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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:4.2 平面向量基本定理及坐标表示


4.2 平面向量基本定理及坐标表示

考点梳理 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个_______ 不共线 向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a= λ1e1+λ2e2 ___________. 我们把不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量 基底 的一组________.

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2.平面向量的坐标表示 平行 的两 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴_______ 个单位_______ 向量 i、j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有 xi+yj ,则有序数对(x、 且只有一对实数 x,y,使得 a=___________ a=(x,y) ,其中 x,y 分别叫做 y)叫做向量 a 的坐标,记作___________ a 在 x 轴、y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示, 坐标 相同,_______ 坐标 相同的向量是相等向量. 相等的向量其_______

3.平面向量的坐标运算 → = ○ 10 (1) 已 知 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 AB __________________ (x2-x1,y2-y1) , → |=?______________________. ?x2-x1?2+?y2-y1?2 |AB (2) 已 知 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a + b = ? (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) , λa = ? __________________ , a - b = ? ______________ x1y2-x2y1=0 (λx1,λy1) , __________ a∥b(b≠0)的充要条件是?__________________.

a ± |a| (3)非零向量 a=(x,y)的单位向量为____________ 或 1 ± 2 2(x,y) x +y __________________. x1=x2 且 y1=y2 (4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?________________.

考点自测 1→ → → 1.已知向量OA=(1, -2), OB=(-3,4), 则 AB等于( 2 A.(-2,3) B.(2,-3) C.(2,3) D.(-2,-3) )

1→ 1 → → → 解析:依题意得AB=OB-OA = (-4,6), AB= (- 4,6) 2 2 =(-2,3),选 A. 答案:A

2.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平 行,则实数 x 的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2

解析:依题意得 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), ∵a+b 与 4b-2a 平行,∴3(4x-2)=6(x+1),由此解得 x=2,选 D. 答案:D

3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2

解析:可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4 1 -3×2=0,∴λ= . 2 答案:B

→ =2PC → ,点 Q 是 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(4,3),PQ → =(1,5),则BC → =( AC 的中点,若PA ) A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7)

→ =AQ → =PQ → -PA → =(1,5)-(4,3)=(-3,2), 解析:如图,QC → =PQ → +QC → =(1,5)+(-3,2)=(-2,7),BC → =3PC → =(-6,21). PC

答案:A

5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若 (a+b)∥c,则 m=__________.

解析:a+b=(2-1,-1+m)=(1,m-1),由(a+b)∥c, 得 1×2-(m-1)×(-1)=0,即 m=-1. 答案:-1

疑点清源 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线, 就可以作为平面的一组基底, 对基 底的选取不唯一, 平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基 底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标区别 → =a,点 A 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一 为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a → =(x,y). =OA → 平行移动到O → → → 当平面向量OA A 时,向量不变即 O A = OA 1 1 1 1 → =(x,y),但O 1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

题型探究 题型一 平面向量基本定理

1→ → 1→ → 例 1.如图所示,在△OAB 中,OC= OA,OD= OB,AD 4 2 → =a,OB → =b,以 a、b 为基底表示OM →. 与 BC 交于点 M,设OA

→ =ma+nb(m,n∈R), 解析:设OM → =OM → -OA → =(m-1)a+nb, 则AM 1 1 → → → AD=OD-OA= b-a=-a+ b. 2 2 因为 A,M,D 三点共线,

m-1 n 所以 = ,即 m+2n=1. -1 1 2 1 → → → 而CM=OM-OC=(m- )a+nb, 4 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4

1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 = ,即 4m+n=1. 1 1 - 4 1 ? ?m=7, ? ?m+2n=1, 由? 解得? ? ?4m+n=1, ?n=3. ? 7 1 3 → 所以OM= a+ b. 7 7

→ =ma+nb,然 点评:本题先用平面向量基本定理设出OM 后利用共线向量的条件列出方程组,确定 m,n 的值.

如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N → =c,AN → =d,试用 c,d 表 分别为 DC,BC 的中点,已知AM → ,AD →. 示AB

变式探究 1

→ =a,AD → =b . 解析:设AB 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 1 1 → → 所以BN= b,DM= a. 2 2 1 ? ? 2 ?c=b+2a ?a=3?2d-c?, 因而? ?? 1 ?d=a+ b ?b=2?2c-d?, 2 3 ? ? 2 2 → → 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

题型二 平面向量的坐标运算 → ,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1),且 a 例 2.已知 a=AB =3b-2c,求点 A 的坐标.

→ 的坐标,再求 A 的坐标.a 与 b、c 有关, 解析:先求AB 用 b、c 的坐标表示 a. ∵b=(-3,4),c=(-1,1). ∴3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1) =(-9,12)-(-2,2)=(-7,10) →. 即 a=(-7,10)=AB 又 B(1,0),设 A 点坐标为(x,y). → =(1-x,0-y)=(-7,10) AB
? ?1-x=-7 ∴? ? ?0-y=10 ? ?x=8 ?? ? ?y=-10

即 A 点坐标为(8,-10).

点评:通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系.

变式探究 2 (1)已知向量 a=(3, -2), b=(-2,1), c=(7, -4),试用 a 和 b 来表示 c. → =3CA →, (2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM → =2CB → .求 M、N 的坐标和MN →. CN

解析:(1)用待定系数法: 由 3×1-(-2)×(-2)≠0, 故 a 与 b 不共线. 可设 c=λ1a+λ2b(其中 λ1、λ2 为待定的常数).即 (7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)=(3λ1-2λ2,-2λ1+λ2) ? ? ?3λ1-2λ2=7 ?λ1=1 ∴? ?? ? ? ?-2λ1+λ2=-4 ?λ2=-2 ∴c=a-2b.

(2)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), → =(1,8),CB → =(6,3). ∴CA → =3CA → =3(1,8)=(3,24),CN → =2CB → =2(6,3)=(12,6). ∴CM → =(x+3,y+4). 设 M(x,y),则CM
? ?x+3=3, 因此? ? ?y+4=24, ? ?x=0, 得? ? ?y=20.

∴M(0,20). 同理可得 N(9,2). → =(9-0,2-20)=(9,-18). ∴MN

题型三 向量平行的坐标表示 例 3. 平面内给定三个向量 a = (3,2) , b = ( - 1,2) , c = (4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.

解析:(1)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k), 2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 3+4k 2+k ∴ = . 2 -5 ∴6+8k=-10-5k. 16 ∴k=- . 13

(2)d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4), ∵(d-c)∥(a+b), x-4 y-1 ∴ = ,即 y-1=2(x-4).① 2 4 又|d-c|=1,∴ ?x-4?2+?y-1?2=1.②

1 把①代入②,得 5(x-4) =1,∴x=4± . 5
2

? ? ?x=4+ 5, ?x=4- 5, 5 5 ? ? ∴? 或? 2 5 ? 2 5 ? y= +1 y=- +1. ? ? 5 5 ? ? 5 2 5 5 2 5 ∴d=(4+ , +1)或 d=(4- ,- +1). 5 5 5 5

点评:向量引入坐标后,用坐标来表示向量平行,实际上 是一种解析几何(或数形结合)的思想, 其实质是用代数(主要是 方程)计算来代替几何证明,这样就把抽象的逻辑思维转化为 了计算.

变式探究 3 已知 a=(2,3),b=(1,2),若 ka-b 与 a-kb 平行,求实数 k 的值,并指出它们是同向还是反向?

解析:∵a=(2,3),b=(1,2) ∴ka-b=(2k-1,3k-2). a-kb=(2-k,3-2k) 又 ka-b 与 a-kb 平行 ∴(2k-1)(3-2k)-(3k-2)(2-k)=0 解得 k=± 1. 当 k=1 时,ka-b=a-kb,这两个向量方向相同; 当 k=-1 时,ka-b=-(a-kb),这两个向量方向相反.

名师归纳 ?方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边 形法则,将向量进行分解. 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标 运算法则是运算的关键, 通过坐标运算可将一些几何问题转化 为代数问题处理, 从而向量可以解决平面解析几何中的许多相 关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形 结合思想的运用.

?失误与防范 1.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它 们完全一样, 但意义完全不同, 向量坐标中既有方向也有大小. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能 x1 y1 表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2 x2 y2 -x2y1=0.同时, a∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2=0, x1y1-x2y2=0 等.

随堂检测 1.(2013· 陕西卷)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b, 则实数 m 等于( ) A.- 2 B. 2 C.- 2或 2 D.0

解析:本题考查了向量的坐标运算及向量平行的坐标表 示.由 a∥b 知 1×2=m2,即 m= 2或 m=- 2. 答案:C

2.(2013· 广东卷)设 a 是已知平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc; ③给定向量 b 和正数 μ, 总存在单位向量 c, 使 a=λb+μc. ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μc. 上述命题中的向量 b、 c 和 a 在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析:本题考查向量基础知识与综合应用.对于①,由向 量的三角形加法法则可知其正确. 由平面向量基本定理知②正 确,对于③,可设 e 与 b 是不共线单位向量,则存在实数 λ, y 使 a=λb+ye,若 y>0,则取 μ=y,c=e,若 y<0,则取 μ= -y,c=-e,故③正确.④显然错误,可举反例:λ=μ=1, b 与 c 垂直,此时 a 的模必须为 2才成立. 答案:C

3.(2013· 北京卷)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若 → =λAB → +μAC → (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 平面区域 D 由所有满足AP P 组成,则 D 的面积为______.

解析: 本题考查向量基本运算及用不等式组表示平面区域 等. → =λAB → +μAC → 知(x-1,y+1)=λ(2,1)+ 设 P(x,y),由AP 2x-y-3 2y-x+3 μ(1,2),则 λ= ,μ= .由 1≤λ≤2,0≤μ≤1 得 3 3 ? ?6≤2x-y≤9, ? 满足条件的 P(x,y)用可行域表示如下(阴 ? ?-3≤2y-x≤0, 影部分).

? ?2x-y-9=0, 由? ? ?x-2y-3=0 ? ?2x-y-9=0, 由? ? ?x-2y=0,

得 M(5,1), 得 N(6,3),

∴|MN|= ?6-5?2+?3-1?2= 5, 而 2x-y-6=0 与 2x-y-9=0 的距离为 |-6+9| 3 3 ,∴所求面积为 × 5=3. 2 2= 5 5 2 +?-1? 答案:3


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