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抛物线 2

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抛物线及其标准方程

复习:
椭圆、双曲线的第二定义:
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹,当0<e <1时,是椭圆
当e>1时,是双曲线 当e=1时,它又是什么曲线 ?
l l M l M

F ·

F

·
e>1

·
M

· F

0< e < 1

e=1

请同学们思考两个问题
1、对抛物线已有了哪些认识?

2、二次函数中抛物线图像特征是什么?

在二次函数中研究的抛物线,它 的对称轴平行于y轴,开口向上或向 下两种情形。

一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M

· F ·

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

回顾求曲线方程一般步骤:
1、建系、设点 2、写出适合条件P的点M的集合 3、列方程
4、化简 5、答(证明)

二、标准方程
l N
M

· · F

如何建立直角 坐标系?

y

y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x

二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设动点M的坐标为(x,y), l N

y
M

由定义可知,

K o

· · F

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

2 方程 y

= 2px(p>0)叫做

抛物线的标准方程 其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离

例1、M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +
P67 3

————————————

— 2

p

y

(X0, y0) M

O F



x

X=-p/2

2 y = 2px(p>0)表示抛物线的焦点在X轴的正
半轴上 p p 则F( 2 ,0),l:x = 2

一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程还有其它形式,

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形
o







线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x


o

y

x

怎样把抛物线位置特征 (标准位置)和方程的特 点(标准方程)统一起来?

顶 点 在 原 点

对称轴 为x轴

标准方程为 y2=+ 2px

开口与x轴同向: y2=+2px 开口与x轴反向: y2=-2px

(p>0)

对称轴 为y轴

标准方程为 x2=+ 2py

开口与y轴同向: x2=+2py 开口与y轴反向: x2=-2py

(p>0)

如何确定抛物线对称轴及开口方向

一次项变量对称轴(焦点位置), 开口方向看正负

例1、(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。

反思研究

已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程: 先定位, 后定量

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的
标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 4


A

y

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

2 得p= 3



练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。 y2

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
( 1) y2 = 20x ( 2 ) x 2=
1 y 2

(3)2y2 +5x =0

(4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

( 1) ( 5 , 0 )

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

( 2)
( 3)

1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

(4) (0,-2)

y=2

3、抛物线的方程为x=ay2(a≠0)求它 的焦点坐标和准线方程? 抛物线标准方程为:y2=
①当a>0时,
p 2 1 a

x

1 ∴2p= a

=
1 4a

1 4a

,抛物线的开口向右
1 4a

∴焦点坐标是( ②当a<0时,
p 2

,0),准线方程是: x=
1 4a

=

,抛物线的开口向左

∴焦点坐标是(

1 , 0 ),准线方程是: 4a

x=

1 4a

小 结
1.抛物线的定义及活用定义解题。 2.抛物线的标准方程。 顶 点 在 原 点 对称轴 为x轴 对称轴 为y轴 标准方程为 y2=+ 2px(p>0) 标准方程为 x2=+2py(p>0) 开口与x轴正向同向:y2=2px

开口与x轴正向反向:y2=-2px
开口与y轴正向同向:x2=2py 开口与y轴正向反向:x2=-2py

已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时, 3. 应先“定位”;后“定量”。


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