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东北三省三校2014届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(word版)


哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2014 年高三 第一次高考模拟考试文

科 数 学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内

。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | ?4 ? x ? 0} ,则 A ? CR B ? B.{x ? R | x ? 0} A.R 2.若复数 z 满足 iz = 2 + 4i,则复数 z = A.2 + 4i B.2 - 4i 3.命题“ ?x ? R, x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 B. ?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 C. {x | 0 ? x ? 2} C.4 - 2i D. ? D.4 + 2i

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2 + a4 + a6 = 12,则 S7 的值是 A.21 B.24 C.28 5.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①f ( x) ? sin x ,②f ( x) ? cos x ,③f ( x) ? 则输出的函数是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? cos x C. f ( x ) ? D.7

1 ,④f ( x) ? x 2 , x

1 x

D. f ( x) ? x 2

第 1 页 共 10 页

? y ? 1, ? 6.变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2, 则 x + 3y 最大值是 ? x ? y ? 0, ?

A.2 B.3 C.4 D.5 7.直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥ n,n∥ α,则 m∥ α; ②若 m∥ β,α∥ β,则 m∥ α; ③若 m⊥ n,n⊥ α,则 m∥ α; ④若 m⊥ β,α⊥ β,则 m∥ α。 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 1 8.已知函数 f ( x) ? 2x ? x , g ( x) ? log3 x ? x , h( x ) ? x ? ,的零点依次为 a,b,c,则 x A.1 B.2 C.3 D.4 9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 A. C.

2? 3

2? 9 10.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c, 当且仅当 a > b , b < c 时称为 “ 凹数 ” (如 213 , 312 等) ,若 a, b, c ?{1, 2,3, 4} 且 a,b,c 互不相同,则这个三位数是“凹数”的概
率是 A.

? 3 16? D. 9
B.

1 6

B.

5 24

C.

1 3

D.

7 24

11.双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,以原点为圆心,c 为半径的圆与 a 2 b2
3 ,则双曲线 C 的离心率为 3

双曲线在第二象限的交点为 A,若此圆在 A 点处切线的斜率为 A. 3 ? 1 B. 6 C. 2 3

D. 2

? ?log2 (1 ? x) ? 1, ?1 ? x ? 0 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 的值域是 [0, 2] ,则实数 a 的取值范围是 0? x?a ? ? x ? 3x ? 2,

A. (0,1]

B. [1, 3]

C. [1, 2]

D. [ 3,2]

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
第 2 页 共 10 页

3 3 5? ,则 sin(? ? ) ? __________。 5 6 ??? ? ???? ???? ??? ? ???? 1 ???? ??? ? 14.正方形 ABCD 的边长为 2, DE ? 2EC , DF ? ( DC ? DB) ,则 BE ? DF ? __________。 2

13.若 cos(? ?

?

6

) ? sin ? ?

15.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积的 最小值为__________。 16.已知函数 f ( x) ?| cos x | ? sin x ,给出下列五个说法: ①f (
2014? 3 ? ? )?? ;② 若 | f ( x1 ) |?| f ( x2 ) | ,则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ;③f ( x) 在区间 [? , ] 3 4 4 4

上单调递增;④ 函数 f ( x) 的周期为 π;⑤f ( x) 的图象关于点 (?

?
2

,0) 成中心对称。

其中正确说法的序号是__________。 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,内角 A , B , C 所对边 a , b , c 成公比小于 1 的等比数列,且 sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C 。 (1)求内角 B 的余弦值; (2)若 b ? 3 ,求 ΔABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分) 某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如 下: [0,50] (50,100] (100,150] (150, 200] (200, 250] (250,300] ? 300 API 空气质量 天数 优 4 良 13 轻微污染 18 轻度污染 30 中度污染 9 中度重污染 重度污染 11 15

(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记 为 ω)的关系式为:
0 ? ? ? 100, ?0, ? S ? ?4? ? 400, 100 ? ? ? 300, ?2000, ? ? 300. ?

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季, 其中有 8 天为重度污染, 完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: P(K2 ≥ k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0
K2 ?

1.323
2

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

非重度污染 供暖季 非供暖季
第 3 页 共 10 页

重度污染

合计

合计

100

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD 垂 直于 AB 和 DC,侧棱 SA⊥ 底面 ABCD,且 SA = 2,AD = DC = 1,点 E 在 SD 上,且 AE⊥SD。 (1)证明:AE⊥ 平面 SDC; (2)求三棱锥 B—ECD 的体积。 20. (本小题满分 12 分)
2 2 x2 y 2 ) 。过坐标原点的直线 ,且经过点 P (1, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 2 a b l1 与 l2 均不在坐标轴上,l1 与椭圆 M 交于 A,C 两点, l2 与椭圆 M 交于 B,D 两点。 (1)求椭圆 M 的方程; (2)若平行四边形 ABCD 为菱形,求菱形 ABCD 面积的最小值。 21. (本小题满分 12 分) x ?1 已知函数 f ( x) ? x (e 为自然对数的底数) 。 e (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

椭圆 M :

(2)设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf '( x) ?

1 ,存在函数 x1 , x2 ? [0,1] ,使得成立 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成 ex

立,求实数 t 的取值范围。 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 1:几何证明选讲 如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切点,C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点, 直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠ DAQ = ∠ PBC。求证:

BD BC ; ? AD AC (2)ΔADQ ∽ ΔDBQ。 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 4:坐标系与参数方程
(1)
? x ? 1 ? 4cos ? 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) ,直线 l 经 ? y ? 2 ? 4sin ?

过定点 P(3,5) ,倾斜角为

? 。 3

(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。 22. (本小题满分 10 分)
第 4 页 共 10 页

选修 4 – 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围。

第 5 页 共 10 页

文科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 C 2 C 3 A 4 C 5 A 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C 11 A 12 B

3 5

14. ?

10 3

15. 4?

16. (1) (3)

三、解答题 17.解:(Ⅰ ) sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C

? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ……………………….2 分
? a ? 2c
又因为 b ? ac ? 2c
2 2

………………………4 分

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ……………………….6 分 2ac 4

(Ⅱ ) b ? 3 ? a ? 6, c ?

3 ……………………….8 分 2
7 ……………………….10 分 4

又因为 sin B ? 1 ? cos B ?
2

所以 S? ABC ?

1 3 ac sin B ? 7 ……………………….12 分 2 8

18.解: (Ⅰ )设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A ……1 分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,……3 分

P ( A) ?

39 ……………………….4 分 100
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85
2

(Ⅱ )根据以上数据得到如下列联表: 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100 ……………….8 分

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 ……………………….10 分 85 ?15 ? 30 ? 70
2

第 6 页 共 10 页

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12 分 19.(Ⅰ )证明:? 侧棱 SA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ? SA ? CD . ……………………….1 分 又? 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ? AD ? CD ,又 AD ? SA ? A

? CD ? 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE ? 侧面 SAD
? AE ? CD, AE ? SD, CD ? SD ? D ? AE ? 平面 SDC ……………………….5 分
(Ⅱ )

CD ? AD ? 1 ? ? CD ? 平面ASD ? CD ? SD ? S? EDC ? ED ? DC AE ? CD ? 2
在 Rt? ASD 中 SA ? 2, AD ? 1, AE ? SD ? ED ?

……7 分

1 2 , AE ? 5 5
……9 分

? S? EDC ?

1 1 ? ?1 2 5 ,

? ? CD ? 平面SCD ? ? AB // 平面SCD , 又因为 AB ? 平面SCD ? ? AB // CD
所以点 B 到平面 SCD 的距离等于点 A 到平面 SCD 的距离 AE 所以 VB ?CDE ? 3 S ? CDE ? AE ? 15 20.解: ……11 分 ……12 分

1

1

? 2 c, ?a ? 2 ? a 2 ? 2, ? ? 2 2 2 (Ⅰ )依题意有 ? ,又因为 a ? b ? c ,所以得 ? 2 9 ? ?b ? 1. ?1 ? 2 ? 42 ? 1 b ?a
故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

……4 分

(Ⅱ )设直线 AC : y ? k1 x ,直线 BD : y ? k2 x 。 联立

? x2 2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 2 得方程 (2k1 ? 1) x ? 2 ? 0 的两个根,即 xA ? xC ? ……6 分 ?2 2k12 ? 1 ? y ? k x, ? 1
第 7 页 共 10 页

故 | OA |?| OC |? 1 ? k1 ?

2

2 2k1 ? 1
2 2

.

同理, | OB |?| OD |? 1 ? k2 ?

2 2k 2 ? 1
2

. ……8 分

又因为 AC ? BD ,所以 | OB |?| OD |? 1 ? (

1 2 2 ,其中 k1 ? 0 . ) ? 1 k1 2( )2 ? 1 k1

从而菱形 ABCD 的面积 S 为

S ? 2 | OA | ? | OB | ? 2 1 ? k1 ?

2

1 2 , ? 1 ? ( )2 ? 1 2 k1 2k ? 1 2( ) ? 1 k1

2

2 1

整理得 S ? 4

1 2? 1 (k1 ? 1 2 ) k1

,其中 k1 ? 0 . ……10 分

故,当 k1 ? 1 或 ? 1 时, 菱形 ABCD 的面积最小,该最小值为

……11 分

8 . 3

……12 分

21. 解: (Ⅰ )∵ 函数的定义域为 R, f ?( x ) ? ?

x ……………………….2 分 ex

∴ 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递减。……………………….4 分 (Ⅱ )假设存在 x1 , x2 ?[0, 1] ,使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。

? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e ∵
? ?( x) ? ∴


?x

?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? ………………………6 分 x e ex

当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减,∴ 2? (1) ? ? (0) ,即

t ? 3?

e ? 1。 2
……………………….8 分

② 当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增,∴ 2? (0) ? ? (1) ,即 t ? 3 ? 2e ? 0 。
第 8 页 共 10 页

……………………….10 分 ③ 当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} ,即 2 由(Ⅰ )知, g (t ) ? 2

t ?1 3?t ? max{1, } —— (*) t e e

t ?1 在 [0,1] 上单调递减 et 4 t ?1 2 3?t 3 ? ,所以不等式 (*) 无解 故 ? 2 t ? 2 ,而 ? e e e e e e 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) ,使得命题成立. ………………………12 2
分 22.证明: D B (Ⅰ ) 连 结 AB . 因 为 △ PBC ∽ △P

,所以

BD PD ? . BC PB AD PD ? 同理 . AC PA
又 因 为 PA ? PB , 所 以

A

O

BD AD ? ,即 BC AC

D

Q B

C

P

BD BC ? . AD AC

……5 分

(Ⅱ )因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ ,

A D Q 所以△ ABC ∽ △

,即

BC DQ ? . AC AQ



BD DQ ? . AD AQ

又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ ,

D B Q 所以△ ADQ ∽ △

.

……10 分

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 2 2 , t为参数 ……………………….5 23. 解: (Ⅰ ) 圆 C:( x ?1) ? ( y ? 2) ? 16 , 直线 l: ? 3 ?y ? 5? t ? ? 2
分 (Ⅱ )将直线的参数方程代入圆的方程可得 t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 ,………………….8 分
第 9 页 共 10 页

设 t1 , t2 是方程的两个根,则 t1t2 ? ?3 ,所以 | PA || PB |?| t1 || t2 |?| t1t2 |? 3 ……………………….10 分 24.解:

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? (Ⅰ ) f ( x) ? ? ?3 x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ?
? 1 1 ? ? x ? ?2 ? x? ??2 ? x ? 所以原不等式转化为 ? ……3 分 2 或? 2 或? 3? x ? 3 ? ?x ? 3 ? 3 ? ??3x ? 1 ? 3 ?
所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? 6, ?? ? ………………….6 分 3

? ?

4? ?

(Ⅱ )只要 f ( x)max ? t 2 ? 3t ,……………………….8 分 由(Ⅰ )知 f ( x)max ? ?1 ? t 2 ? 3t 解得 t ?

3? 5 3? 5 或t ? ……………………….10 分 2 2

第 10 页 共 10 页


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