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最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面、平面与平面平行的判定》典型例题

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拓展延伸 应用点一 理解两个判定定理 【例 1】下面说法正确的有( ). ①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任何直线平行; ②过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行; ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行; ④与两条异面直线都平行的平面有无穷多个. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:利用线面平行的定义和判定定理解决.a∥α,则 a 与 α 内的直线平行或异面, ①错;过平面 α 外一点可作无数条直线与 α 平行,②错;过直线外一点有无数个平面与已知 直线平行,③错;与两条异面直线都平行的平面有无数个,④对. 答案:A 下列条件中能推出 α∥β 的是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β ). C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 应用点二 证明线面平行 【例 2】在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,C1D1 的中点,求证:EF∥ 平面 BDD1B1. 思路分析:本题要点在于在平面 BDD1B1 内找与 EF 平行的直线. 证明:如图,取 D1B1 的中点 O,连接 OF、OB.∴OF ∴OF BE. 1 B C ,BE 2 1 1 1 BC. 2 1 1 ∴OFEB 为平行四边形.∴EF∥BO. ∵EF 平面 BDD1B1,BO?平面 BDD1B1, ∴EF∥平面 BDD1B1. 如图所示,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,DC=2AD=2AB,AB∥DC,E 是 DC 的中 点,求证:D1E∥平面 A1BD. 应用点三 证明面面平行 【例 3】在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G、M、N、Q 分别是棱 A1A、 A1B1、A1D1、CB、CC1、CD 的中点,求证:平面 EFG∥平面 MNQ. 思路分析:只要证明平面 EFG 内的两条相交直线 EF、FG 分别与平面 MNQ 平行即可. 证明:连接 AB1,DC1, ∵E、F 分别为棱 A1A、A1B1 的中点, ∴EF∥AB1. ∵N、Q 分别是 C1C、CD 的中点, ∴NQ∥C1D. 又∵在正方形中 AB1∥C1D, ∴EF∥NQ,NQ?面 MNQ. ∴EF∥面 MNQ.同理可得 FG∥面 MNQ. ∴平面 EFG∥平面 MNQ. 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, D 为 BC 边上的中点, D1 为 B1C1 边上的中点, 连接 AD, DC1, A1B,AC1,A1D1,BD1.求证:面 A1BD1∥面 ADC1. 应用点四 平行关系的综合应用 【例 4】如图,B 为△ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心. (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD; (2)求 S△MNG∶S△ADC. 思路分析:(1)要证明平面 MNG∥平面 ACD,由于 M、N、G 分别为△ABC、△ABD、 △BCD 的重心,因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线;(2)因为△MNG 所在的 平面与△ACD 所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形 的对应边之比. 解:(1)证明:如图,连接 BM、BN、BG 并延长分别交 AC、AD、CD 于 P、F、H. ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,∴P、F、H 为 AC、AD、CD 的 中点, 且 BM

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