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成人高考数学第02讲讲义


(2)交集
B

由集合 A 与集合 B 的所有公共元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记
A

作 A ? B 。由交集的定义知道: A ? A ? A, A ? ? ? ? 。 (3)并集

B

把集合 A 与集合 B 的所有元素合并在一起所组成的集合,叫做 A 与<

br />
B 的并集,记作
A

A ? B 。由并集的定义知道: A ? A ? A , A ? ? ? A 。
(4)补集:

10 全集:在研究集合与集合之间关系的问题中,这些集合常常都是某一个给定的集合的子集,这
个给定的集合叫做全集,用符号 U 表示。

20 补集:已知全集 U ,集合 A ? U ,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做集合 A 在集
合 U 中的补集,记作 ?U A (有的书上记作 A ) 。
?

A A

由补集的定义知道: A ? ?U A ? U , A ? ?U A ? ? 。 或者: A ? A ? U , A ? A ? ? 。

U
CUA A

U

一、

简易逻辑

一个数学命题都有条件和结论两部分,如果把条件和结论分别用 A 、 B 表示,那么命

1页

题可以写成“如果 A 成立,那么 B 成立” ,或简写成“若 A ,则 B ” 。 如果 A 成立,那么 B 成立,即 A ? B ,这时我们就说条件 A 是 B 成立的充分条件。 如果 B 成立,那么 A 成立,即 B ? A ,这时我们就说条件 A 是 B 成立的必要条件。 如果 A 既是 B 成立的充分条件,又是 B 成立的必要条件,即既有 A ? B ,又有

B ? A ,这时我们就说条件 A 是 B 成立的充分必要条件,简称充要条件。

典型例题

例 1 用列举法可以把集合 x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 表示为( (A) 1. (B) 2. (C) 1, 2. (D) ?1, 2? . 解:选(D)

?

?



分析:集合有两种常用的表示方法,一种是“列举法” ,另一种是“描述法” 。 所谓“列举法”就是将集合中的元素一一列举出来,要求是既不能重复又不能遗漏。 它的格式是这样的: ?元素1, 元素2, 元素3, ...? ,而描述法的关键在于用文字语言或符号语言对集 合中的所有元素的共有特性进行描述,它的格式是这样的:

?文字语言或符号语言描述所有元素的共性? ,本题是要求将用“描述法”表示的集合,

?x | x

2

? 3x ? 2 ? 0 转化为用“列举法”表示的集合。

?

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 是一个一元二次方程,用十字相乘法解此方程,

? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,得到方程的两个解, x ? 1, x ? 2 。故

?x | x

2

? 3x ? 2 ? 0 ? ? x | x ? 1或x ? 2? ? ?1, ? . 2

?

注意:当 a, b, c 为任意常数且 a ? 0 时,称 ax2 ? bx ? c ? 0 为任意的一元二次方程,解一元二次

2页

方程的一般方法是利用求根公式 x1,2 ? 根公式更灵活更方便。

?b ? b 2 ? 4ac ,在本题中用十字相乘法解此方程显然比用求 2a

例 2 用列举法可以把集合 ? x | 0 ? x ? 10, 且x为偶数? 表示为( (A) 2, 4, 6, 8. (B) ?2, 4, 6, 8? . (C) ?0, 2, 4, 6, 8, 10? . (D) ?2, 4, 6, 8, 10? . 解:选(C)



分析:凡能被 2 整除的整数就称为“偶数” 。偶数集合既可以用“描述法”表示也可以用“列举 法”表示。故有 偶数 ? ?能被2整除的整数? ? ?..., ?6, ? 4, ? 2, 0, 2, 4, 6, ...? , 观察例 2 可知,所求集合为“小于或等于 10 的非负偶数”即 ?0, 2, 4, 6, 8, 10? . 例 3 由全体奇数所组成的集合是( (A) ?k | k ? 2 ? m ? 1? , m ? Z? . (B) ?k | k ? 2 ? m ? 1? , m ? Z? . (C) ?k | k ? 2m ? 1, m ? Z? . (D) ?k | k ? 2m ? 1, m ? N? . 解:选(C) 分析:凡不能被 2 整除的整数就称为“奇数” 。 奇数集合可以用不同的“描述法”表示如下, 奇数 ? ?不能被2整除的整数? ? ?k | k ? 2m ? 1, m ? Z? ? ?k | k ? 2m ? 1, m ? Z? . 注意: Z ”表示整数集合,而“ N ”表示自然数集合,且 N ? Z. “ 奇数集合也可以用不同的“列举法”表示如下, 奇数 ? ?..., ?5, ? 3, ? 1, 1, 3, 5, ...? ? ??1, ? 2, ? 3, ...? . )

3页

例 3 由平方为 1 的数所组成的集合是( (A) 1. (B) ?1. (C) ?1. (D) ?1, ? 1? . 解:选(D)



分析:设平方为 1 的数为 x ,则 x 2 ? 1 , x ? ?1, 故,由平方为 1 的数所组成的集合是 ?1, ? 1? . 例 4 m 是有理数是 m 是实数的( (A)充分但非必要条件 . (B)必要但非充分条件 . (C)充要条件 . (D)非充分非必要条件 . 解:选(A) 分析:有理数 ? 实数,有理数必定为实数,而实数不一定为有理数。 例 5“ A, B 全不为零”是“ Ax ? By ? C ? 0 为直线方程”的( (A)充分但非必要条件 . (B)必要但非充分条件 . (C)充要条件 . (D)非充分非必要条件 . 例 6 用适当的符号( ? , ? , ? , ? , ? )填空: ? ? (1) 1______ ?1? ; (3) ?a? ______ ?a, b, c? ; (2) a ______ ?a, b, c? ; (4) d ______ ?a, b, c? ; ) )

(5) ?a, b? ______ ?a, b, c? ; (6) ?c, b, a? ______ ?a, b, c? ; (7) ? ______ ?1, 2, 3? ; (9) ?3______ N ; (8) 0 ______ ?1, 2, 3? ; (10) 0.5 ______ Z ;

4页

(11) 0 ______ ? x | x ? 0? ;

(12) 3 ______ R .

解:符号“ ? ”表示“属于” 符号“ ? ”表示“不属于” ; , 符号“ ? ”与“ ? ”是表示“元素”与“集合”之间关系的两个符号,在应用这两个关系符号时 应当注意:该符号左边必须是“元素” ,而右边必须是“集合” 。 符号“ ? ”表示“真包含于” 符号“ ? ”表示“真包含” ; , ? ? 符号“ ? ” “ ? ”与“ ? ”是表示“集合”与“集合”之间关系的三个符号,在应用这三个关 、 ? ? 系符号时应当注意:该符号左边与右边都必须是“集合” 。 (?,? , ? , ? , ? ) ? ? (1) 1 ? ?1? ; (3) ?a? ? ?a, b, c? ; ? (2) a ? ?a, b, c? ; (4) d ? ?a, b, c? ;

(5) ?a, b? ? ?a, b, c? ; (6) ?c, b, a? ? ?a, b, c? ; ? (7) ? ? ?1, 2, 3? ; ? (9) ?3 ?N ; (11) 0 ? ? x | x ? 0? ; (8) 0 ? ?1, 2, 3? ; (10) 0.5 ? Z ; (12) 3 ? R .

注意:不含有任何元素的集合称为空集,记为 ? ,空集还可以表示为 ? 空集 ? ? ? ?

? ,也即

? . 并且规定“空集”是“任意集合”的真子集,如果设 A 为任意集合,则必定有
? A. ?

? ? A ,或 ? ?

?

“ N ”表示“自然数”集合; Z ”表示“整数”集合; R ”表示“实数”集合。 “ “ 例 7 设 P ? ? x | x ? 3? , a ? 2 2 ,则( (?,? , ? , ? , ? ) ? ? (A) a ? P. ? (B) a ? P. (C) ?a? ? P . )

5页

(D) ?a? ? P. ? 解:选(D) 分析: a ? 2 2 表示“元素” P ? ? x | x ? 3? 表示“集合” , , 显然有 a ? P ,进一步有 ?a? ? P. ? 例 8 设 M ? ?1? , S ? ?1, 2? , P ? ?1, 2, 3? ,则 ? M ? S ? ? P 是( (A) ?1, 2, 3? . (B) ?1, 2? . (C) ?1? . (D) ?3? . 解:选(B) 分析: ? ”是集合的并集运算符号; ? ”是集合的交集运算符号;这两个符号的两边都必须是 “ “ “集合” ,设有任意两个集合, A 与 B ,则“ A ? B ”表示两个集合的并集,并集中的元素应当至少 以以属于 A 集或 B 集中的一个。 “ A ? B ” 而 表示两个集合的交集, 交集中的元素应当同时以属于 A , )

B 两个集合。
注意到, M ? ?1? ? S ? ?1, 2? ,故 M ? S ? S ? ?1, 2? ,故,

? M ? S ? ? P ? S ? P ? ?1, 2? ? ?1, 2, 3? ? ?1, 2? ? S .
例 9 写出集合 ?a, b, c? 的所有子集,并指出其中有几个非空真子集: 解:集合 ?a, b, c? 共有下列 8 个子集,其中有 6 个非空真子集。

? ; ?a? , ?b? , ?c? ; ?a, b? , ?b, c? , ?c, a? ; ?a, b, c? .
一般地,设非空集合 A 中含有 n 个元素, n ? Z+ ,则 A 共有 2 n 个子集,其中有 2n ? 2 个非空真 子集。 例 10 设 A ? ? x | x ? 5? , B ? ? x | x ? 0? ,求: (1) A ? B , (2) A ? B. 解:在 x 数轴上画出 A 与 B 的图像(略) ,观图可知,

6页

(1) A ? B ? ? x | 0 ? x ? 5? . 或者, A ? B ? ? 0, 5 ? . 称“ ? 0, 5 ? ”为以 0 为左端点,5 为右端点 的左闭右开区间。简称“半闭半开区间” 。 (2) A ? B ? R . 例 11 设 A ? ?? x, y ? | 3 x ? 2 y ? 1? , B ? ?? x, y ? | x ? y ? 2? ,

C ? ?? x, y ? | 2 x ? 2 y ? 3? , D ? ?? x, y ? | 6 x ? 4 y ? 2? ,求 A ? B , B ? C , A ? D.
解: a 与 b 是不全为零的常数,c 为任意常数时, 当 方程 ax ? by ? c , 表示一族直线, A, B, C, D 故 可以看作是 4 条直线分别构成的 4 个集合。求 A ? B ,实际上就是要求直线 A 与直线 B 的交点,并将 其交点用“集合”来表示。请注意:平面上两条直线的位置关系有三种,1)相交,此时有唯一交点, 即“二元一次方程组”只有唯一一组解; 2)重合,此时有无穷多个交点,即“二元一次方程组”有无穷多组解; 3)平行,此时没有交点,即“二元一次方程组”无解。 求解“二元一次方程组”可利用“加减消元法”或“代入消元法” 。 具体求解方程组的过程在此省略了,最后求出:

A ? B ? ??1, ?1?? ; B ? C ? ? ,或 B ? C ? ? ? ; A ? D ? A 或 A ? D ? D 。
即直线 A 与直线 B 相交;直线 B 与直线 C 平行;直线 A 与直线 D 重合。 例 12 设 A ? ?菱形? , B ? ?矩形? ,用 A , B 表示 C ? ?正方形? 。 解:由平面几何知识可知, “菱形”是四边相等的“平行四边形” ,而“矩形”是有一个内角等于 ,故 90? 的“平行四边形” C ? A ? B ,即 ?正方形? ? ?菱形? ? ?矩形? 。 “平行四边形”是有一组对边平行且等长的“四边形” 。 平面上,四条线段不交叉地首尾相接构成的封闭图形称为“四边形” , “凸四边形”的四个内角都介于 0? 到 180? 之间。 例 13 设 S ? ? x | x ? 3? , T ? ? x | x ? 1? ,求 S ? T , S ? T , CR S , CRT . 解:设全集用 U 来表示,若 U ? R ,为实数集合,则集合 S 相对于全集 R 的补集就记为 CR S , 注意:还可以将集合 S 相对于全集 R 的补集记为 S ,也即 S ? CR S . 类似地,有 S ? CR T .

7页

在数轴 x 上画出集合 S 与 T 的图像(略) ,观图可知:

S ? T ? ? x | 1 ? x ? 3? ? ?1, 3? , S ? T ? R ,
CR S ? S ? ? x | x ? 3? ? ? 3, ? ? ? , CR T ? T ? ? x | x ? 1? ? ? ??, 1? .
例 14 方程组 ? (A) ? 3, 4 ? (B)

? x ? y ? 7, 的解集是() ? xy ? 12

?

?

?? 4, 3??

(C) ?? 3, 4 ? , ? 4, 3?? (D) ?? x, y ? | x ? 3或4, y ? 4或3? 答案:C。 分析:解方程组,可得两个解( x, y 的值可以互换) 。此方程组 ?

? x ? y ? 7, 是一个二元二次方程 ? xy ? 12

组,可以用消元求解, ?

? x ? y ? 7, ?1? ,由(1)得: y ? 7 ? x (3) , ? xy ? 12, ? 2 ?

把(3)代入(2) ,得 x ? 7 ? x ? ? 12 , 7 x ? x 2 ? 12 , x2 ? 7 x ? 12 ? 0 , 用十字相乘法对二次三项式 x2 ? 7 x ? 12 ? 0 因式分解, ? x ? 3?? x ? 4 ? ? 0 , 故 x1 ? 3, x2 ? 4 。再把 x1 与 x2 分别代入(3)式。求得: ?

? x1 ? 3, ? y1 ? 4,

? x2 ? 4, ? ? y2 ? 3.

y
6

在平面解析几何中,方程 x ? y ? 7 表示一条直线,而方
5

x? y ? 7 A xy ? 12 B

程 xy ? 12 表示一条双曲线, 如果把 x ? y ? 7 , 变化为 y ? ? x ? 7 , 它就是一次函数又 叫做线性函数,其几何含义就表示一条直线,而如果把方程

4

3

xy ? 12 转化为 y ?

12 ,那么,它就是反比例函数,几何含义 x

表示一条双曲线。两个方程联立为方程组,求解这个方程组,

O

3

4

5

x

8页

就是要求直线与双曲线的交点,经计算后,求出它们的两个交点 ? 3, 4 ? , ? 4, 3 ? 。 注意: (1)上图中的原点坐标不是常规意义下的 O ? 0, 0 ? ,而是特殊意义下的 O ? 2, 2 ? 。 (2)上图中没有画出两个数轴的箭头,但这并不影响解题。 例 15 三角形全等是三角形面积相等的() (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:A。 分析:如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积必定相等;但是,反之,从两个三角形面 积相等不能推出这两个三角形全等。 例 16 b ? 0 是直线 y ? kx ? b 过原点的() (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:C。 分析:设命题 P 为“ b ? 0 ” ,命题 Q 为“直线 y ? kx ? b 过原点” 。因为当 b ? 0 时, 直线方程变为 y ? kx ,图形一定经过原点,即 P ? Q 成立。当 y ? kx ? b 过原点时, 把原点坐标 ? 0, 0 ? 代入直线方程,得 0 ? k ? 0 ? b , b ? 0 ,即 Q ? P 成立。 注意:讨论这类题目,要考察 P ? Q, Q ? P 这两个式子是否都成立,如果只看一个式子,就有 可能会出错。

例 17 求证: ? ABC 是等边三角形的充要条件是 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? 0 ,其中, a, b, c 是 三边之长。 证明: (1)充分性:

9页

如果 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? 0 , 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? 0 ,

?

?

2a2 ? 2b2 ? 2c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 0 ,

?a

2

? 2ab ? b 2 ? ? ? b 2 ? 2bc ? c 2 ? ? ? c 2 ? 2ca ? a 2 ? ? 0 ,
2

?a ? b?

? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? 0 , ? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 , ? a ? b ? c 。
2 2

故, ? ABC 是等边三角形。 (2)必要性: 如果 ? ABC 是等边三角形,那么 a ? b ? c ,所以,

?a ? b?

2

? ?b ? c ? ? ?c ? a ? ? 0 ,
2 2

?a

2

? 2ab ? b 2 ? ? ? b 2 ? 2bc ? c 2 ? ? ? c 2 ? 2ca ? a 2 ? ? 0 ,

2a2 ? 2b2 ? 2c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 0 ,
2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? ? 0 , a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? 0 。
综上所述: ? ABC 是等边三角形的充要条件是 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? 0

10 页


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