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2.3.3


2 .3 .3 向量数量积的 坐

标运算与度量公式


A
45°

东 B

复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a?b .

r />a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

创设教学情境

我们学过两向量的和与差及数乘 向量都可以转化为它们相应的坐标来 运算,那么怎样用

? ? ? ? a和b的坐标表示a ? b呢?

新课学习
一.平面向量数量积的坐标表示

? ? 如图,是 j y轴上的单位向量. i x轴上的单位向量,是

? ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos ?
b

y A(x ,y ) 1 1
j

1 B(x2,y2) 1 . . j? j ? i ?i ?
. 0 i ? j ? j ?i ?

a

o i

x

一.平面向量数量积的坐标表示 思考1:已知 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a ? b 呢?
a ? x1 i ? y1 j
b ? x2 i ? y2 j
b

y
B(x2,y2)
j

A(x1,y1)
a
i

?a ? b ? (x1 i ? y1 j ) ( ? x 2 i ? y2 j )

?2 ? ? ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? ? ?2 ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j
? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2

o

x

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

二.向量的模及夹角的坐标表示

? ? ? a?a ? a

2

? 或 a ?

? ? a ? a;

1.向量的长度(模)

? ?2 ? 2 2 2 2 设a=(x, y), 则 a = x +y , 或 a = x +y
若表示向量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 终的 坐 标 分 别 为 (x1,y1 ),( x 2,y 2 ),那么

a ? ( x 2 ? x1 )? ( y 2 ? y1 )
2 2

(平面内两点间的距离 公式)

二.向量的模及夹角的坐标表示
2.两向量夹角公式的坐标运算

两非零向量 a? (x1,y1 ), b? (x2,y2) ,夹 角 为 ?
cos ? ? a?b ab

?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 x1 ? y1
2 2 2 2

二.向量的模及夹角的坐标表示 3.两向量垂直和平行的坐标表示 ? ? ? ? (1)垂直 a ? b ? a ?b

?0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则
注意:与向量垂直的坐标表示区别清楚

a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

学点一:数量积的坐标运算的应用

-

? ? 练习: (1) 已知a ? (?1, 2 ? 3), b ? (1,1), ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .

? ? ? ? 解: a ? b ? 1 ? 3,  a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1 ? 3) ? ? a ?b 1 ? ? ?     cos ? ? ? ? ? ,   ? 0 ? ? ? 180 ,   ?? ? 60 . a?b 2

(2)已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .
法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1) ? (a ? b) ( ? a ? b) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:(a ? b) ( ? a ? b) ? a ?b
2 2 2 2

? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

学点二:判断三角形形状 例2 已知A(1,2),B(2,3), y C(-2,5),试判断?ABC的形状并给出证明 . C(-2,5)
证明 :?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)

B(2,3)

? AB ? AC

A(1,2)

其他证明方 向量数量积是否为零,是判断相应两条线段或直线的重 法吗? 要方法之一

0 ?三角形 ABC是直角三角形思考:还有 .

x

学点三:向量与解析几何问题综合

练习1、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是 矩形 . 练习2:以原点和A(5,2)为两个顶 点作等腰直角三角形OAB,?B=90?,求 y 点B的坐标. B

3 7 答案:B的坐标为( , ) 2 2 7 3 O 或( , ? ) 2 2

A x

??? ? ??? ? 练习3:在ΔABC中,设 AB=(1,3),AC =(2,k), 且 ΔABC是直角三角形,求k的值. ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 ? 解:若?A ? 90 ,则AB ? AC,? AB?AC=0,1 ? 2+3k=0,? k=- . 3 ??? ??? ??? ??? 8 ? 若?B ? 90 ,则BA ? BC,? BA?BC=0,-1 ? 1+(-3)(k-3)=0,? k= . 3 ??? ?? ? ??? ?? ? 若?C ? 90?,则CA ? CB,? CA?CB=0,-2 ? (?1)+(-k)(3-k)=0,

? k=1或2.

要注意分类讨论!

小 结
1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐标运算;

3、掌握平行、垂直、夹角及距离公式,
形成转化技能。

? ? 1、( =(4, 3 ),向量 是垂直 b ? 1)已知 a ? 于 a 的单位向量,求 b

(2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b,求a的坐标. 3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值. 3 4 3 4
答案:( 1 ) b ? ( ,? )或b ? (? , ). 5 5 5 5 (2)( 2, 2 2)或( ? 2, ? 2 2);(3)k ? ?5.

? ? 2.已知 a =(1, 3),b =( 3+1, 3 ? 1), 则a与b的夹角是多少?
解:由a =(1, 3),b =( 3+1, 3 ? 1), 有 a?b ? 1? ( 3 ? 1) ? 3 ? ( 3 ? 1) ? 4, a ? 2, b ? 2 2,

记a与b的夹角为θ,则 cos? ?
又∵0≤θ≤π,∴

cos? ?

a ?b ab

?

4

评述:已知三角函数值求角时,应注意角的 范围的确定。

? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? (3, 4), b? (2, ?1),且(a ? mb)( ? a ? b), 则实数m为何值?
解: a ? mb ? ( 1, 5 ) (3 ? 2m, 4 ? m) a ? b ?

? ( a ? mb ) ? ( a?b ) ? ( a ? mb ) ( ? a?b ) ?0
即( 3 ? 2m) ?1 ? ( 4 ? m) ? 5 ? 0 ? m ? 23
3


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