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山西省康杰中学、长治二中、临汾一中、忻州一中2015届高三数学上学期第一次联考试题 文

时间:2014-09-28


山西省康杰中学、长治二中、临汾一中、忻州一中 2015 届高三上学 期第一次联考数学文试题
【满分 150 分,考试时间 120 分】 第Ⅰ卷 客观卷 共 60 分 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
x 1. 已知集合 M ? x 2 ? 1 , N ? x x ? 2 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. [1,2]

B. [0,2]

C. [-1,1]

D. (0,2)

2. 若 i 为虚数单位 ,则 ? i ? A. ? 2i

1? i ? 1? i
C.

B. 0

1 i 2

D. 2i

3. 集合 A ? ?2,3?, B ? ? 1,2,3? ,从集合 A, B 中各任意取一个数,则这两个数的和等于 4 的 概率是 A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6

4. 已知双曲线

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则此双曲线的渐近线方程为 2 2 a b
B. y=± 2x C. y=± 2 x 2 1 D. y=± x 2

A.y=±2x

5. 已知等差数列 ?an ? 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? A. 6 6. 下列说法正确的是 A. 命题“ ? x0∈R,x0 +x0+1<0”的否定是:“ ? x∈R,x +x+1>0”;
2 2

B. 9

C. 12

D. 18

开始

B. “x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件; C. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是:若 x =1,则 x≠1; D. 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题. 7. 执行如图所示的程序框图,当输出值为 4 时, 输入 x 的值为 A.2 C.-2 或-3 B. ? 2 D.2 或-3
y=1?x
2 2

2

输入 x 否
x≥1?



y=x2

输出 y 结束

8. 函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? log 2 x 的零点所在的一个区间是 1 1 A. ( , ) 8 4 1 1 B. ( , ) 4 2 1 C. ( ,1) 2 D. (1,2)

9. 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一 点,若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且外接圆的面积为 9? ,则 p ? A. 2 B. 4 C.6
2 2

D. 8

10. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所 得几何体 的三视图如图所示,则该截面的面积为 A.
2

1

1

1

1

9 2

正视图
1 2

侧视图

B. 3 C. 4 D.
1

俯视图

3 10 2

11. 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? x, x ? 1 ? log0.5 x, x ? 1

, 若对于任意 x ? R , 不等式 f ( x) ?

t2 ? t ? 1 恒成 4

立,则实数 t 的取值范围是 A.

?? ?,1? ? ?2,???

B.

?? ?,1? ? ?3,???

C. ? 1,3?

D.

?? ?,2? ? ?3,???
3 a, 6

12. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 BC 边上的高为 则

c b ? 的最大值是 b c
B. 6 C. 3 2 第Ⅱ卷 主观卷 共 90 分 D. 4

A. 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)
?x ? y ?1 ? 0 13. 若实数 x, y 满足 ? ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x?0 ? y?2 ?

14. 已知 m, n 是夹角为 120 的单位向量,向量 a ? tm ? (1 ? t )n ,若 n ? a ,则实数 t ? 15. 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ ABC 为等边三角形,

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是
16. 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3sin 2 x ? 3 ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单 6

位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有

1012 个零点,则 b ? a 的最小值为
三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在公差不为零的等差数列{ an }中, a2 ? 3 , a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,记 bn ? 18. (本小题满分 12 分) 如图五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形, B1C1 ? 平面ABB1 N ,四边形 ABB 1 N 为梯形, 且 AB ? BB1 , BC ? AB ? AN ? (1)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (2)求此五面体的体积. 19.(本小题满分 12 分) 近几年出现各种食品问题, 食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为 了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查,得到了如下的列联 表: (1) 请将如图的列联表补充完整; 若用分层抽 样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人,其中 女性抽多少人? (2)为了研究三高疾病是否与性别有关,
2

1 . 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . S 3n

1 BB1 ? 4 . 2

患三高疾病 男 女 合计 36

不患三高疾病 6

合计 30

请计算出统计量 K ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关? 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式 K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
x?a ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1) 若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直, 求函数 f ( x) 的单调递 减区间;

(2)若函数 f ( x) 在区间 ? 1,3? 上的最小值为

1 ,求 a 的值. 3

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 ,两焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直 2 a b 2

线交椭圆 C 于 M , N 两点,且△ F2 MN 的周长为 8 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P ?m,0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,求弦长 AB 的最大值.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ,

?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 为点 D , E ,
若 PA ? 2 PB ? 10 . (1)求证: AC ? 2 AB ; (2)求 AD ? DE 的值. C O E 22 题图 D B P A

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲 已知直线 l : ?

? x ? ?1 ? t cos? ( t 为参数,?为 l 的倾斜角) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 . (1)若直线 l 与曲线 C 相切,求 ? 的值; (2)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知正实数 a , b 满足: a ? b ? 2 ab .
2 2

(1)求

1 1 ? 的最小值 m ; a b

(2)设函数 f ( x) ? x ? t ? x ? (t ? 0) ,对于(1)中求得的 m ,是否存在实数 x ,使

1 t

f ( x) ?

m 成立,说明理由. 2

2 01 5 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 数 学 试 题 ( 文 ) 答 案 一、1-6.BACCBD 二、13. 3 14. 7-12. DCBABD

2 3

15.

32 3 3 ?a 27

16.

1516 ? 3

?a1 ? d ? 3 ? 2 三、17.解:①设{ an }的公差为 d ,依题意得 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,???3 分 ?d ? 0 ?
解得 a1 ? 2 , d ? 1 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ?1 ② S 3n ? 即 an ? n ? 1 . ???????5 分 ???????6 分

3n(a1 ? a3n ) 3n(2 ? 3n ? 1) 9n(n ? 1) ? ? . 2 2 2
??????9 分

bn ?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S 3n 9n(n ? 1) 9 n n ? 1

2 1 1 1 1 1 2n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 9 2 2 3 n n ?1 9(n ? 1)
故 Tn=

2n . 9(n ? 1)

????????12 分

18.解: (1)证明:连 BN ,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M , ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN , ?????????2 分
A

C

C1

B

M

B1

N

又,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,? BN ? B1 N ,?????? 4 分
2 2 2

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N , B1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(2)连接 CN, VC ? ABN ?

????????????? 6 分

1 1 1 32 , ?????? 8 分 ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3

又 B1C1 ? 平面ABB1 N , 所 以 平 面 CBB1C1 ? 平 面 ABB 1N , 且 平 面

CBB1C1 ? ABB1 N ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB ,
∴ NM ? 平面B1C1CB , ????????9 分 ???????11 分 ????????12 分

1 1 128 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3 32 128 160 此几何体的体积 V ? VC ? ABN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 V N ? B1C1CB ?
19.(本题满分 12 分)解: (1) 患三高疾病 不患三高疾病 男 女 合计 24 12 36 6 18 24 合计 30 30 60

?????3 分 在患三高疾病人群中抽 9 人,则抽取比例为 ∴女性应该抽取 12 ? (2)∵ K ?
2

9 1 ? 36 4
???????6 分

1 ? 3 人. 4

60(24 ? 18 ? 6 ? 12) 2 30 ? 30 ? 36 ? 24

?????8 分

? 10 ? 7.879 , ?????10 分 那么,我们有 99.5% 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.?????12 分 1 x ? ( x ? a) x ? a ? 2 (x ?0) 20.解: f ?( x) ? ? ???????2 分 x x2 x
(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直, , 所以 f ?(1) ? ?1 ,即 1 ? a ? ?1 解得 a ? 2 当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 令 f ?( x ) ? ????????4 分

x?2 x?2 , f ?( x) ? 。 x x2

x?2 ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 所以函数的递减区间为: ?0,2? ??????6 分 x2

(2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,3]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

令 a ?1 ?

1 4 ,得 a ? ? 1 (舍去) ???7 分 3 3

当 1 ? a ? 3 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1,3) 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ?1, a? 上为减函数, 对于 x ? (a,3) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ? a,3? 上为增函数,

? f ( x) min

1 ? f (a ) ? ln a ,令 ln a ? ,得 a ? e 3 3

1

?????9 分

当 a ? 3 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在 ?1,3? 上为减函数, ∴ f ?( x) min ? f (3) ? ln 3 ?
1

a a 1 ? 1 . 令 ln 3 ? ? 1 ? 得 a ? 4 ? 3 ln 3 ? 2 (舍去) 3 3 3
????????12 分 ????3 分

综上, a ? e 3 21.解: (1)由题得:

c 3 , 4a ? 8 ,所以 a ? 2 , c ? 3 。 ? a 2

2 2 2 又 b ? a ? c ,所以 b ? 1 即椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ?????4 分 4

(2)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2
?????5 分

3 ; 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), (k ? 0)

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , 则 ? ? 64k m ? 16(1 ? 4k )(4k m ? 4) ? 48k ? 0
4 2 2 2 2 2

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k

, x1 x2 ? 2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

| km | k 2 ?1

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 得 k 2 ?

1 m ?1
2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
???????9 分

?

4 3|m| m2 ? 3

因为 | m |? 1

所以 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2, 由于当 m ? ?1 时, | AB |? 3, 所以|AB|的最大值为 2. 22.解: (1)∵PA 是圆 O 的切线 ∴ ?ABP ∽ ?CAP ∴ ∴ ?PAB ? ?ACB ???????12 分 又 ? P 是公共角

???????2 分 ∴ AC ? 2 AB
2

AC AP ? ?2 AB PB
∴ BC ? 15

???4 分

(2)由切割线定理得: PA ? PB ? PC 又 PB=5

∴ PC ? 20 ???6 分

又∵AD 是 ?BAC 的平分线 ∴ ∴ CD ? 2 DB

AC CD ? ?2 AB DB

∴ CD ? 10,

DB ? 5

???8 分 ???10 分

又由相交弦定理得: AD ? DE ? CD ? DB ? 50 23.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6x ? 5 ? 0
2 2

即 ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

曲线 C 为圆心为(3,0),半径为 2 的圆. ???3 分

直线 l 的方程为: x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 ∵直线 l 与曲线 C 相切 ∴

| 3 sin ? ? sin ? | sin 2 ? ? cos2 ?

?2
???5 分

即 sin ? ?

1 2
∴?=

∵ ??[0,π )
2

?
6



5? 6
2 2

???6 分

(法二)①将 ? ? 6? cos? ? 5 ? 0 化成直角坐标方程为 x ? y ? 6x ? 5 ? 0 ??2 分

?x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 ? 2 由 ? x ? ?1 ? t cos? 消去 x, y 得 t ? 8t cos? ? 12 ? 0 ? y ? t sin ? ?
2 ∵ l 与 C 相切 ∴ Δ =64 cos ? -48=0

????4 分

解得 cos?= ?

3 2
????6 分

∵ ??[0,π )

∴?=

?
6



5? 6

(2)设 x ? 3 ? 2 cos? , y ? 2 sin ? 则 x ? y = 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 3 ? 2 2 sin(? ? ∴ x ? y 的取值范围是 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 . 24.解: (1)∵ 2 ab ? a ? b ? 2ab
2 2

?
4

)

???9 分 ???10 分

?

?



ab ? ab ∴ ab ? 1

???2 分



1 1 2 ? ? ?2 a b ab

当且仅当 a ? b 时取等号. ???5 分

∴ m?2 (2) f ( x ) ?| x ? t | ? | x ?

1 1 |?| t ? |? 2 t t

???9 分 ???10 分

∴ 满足条件的实数 x 不存在.


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