ) A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n, n // ? ,则 ? ? ? 7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于

3 ,则 C 的方程是( B ) 2

A.

x2 y2 ? ?1 4 5

B.

x2 y2 ? ?1 4 5

C.

x2 y2 ? ?1 2 5

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

1 8.设整数 n ? 4 ,集合 X= ? ,2,3,?, n?。令集合
S= ??x, y, z ? | x, y, z ? X ,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立 若 ?x, y, z ? 和 ?z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( B )

?

A. ? y, z, w? ? S , ?x, y, w? ? S C. ? y, z, w? ? S , ?x, y, w? ? S 二 填空题

B. D.

? y, z, w? ? S , ?x, y, w? ? S ? y, z, w? ? S , ?x, y, w? ? S
开始 输入n i=1,s=1 否 输出s 结束 i=i+1

9.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为____ ?? 2,1? _____。
2

10.若曲线 y=kx+lnx 在点 k) (1, 处的切线平行于 x 轴, k=____-1_____。 则 11.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为 ____7_____。 12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 =10,则 3a5 ? a7 =____20_____。

i≤n 是 s=s+(i-1)

?x ? 4 y ? 4 ? 13.给定区域 D: ? x ? y ? 4 。 ? x?0 ?
令点集 T ? ??x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ?x0 , y0 ? 是 z=x+y 在 D 上取得最大 值或最小值的点}。则 T 中的点共确定____6_____条不同的直线。 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

图2

? x ? 2 cost ? y ? 2 sin t

(t 为参数) 在点(1,1)处 ,C

的切线为 l。以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 __ ? cos? ? ? sin ? ? 2 _________。 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上。延长 BC 到 D,使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E。若 AB=6,ED=2,则 BC=____2 3 _____。 三 解答题 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?
A E D

? ? ? 2 cos? x ? ?, x ? R 。 12 ? ?

O C B 图3

? ?? (1)求 f ? ? ? 的值; ? 6?
(2)若 cos? ?

3 ?? ? 3? ? ? ,? ? ? ,2? ? ,求 f ? 2? ? ? 。 5 3? ? 2 ? ?

解: (1) f ? ?

? ?? ? ?? ? = 2 cos? ? ? ? 1 ; ? 4? ? 6?
4 3 ? 3? ? ,? ? ? ,2? ? ,? sin ? ? ? 5 5 ? 2 ?

(2)? cos? ?

?? ?? 17 ? ? f ? 2? ? ? ? 2 cos? 2? ? ? ? cos2? ? sin 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 2 sin ? ? cos? ? 3? 4? 25 ? ?

17.(本小题满分 12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所 示,其中茎为十位数,叶为个位数。 1 7 9 (1)根据茎叶图计算样本均值; 2 0 1 5 (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。茎叶图推断该车间 12 名工人中 3 0 有几名优秀工人? 图4 (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率。 解: (1)

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22; 6 2 1 ? , 6 3

(2)在所取样本中有 2 人加工零件个数超过样本均值 22,故优秀工人的频率为 根据样本情况估计总体中有 12 ?

1 ? 4 名优秀工人。 3

(3)这是一个古典概型,设所取的工人中恰有 1 名优秀工人为事件 A,
2 1 1 共有 C12 ? 66个等可能的基本事件,其中事件 A 中含有 C4 ? C8 ? 32个基本事件,

P( A) ?

32 16 ? 。 66 33

评注:这是一道典型的文科题,概率问题比往年要容易得多。 18.如图 5, 在等腰直角三角形 ABC 中,?A ? 90? , BC=6, E 分别是 AC、 上的点, D、 AB CD=BE= 2 , O 为 BC 的中点。将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? (1)证明: A?O ? 平面 BCDE; (2)求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值。
C D O E C D A 图5 图6 A'

3。

B

O E

B

解: (1)在图 5 中连结 AO,交 DE 于点 F。 因为等腰直角三角形 ABC, ?A ? 90?, BC ? 6 ,所以 AC=AB= 3 2 。 又因为 CD=BE= 2 ,所以 AD=AE= 2 2 。 所以

AD AE ? ,所以 DE//BC。 DC EB

又因为 O 为 BC 的中点,所以 F 为 DE 中点, AF ? DE 。 所以 DF=AF=2,OF=1。 在直角三角形 ODF 中,OD= 5 。 在 ?A?OD 中, A?O ? OD ? A?D ,所以 A?O ? OD 。
2 2 2

在 ?A?OF 中, A?O ? OF ? A?F ,所以 A?O ? OF 。
2 2 2

又因为 OD ? OF ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE。
O D E C D A 图5 x 图6 F z A' B E y

C

B F

O

(2)以点 O 为坐标原点,分别以 OF、OB 和 OA? 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 平面 BCD 的法向量 m ? ?0,0,1? 。 设平面 A?CD 的法向量 n ? ?x, y, z ? ,

CA? ? 0,3, 3 , DA? ? ? 1,2,

?

?

?

3 ,

?

? CA? ? n ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ,令 x=1,得 y=-1,z= 3 ,即 n ? 1,?1, 3 。 ? ? DA? ? n ? ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ?
所以 cos ? m, n ??

?

?

m?n m?n

?

15 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 。 5 5

评注:第 1 问看起来简单,证起来比较麻烦;若第 1 问证不出,第 2 问可以直接当成已经证明的条件来用, 照样可以拿到第 2 问的分。 19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn。已知 a1 ? 1, (1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 解: (1)令 n=1,解得 a 2 ? 4 ; (2)法一:令 n=2,解得 a3 ? 9 ;猜想 an ? n 2 ,下面用数学归纳法证明。 ①当 n=1 时,猜想显然成立; ②假设当 n ? k 时, ak ? k 2 , S k ? 则当 n=k+1 时, a k ?1 ?

2S n 1 2 ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * 。 n 3 3

1 1 1 7 ? ??? ? 。 a1 a 2 an 4

k ?k ? 1??2k ? 1? 6

2S k 1 2 2 ?k ? 1??2k ? 1? 1 2 2 2 ? k ?k? ? ? k ? k ? ? ?k ? 1? k 3 3 3 3 3

即当 n=k+1 时,猜想也成立。 综合①②知,对任意正整数 n, an ? n 2 。

法二:当 n ? 2 时, 2 S n ? na n ?1 ?

1 3 2 n ? n2 ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ?n ? 1?a n ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2a n ? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? 3n ? 3n ? 1 ? (2n ? 1) ? 3 3

?

?

整理得 ?n ? 1?an ? nan?1 ? n(n ? 1) 两边同时除以 n?n ? 1? ,得

a n ?1 a n ? ? 1。 n ?1 n

又因为

a 2 a1 a ?a ? ? ? 1 ,所以 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 2 1 1 ?n?

所以

an ? 1 ? ?n ? 1? ? 1 ? n ,即 an ? n 2 。 n

(3)

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ,n ? 2 an n n?n ? 1? n ? 1 n 1 7 ?1? ; a1 4 1 1 1 7 ? ? 1? ? ; a1 a2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 7 ? ??? ? 1? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 。 a1 a2 an 4 2 3 3 4 n ?1 n 4 n 4 1 1 1 7 ? ??? ? 。 a1 a 2 an 4

当 n=1 时,

当 n=2 时,

当 n ? 3 时,

综上所述,对一切正整数 n,有

评注:用数学归纳法思维量、运算量均小得多,推荐数学归纳法。今后教学中若还是强调记住各种类型的 递推式的变形技巧,而不注重训练学生如何将递推式变形成基本的等差和等比数列的递推式的形式,即若 还是将教学重心放在模式识别上的话,高考必将吃大亏。 20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A、B 为切点。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ?x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值。

3 2 。设 P 为 2

解: (1) d ?

?c?2 2

?

3 2 , c ? 0 ,解得 c=1,所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ; 2
? ? x2 4 ? x x2 ? ,曲线 C: y ? , y? ? ? 2 4 ?

(2)设 P?x0 , x0 ? 2?,设切点为 ? x, ?

x2 ? ?x0 ? 2? x 则切线的斜率为 4 ? y ? ? ,化简得 x 2 ? 2x0 ? x ? 4x0 ? 8 ? 0 x ? x0 2
设 A? x1 ,

? ? ?

x1 4

2

2 ? ? x ? 、 B? x 2 , 2 ? ? 4 ? ?

? ? ,则 x1 , x 2 是以上方程的两根, x1 ? x2 ? 2x0 , x1 ? x2 ? 4 x0 ? 8 ? ?

k AB

2 x12 x 2 ? 2 4 4 ? x1 ? x 2 ? x0 , l : y ? x1 ? x1 ? x2 ?x ? x ? ,化简得 y ? x0 x ? x ? 2 ; ? 0 AB 1 2 4 4 x1 ? x 2 4 2

(3) AF ?

x12 x2 ? 1, AF ? 2 ? 1, 4 4
2

1 ?x ?x ? 2 2 AF ? BF ? ? 1 2 ? ? x12 ? x2 ? 1 ? 2 x0 ? 6 x0 ? 9 4 ? 4 ?

?

?

当 x0 ?

3 9 时,取得最小值 。 2 2

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ?x? ? ?x ? 1?e x ? kx2 ?k ? R? 。 (1)当 k=1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; (2)当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ?x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M。 2 解: (1)当 k=1 时, f ?x? ? ?x ? 1? ? e x ? x 2

?1 ? ? ?

f ??x? ? x ? e x ? 2 ,
令 f ??x ? ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? ln 2 x

?

?

?? ?,0?
+ 递增

?0, ln 2?
- 递减

?ln 2,???
+ 递增

f ?? x ?
f ?x ?

所以, f ?x ? 在 ?? ?,0?, ?ln 2,??? 上单调递增,在 ?0, ln 2? 上单调递减。

(2) f ??x ? ? x ? e x ? 2k

?

?

令 f ??x ? ? 0 解得 x1 ? 0, x2 ? ln(2k ) ? 0 先比较 ln 2 k 与 k 的大小: 令 g ?x ? ? ln 2 x ? x , (

1 1 ? x ? 1 ) g ?? x ? ? ?1 ? 0, , 2 2x

所以 g ?x ? 在 ? ,1? 上单调递减, g ?x ? ? g ? ? ? ? ? 0 ,即 ln 2 k ? k 2 ?2? ?2 ?

?1 ?

?1?

1

x

?0, ln 2k ?
- 递减

?ln 2k, k ?
+ 递增

f ?? x ?
f ?x ?

所以 f ?x ? 在 ?0, k ? 上的最大值只能是 f ?0? 或 f ?k ? 。 以下比较 f ?0? =1 与 f ?k ? ? ?k ? 1? ? e k ? k 3 的大小: 令 h?x ? ? ?x ? 1? ? e ? x , ?
x 3

?1 ? ? x ? 1? ?2 ?

h??x? ? x ? e x ? 3x 2 ? x e x ? 3x

?

?

令 ? ?x ? ? e x ? 3x ,则 ? ??x ? ? e x ? 3 ? 0 , ? ?x ? 单调递减,

?? ? ? e ?
?1 ?2

?1? ?2?

3 ?1 ? ? 0 , ? ?1? ? e ? 3 ? 0 ,存在唯一的 x0 ? ? ,1? 使 ? ?x ? ? 0 。 2 ?2 ?

所以在 ? , x0 ? 上 h??x ? ? 0 , h?x ? 递增;在 ? x0 ,1? 上 h??x ? ? 0 , h?x ? 递减。

? ?

而 h? ? ? ?

?1? ? 2?

e 1 ? ? ?1 , h?1? ? ?1,故 h( x) ? ?1 ,即 f ?k ? ? ?1 。 2 8
k 3

所以 M= f ?k ? ? ?k ? 1? ? e ? k 。 点评: 1.选择题的答案为 DCCABDBB,多了 1 个 B,少了 1 个 A,不满足四个选项数量均等的规律。 2.与 2012 年高考题一样,整份试题难度不大,打破了试题难度大小年的规律,试题难度趋易且稳定下 来了。 3.强调数学语言的理解,尤其是在集合语言上。T1、8、9、13 均考察了集合语言的理解和运用。 4.前三道大题都不难,故要在日常教学中强调表达规范完整。 5.后三道大题强调代数运算能力,训练学生严谨细致的思维品质。


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