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第一章 §1.1.1第2课时


1.1.1第2课时

第 2 课时
【学习要求】

集合的表示

1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法);
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2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描 述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 【学法指导】 通过

由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的 抽象过程, 感知用集合语言思考问题的方法; 体会将实际问题数 学化的过程.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1第2课时

1.列举法
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把集合的元素 一一列举 出来,并用花括号“{ 表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法

}”括起来

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 描述法



3.列举法常用于集合中的元素 较少 时的集合表示,描述法多 用于集合中的元素有 无限多个的无限集 或元素个数较多的 有限集.

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问题情境:上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数 集,但是这不能体现出集合中的具体元素是什么,并且还有 大量的非常用集合不能用大写字母表示,事实上表示一个集 合关键是确定它包含哪些元素,为此,我们有必要学习集合 的表示方法还有哪些?分别适用于什么情况?

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探究点一 列举法表示集合

1.1.1第2课时

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问题 1 在初中学正数和负数时, 是如何表示正数集合和负数集合 1 的?如表示下列数中的正数 4.8,-3, 2,-0.5, ,73,3.1. 3

答 方法一

方法二

? ? ?4.8, ? ?

? 1 ? 2, ,73,3.1? 3 ? ?

注 在问题 1 中,方法一为图示法,方法二为列举法.

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问题 2

列举法是如何定义的?什么类型的集合适合用列举法

表示?
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把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{

}”括起来

表示集合的方法叫做列举法.当集合中的元素较少时,用列举 法表示方便.例:x2-3x+2=0 的解集可表示为{1,2}.

问题 3 book 中的字母的集合能否表示为:{b,o,o,k}?
答 不能,由集合元素的互异性知,可表示为{b,o,k}.

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例1 用列举法表示下列集合:

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(1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;
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(3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合.



(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A,那么 A=

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B, 那么 B={0,1}. (3) 设由 1 ~ 20 以内的所有质数组成的集合为 C ,那么 C = {2,3,5,7,11,13,17,19}.

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1.1.1第2课时

小结

(1)花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集 R

可以写为{实数},但如果写成{实数集}、 {全体实数}、 {R}都是不确切的.
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(2)列举法表示的集合的种类 ①元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4}; ②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从 1 到 1 000 的所有自然数”可以表示为{1,2,3,?,1 000}; ③元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如:自然 数集 N 可以表示为{0,1,2,3,?}.

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跟踪训练 1 用列举法表示下列集合.

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(1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; |a| |b| (2)式子 a + b (a≠0,b≠0)的所有值组成的集合. 解 (1)满足条件的数有 3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.
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(2)∵a≠0,b≠0, ∴a 与 b 可能同号也可能异号,故 ①当 a>0,b>0 时,

|a| |b| a + b =2; ②当 a<0,b<0 时, |a| |b| a + b =-2;

|a| |b| ③当 a>0,b<0 或 a<0,b>0 时, a + b =0. 故所有的值组成的集合为{-2,0,2}.

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探究点二 问题 1


1.1.1第2课时

描述法表示集合

用列举法能表示不等式 x-7<3 的解集吗?为什么?
不能.由不等式 x-7<3,得 x<10,由于比 10 小的数有无

本 数个,用列举法是列举不完的,所以不能用列举法. 课 时 问题 2 不等式 x-7<3 的解集我们可以用集合所含元素的共同 栏 特征来表示,那么不等式 x-7<3 的解集中所含元素的共同 目 开 特征是什么? 关

答 元素的共同特征为 x∈R,且 x-7<3,即 x<10.

问题 3 由奇数组成的集合中,元素的共同特征是什么?
答 共同特征为 x=2k+1(k∈Z).

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问题 4 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法,那么如何 用描述法来表示集合?什么类型的集合适合用描述法表示?
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在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值

(或变化)范围, 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征.描述法多用于集合中的元素有无限多个 的无限集或元素个数较多的有限集.

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例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合:

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(1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.
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解 (1)设方程 x2-2=0 的实数根为 x,并且满足条件 x2-2=0, 因此,用描述法表示为
A={x∈R|x2-2=0}.方程 x2-2=0 有两个实数根 2,- 2, 因此,用列举法表示为 A={ 2,- 2}.
(2)设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x∈Z,且 10<x<20. 因此,用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}.大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16, 17,18,19, 因此, 用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

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1.1.1第2课时

小结 集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示
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集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之 间要用“,”隔开;用描述法表示集合时,要注意代表元素是 什么,从而理解集合的含义,区分两集合是不是相等的集合.

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跟踪训练 2 用适当的方法表示下列集合: (1)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (2)二次函数 y=x2-10 图象上的所有点组成的集合.

1.1.1第2课时

本 2 2 2 2 课 解 (1)方程 x +y -4x+6y+13=0 可化为(x-2) +(y+3) =0,解 时 栏 得 x=2,y=-3. 目 开 所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}. 关

(2)“二次函数 y=x2-10 图象上的所有点”用描述法表示为{(x, y)|y =x2-10}.

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例3 用适当的方法表示下列集合:

1.1.1第2课时

(1)由 x=2n,0≤n≤2 且 n∈N 组成的集合; (2)抛物线 y=x2-2x 与 x 轴的公共点的集合;
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(3)直线 y=x 上去掉原点的点的集合.
解 列举法:{0,2,4};或描述法{x|x=2n,0≤n≤2 且 n∈N}. (2)列举法:{(0,0),(2,0)}. (3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.

小结

用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元

素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来 选择适当的方法表示集合.

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1.1.1第2课时

跟踪训练 3 若集合 A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2 000,

{2 000,2 001,2 004} x∈A},则用列举法表示集合 B=__________________________.
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解析

由 A={x∈Z|-2≤x≤2}={-2,-1,0,1,2},所以 x2∈

{0,1,4}, x2+2 000 的值为 2 000,2 001,2 004, 所以 B={2 000,2 001, 2 004}.

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1.1.1第2课时

? ?x+y=3 1.方程组? ? ?x-y=-1 本

的解集不可表示为 }
? ?x=1 B.{(x,y)|? ? ?y=2

( C ) }

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? ?x+y=3 A.{(x,y)|? ? ?x-y=-1

C.{1,2}

D.{(1,2)}

解析 方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一对有 序实数对,故 C 不符合.

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2. 已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为
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( D ) D.10

A.3

B. 6

C.8

解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},

∴x=2, y=1; x=3, y=1,2; x=4, y=1,2,3; x=5, y=1,2,3,4.
∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4)},

∴B 中所含元素的个数为 10.

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1.1.1第2课时

3.已知集合
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? ? 8 ? ? ? A= x∈N|6-x∈N?,试用列举法表示集合 ? ? ? ?

A.



由题意可知 6-x 是 8 的正约数,当 6-x=1,x=5;

当 6-x=2,x=4;当 6-x=4,x=2;当 6-x=8,x=-2; 而 x∈N,∴x=2,4,5,即 A={2,4,5}.

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1.1.1第2课时

1.在用列举法表示集合时应注意: (1)元素间用分隔号“,”;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;
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(4)列举法可表示有限集,也可以表示无限集,若元素个数比较 少用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一 定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意: (1)弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么),是数、还是有 序实数对(点)、还是集合或其他形式? (2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所 具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.


第一章§1.1.2课时活页训练

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