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立体几何专题


立体几何专题 空间直角坐标系的三条途径
引入空间向量坐标运算, 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析, 只需 建立空间直角坐标系进行向量运算, 而如何建立恰当的坐标系, 成为用向量解题的关键步骤 之一.下面以高考考题为例,剖析建立空间直角坐标系的三条途径. 途径一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系 当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线,可以利用这三条

直线直接建系.2006 北 京卷文科 17 题为典型例子. 途径二、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) , 利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 例 1 已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都为 2,AB=4. (1)证明:PQ⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (3)求点 P 到平面 QAD 的距离. 简解: (1)略; (2)由题设知,ABCD 是正方形,且 AC⊥BD.由(1) ,PQ⊥平面 ABCD,故可分别以直线

CA ,DB,QP 为 x , y , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如 图 1 ), 易 得

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AQ?PB 1 PB ?? ???? ??? AQ ? (?2 2, 0, ? 2), PB ? (0, 2 2, ? 2) , cos ? AQ, ? ? . AQ PB 3
1 . 3 ??? ? ??? ? (3)由(2)知,点 D(0 , ? 2 2,, 0) AD ? (?2 2, ? 2 2,, 0) PQ ? (0, 0, ? 4) . ???? ? ? 2 x ? z ? 0, ?n?AQ ? 0, ? 设 n=(x,y,z)是平面 QAD 的一个法向量,则 ? ???? 得? 取 x=1,得 x ? y ? 0 , ? n ? AD ? 0 , ? ? ? ??? ? PQ?n ?2 2. n = (1 , ?1 , ? 2) .点 P 到平面 QAD 的距离 d ? n
所求异面直线所成的角是 arccos 点评:利用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易 得出.第(3)问也可用“等体积法”求距离. 途径三、利用面面垂直的性质建立坐标系 图形中有两个互相垂直的平面, 可以利用面面垂直的性质定理, 作出互相垂直且交于一点的 三条直线,建立坐标系. 例 2 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=BC,D、E 分别为 BB1,AC1 的中点.

(1)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (2)设 AA 1 ? AD ? C1 的大小. 1 ? AC ? 2 AB ,求二面角 A 解: (1)如图 2,建立直角坐标系 O ? xyz ,其中原点 O 为 AC 的中点,设 A(a, 0, 0) 则, B(0,b,, 0) B1 (0,b, 2c) , 则 ED ? (0 ,b,, 0) BB1 ? (0, 0, 2c), ED?BB1 ? 0 ,即 ED ⊥ BB1 . 同理 ED ⊥ AC1 . 因此 ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (2)不妨令 a ? b ? c ? 1 ,则 BC ? (?1 , ?1 ,, 0) AB ? (?11 , ,, 0) AA1 ? (0, 0, 2) ,

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??? ? ??? ? ??? ? ???? BC?AB ? 0, BC?AA1 ? 0 .即 BC⊥AB,BC⊥ AA1 ,又∵ AB ? AA1 ? A ,
∴BC⊥面 A 1 AD . 又 EC ? (?1 , 0, ?1), AE ? (?1 , 01) ,, ED ? (01 , ,, 0) EC?AE ? 0 , EC ?ED ? 0 ,

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? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? E CB ? C 即 EC⊥AE, EC⊥ED, 又∵AE∩ED=E, ∴EC⊥面 C1 AD . ∴c o s ?E CB , C ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? E CB C
即得 EC 和 BC 的夹角为 60 . 所以,二面角 A1 ? AD ? C1 为 60 .
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1 , 2

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点评:二面角的求法,传统方法与向量解法各有千秋,对于 EC , BC 两个法向量,若其中 一个方向选择相反,求出夹角为钝角,还需要依据图形的实际情况加以取舍或转化.

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