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1.2.4诱导公式一

时间:2014-11-10


1.2.4 诱导公式(一)

在直角坐标系中,α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同,由三角函数的定义,它们的三角函 数值相等, 公式(一)

cos(? ? k ? 2? ) ? cos?

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan?

这组公式可以统一概括为的形式,

f (? ? 2k? ) ? f (? )(k ? Z)
其特征是:等号两边是同名函数,且符号 都为正. 诱导公式(一)的作用: 把任意角的正弦、余弦、正切化为0? ~360? 之间角的正弦、余弦、正切

公式(二):
sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα; tan(-α)=-tanα.

y P(x,y)

?
x O -? P'( x,-y)

它说明角-α与角α的正弦值互为相反数, 而它们的余弦值相等,它们的正切值互为相反 数。

这是因为,若设α的终边与单位圆交于点

P(x,y),则角-α的终边与单位圆的交点必
为P?(x,-y). 由正弦函数、余弦函数的定义,即可得 sinα=y, cosα=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x,

所以:sin(-α)=-sinα, cos(-α)= cosα. tan(-α)=-tanα.

y

公式(三):
sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα; tan(π+α)=tanα.

P(x,y)

? ? +? O
x

P'(- x,-y)

这是因为,若设α的终边与单位圆交于点 P(x,y),则角π+α的终边与单位圆的交点必 为P?(-x,-y). 由三角函数的定义可得公式 (三).

公式(四):
sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα; tan(π-α)= -tanα.

y P'(-x,y) ? -? O P(x,y)

?

x

这是因为,若设α的终边与单位圆交于点 P(x,y),则角π-α的终边与单位圆的交点必 为P?(-x,y). 由三角函数的定义可得公式 (四).

例1.下列三角函数值: 5? (1)cos210? ; (2)sin
4

解:(1)cos210? =cos(180? +30? )
5? ? (2)sin 4 =sin(π+ ) 4 ?
3 ?? =-cos30? 2

=-sin 4
2 ?? 2

例2.求下列各式的值:
4? (1)sin(- 3

);(2)cos(-60? )-sin(-210? ).

? ) =-sin(π+ ) 3 ? 3 =sin = 2 3 (2)原式=cos60? +sin(180? +30? ) =cos60? -sin30? 1 1 = ? ?0 2 2
4? 解:(1)sin(- 3

sin ? ? cos? 解:原式= cos(180? ? ? ) ? [? sin(180? ? ? )]
sin ? ? cos ? ? (? cos ? ) ? sin ?

sin(1440 ? ? ? ) ? cos(? ? 1080 ?) 例3.化简: cos(?180? ? ? ) ? sin(?? ? 180?)

=-1.

3? 1 例4.已知cos(π+α)=- , <α<2π,则 2 2

sin(2π-α)的值是(

). A

(A)

3 (C)- 2

3 2

1 (B) 2

(D)± 3 2

练习:
1.求下式的值:

2sin(-1110? ) -sin960? +
提示:

)+cos(-210? ) 2cos(-225?

原式=2sin(-30? )+sin60? - 2 cos45? ? cos30? 答案:-2.

2.化简sin(-2)+cos(-2-π)·tan(2-4π)所得 的结果是( ) C (A) 2sin2 (C) -2sin2 (B) 0 (D) -1

3. 化简: 1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( C ) A. sin2+cos2 C. sin2-cos2 B. cos2-sin2 D. ±(cos2-sin2)

4. 已知sin(π+α)=

4 ,且α是第四象限角,则 5

cos(α-2π)的值是 (
3 (A)- 5 3 (C)± 5

) B

3 (B) 5 4 (D) 5


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