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历届高考中的导数试题精选及详细答案(文科)

时间:2015-03-25


历届高考中的“导数”试题精选及详细答案 (文科自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9



10

1.(2005 全国卷Ⅰ文)函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.(2008 海南、宁夏文)设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2



B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2 )

3. (2005 广东)函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为( A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2) 4.(2008 安徽文)设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值 B.有最小值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x
C.是增函数



D.是减函数

5. (2007 福建文、理)已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0, 则 x<0 时( ) A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0 C f’(x)<0,g’(x)>0 D f’(x)<0,g’(x)<0

2 6.(2008 全国Ⅱ卷文)设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?( )

A.1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1 )

7. (2006 浙江文) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是( (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

8. (2004 湖南文科) 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限, 则函数 f /(x)的图象是 ( y y y y



o

x

o B

x

o C

x

o D )

x

A

9. (2004 全国卷Ⅱ理科)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数(

3? ? 3? 5? (A)( , ) (B)( ? ,2 ? ) (C)( , ) (D)(2 ? ,3 ? ) 2 2 2 2

10.(2004 浙江理科)设 f ?( x) 是函数 f(x)的导函数,y= f ?( x) 的图象如图所示,则 y= f(x)的 图象最有可能的是( )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 3 2 11.(2007浙江文)曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点(1,一3)处的切线方程是________________.
12.(2005 重庆文科)曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的 面积为 . 13. (2007 江苏)已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M,m, 则 M ? m ? _____________; 14.(2008 北京文)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(f(0))= ____ ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= ______

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15.(2005 北京理科、文科) 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

3 2 16. (2006 安徽文) 设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) , 已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

17.(2005 福建文科)已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且 在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

18.(2007 重庆文)用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽 之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

19.(2008 全国Ⅱ卷文) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;

2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0,

20. (2008 湖北文) 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

历届高考中的 “导数” 试题精选(文科自我测试) 参考答案
一. 选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 D

2 B

3 D

4 A

5 B

6 A

7 C

8 A

9 B

10 C

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 8 11. 5x ? y ? 2 ? 0 ; 12. ;13. 32 ;14. 2 3

,

-2

.

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15. 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) .

(II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

16.解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一 个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x3 ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x2 ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间;(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递
减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小
值为 ?4 2 。

17.解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),d=2 知,所以
3 2

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , f ? (x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知 ?3 ? 2b ? c ? 6, ?b ? c ? 0, -6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ? (-1)=6,∴ ? 即? 解得 b=c=-3. ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?2b ? c ? ?3,
故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2, (Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+ 2 ,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- 2 )内是增函数,在(1- 2 ,1+ 2 )内是 减函数.

18.解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 h ?

18 ? 12x 3? ? ? 4.5 ? 3x(m) ? 0<x< ? . 4 2? ? 3 故长方体的体积为 V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 ) (0<x< ). 2 2 从而 V ?( x) ? 18x ? 18x (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 2 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 时,V′(x)<0, 3 故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。

19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2) . 因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6 x . g (0) ? 0 当 g ( x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 g (0) 时, ax3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6 x ? 0 对一切 x ? ?0,2?都 成立, 解法一:即 a ?

a ? ?? ( x)?min

3x ? 6 3x ? 6 对一切 x ? ?0,2?都成立.令 ? ( x) ? 2 , x ? ?0,2?,则 2 x ? 3x x ? 3x

3x ? 6 ? 3( x ? 2) 2 ? 6 在 x ? ?0,2?上单调递减, ? 0 ,可知 ? ( x) ? 2 2 2 x ? 3x ( x ? 3 x) 6 6? ? 所以 ?? ( x)?min ? ? (2) ? , 故 a 的取值范围是 ? ??, ? 5 5? ? 2 解法二:也即 ax ? 3(a ? 1) x ? 6 ? 0 对一切 x ? ?0,2?都成立, (1)当 a=0 时,-3x-6<0 在 x ? ?0,2?上成立; 3( a ? 1) (2)当 a ? 0 时,抛物线 h( x) ? ax2 ? 3(a ? 1) x ? 6 的对称轴为 x ? ? , 2a 3(a ? 1) ? 0 ,有 h(0)= -6<0, 所以 h(x)在 (0,??) 上单调递减,h(x) <0 恒成立; 当 a<0 时, ? 2a 当 a>0 时,因为 h(0)= -6<0,,所以要使 h(x)≤0 在 x ? ?0,2?上恒成立,只需 h(2) ≤0 成立即可,解得 a 6 ≤ ; 5 6? ? 综上, a 的取值范围为 ? ??, ? . 5? ?
由 ? ?( x) ? 20.解:(Ⅰ) f ’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f ’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-m) -m (-m,

1 m, 3
(

1 m) 3

1 m 3

1 m ,+∞) 3

+ f’(x) 0 0 + - f (x) 极大值 极小值 从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9,即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,

1 1 68 . 又 f(-1)=6,f(- )= , 3 3 27 68 1 所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- =-5(x+ ), 27 3
依题意知 f ’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0.

历届高考中的 “导数” 试题精选(理科自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7


8

9

10

1. (2004 湖北理科)函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是( (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0 2. (2007 全国Ⅱ理) 已知曲线 y ? (A)3 (B) 2

1 x2 ? 3lnx的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
1 (D) 2
′ ′



(C) 1


3.(2005 湖南理)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0 (x),f2(x)=f1 (x),…,fn+1(x)=fn (x),n∈N, 则 f2005(x)=( ) A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx 4.(2008 广东理)设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( )

1 1 D. a ? ? 3 3 3 5.(2001 江西、山西、天津理科)函数 y ? 1 ? 3x ? x 有( )
A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ? (A)极小值-1,极大值 1 (B)极小值-2,极大值 3 (C)极小值-2,极大值 2 (D)极小值-1,极大值 3 6. (2004 湖南理科)设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) (A) (?3,0) ? (3,??) (C) (??,?3) ? (3,??) 7.(2007 海南、 宁夏理)曲线 y ? e A.
1 x 2

(B) (?3,0) ? (0,3) (D) (??,?3) ? (0,3) 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( C. 2e
2

2



9 2 e 2

B. 4e

2

D. e

2

8. (2008 湖北理)若 f(x)= ? A.[-1,+∞]

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2 B.(-1,+∞) C. ?? ?,?1? D.(-∞,-1)

9. (2005 江西理科)已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数

f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( y y y y
2 1 -2 -1 -2
o



y y=xf'(x)
1 -1
o

2 1
1 23 x

4
o

4 2 1

-1 -2
B

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

-1

A

C

D )

10.(2000 江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是( (A) 2 3 (B) 9 ? 2 3 (C)

32 3

(D)

35 3

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2007 湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ? f(1)—f ’(1)=______________. 12. (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x 3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是 .

1 x +2, 2

13.(2008 全国Ⅱ卷理)设曲线 y ? eax 在点 (0, 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _____ . 14. (2006 湖北文)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞) 1, 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数 上的变量,则 (? ? r 2 )? =2 ? r ○ ○
2

等于圆的周长函数。 1 的式子: 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 2 ○ 2 式可以用语言叙述为: ○ 。

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分) 15.(2004 重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 1 p (元/吨)之间的关系式为:p ? 24200 ? x 2 ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x(元) 。 5
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)

16.(2008 重庆文) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9x ?1(a 直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值;
3 2

0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与
(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.

17.(2008 全国Ⅰ卷文、理)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

?x 18. (2004 浙江理)设曲线 y ? e ( x ≥0)在点 M(t, e )处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三 角形面积为 S(t) 。 (Ⅰ)求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S(t)的最大值。
?t

19.(2007 海南、宁夏文)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

20..(2007 安徽理)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.

历届高考中的 “导数” 试题精选(理科自我测试) 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号

1

2

3

4

5 D

6 D

7 D

8 C

9 C

10 C

答案 C A C B 二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)

? ?4 3? 2 11. 3 ; 12. ?16 ; 13. 2 ; 14. ? ?R ? ? 4?R ,球的体积函数的导数等于球的 3 ? ?
表面积函数

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分) 1 2 15. 解:每月生产 x 吨时的利润为 f ( x) ? (24200 ? x ) x ? (50000 ? 200 x) 5 1 ? ? x 3 ? 24000x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 由f ?( x) ? ? x 2 ? 24000? 0解得x1 ? 200, x 2 ? ?200(舍去). 5 因f ( x)在[0,??)内只有一个点 x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大 1 3 值为: f (200 ) ? ? (200 ) ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 16. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1, 所以
2 2

a a2 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 9 ? 3( x ? )2 ? 9 ? . 3 3 a a2 . 即当 x ? ? 时,f ?( x)取得最小值 ? 9 ? 3 3 因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12, a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1, f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1) 令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ? 1)上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ? ?)上为增函数.
所以 ?9 ?

由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ? ?); 单调递减区间为( ? 1, 3) .
17.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1
3 2

求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
2

当a 当a

2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 ,
? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?

f ( x) 在 R 上递增

2

?a ? a 2 ? 3 3
? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ?? 递 ? ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, 即 f ( x ) 在 ? ??, ? ? ? 3 ? ? 增

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递减, ? ? 3 3 ? ?

? 2 1? ? 2 ? 3 3? ? 3 ? ? 2? ? 7 4a ? f ?? ? 3 ? ? 0 ?3 ? 3 ? 0 ? ? ? ? 由 f ?( x) 的图像可知,只需 ? ,即 ? , 解得。a≥2。 4 2 a 1 ? ? ? ? ? f ?? ? ? ? 0 ?0 3 3 ? ? ? 3? ? ? 所以, a 的取值范围 ?2,??? 。
18.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (e ? x )? ? ?e ? x , 所以切线 l 的斜率为 ? e ? t ,

(2)要使 f(x)在在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,当且仅当, f ?( x) ? 0 在 ? ? , ? ? 恒成立,

1? 3?

? ?e ?t ( x ? t ).即 e ?t x ? y ? e ?t (t ? 1) ? 0 。 ?t (Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y ? e (t ? 1) 1 1 ?t 2 ?t 所以 S(t)= (t ? 1) ? e (t ? 1) = (t ? 1) e 2 2 1 ?t 从而 S ?(t ) ? e (1 ? t )(1 ? t ). 2 ∵当 t ?(0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ?(1,+∞)时, S ?(t ) <0,
故切线 l 的方程为 y ? e
?t

所以 S(t)的最大值为 S(1)=

2 。 e

? 3 ? ? 2 ? 2 2 4 x ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? (Ⅰ) f ?( x) ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 3 1 1 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1? ? 3 ? ? 1 ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ? 单调减少. 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? 3 1? ? 1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 ? 4 4? ? 2? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ? 4? ?4? 7 ?1? 1 ? 3 1? 所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 ? 16 ? 4 4?
19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? .

2 In x 2a ? , x ? 0. x x 2 x?2 , x ? 0. 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 In x ? 2a, x ? 0, 于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得 f ?( x) ? 1 ? 列表如下: x (0,2) 2 (2,+∞) 0 + F′(x) F(x) ↓ 极小值 F(2) ↑ 故知 F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在 x=2 处取得极小值 F(2)=2-2In2+2a. (Ⅱ)证明:由 a ? 0知,F ( x)的极小值 F (2) ? 2 ? 2 In 2 ? 2a ? 0. 于是由上表知,对一切 x ? (0,??), 恒有F ( x) ? xf ?( x) ? 0. 从而当 x ? 0时,恒有f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( 0,??)内单调增加 . 所以当 x ? 1 时,f ( x) ? f (1) ? 0,即x ? 1 ? In x ? 2a In x ? 0.
2

时,恒有x ? In x ? 2a In x ? 1. 故当 x ? 1
2


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