nbhkdz.com冰点文库

2012年新高一数学竞赛10


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 10

── 圆内接四边形与四点共圆
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完

成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 性质定理:圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的外角等于内对角. 判定定理:平面上的四个点如果具备下列条件之一,则四点共圆: (1)对角互补(或一个外角等于内对角)的四边形,四个顶点共圆; (2)具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆; (3)有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等,则它们的四个顶点共圆. 二、重要例题 例 1.两个角的边交于点 A、B、C、D,已知这两个角的平分线互相垂直, 求证:点 A、B、C、D 四点共圆.(提示:用外角等于内对角)

A M E N

D

B

P

C

F

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 2.如图,如果在凸五边形 ABCDE 中,∠ABC=∠ADE 且∠AEC=∠ADB, 求证:∠BAC=∠DAE.(提示:连 A F ,先证 A、 B、 C 、 F 四点共圆)
C D B F E

A

例 3.如图,两圆 O1,O2 相交于 A,B,圆 O1 的弦 BC 交圆 O2 于 E,圆 O2 的弦 BD 交圆 O1 于 F; 求证: (1)若∠DBA=∠CBA,则 DF=CE; (2)若 DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
(提示:按图中辅助线,用好所标的角)

例 4.梯形 ABCD 中(BC∥AD)对角线交点为 O,在线段 AO 和 DO 上取点 M 和 N,使得: ∠BMD=∠ANC;求证:B、M、N、C 四点共圆.(提示:过 B、 C 、 M 画圆)
B O C

M

N

A

D

2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例 5.在以 C 为圆心,以 MN 为直径的半圆上有 A、B 两个不同的点,点 P 在 CN 上,而且
? ? ∠CAP=∠CBP= 1 0 ? ,如果 M A ? 4 0 ? ,求 B N 的度数.

(提示:连结 A B )

A B

M C P

N

例 6.四边形 ABCD 内接于圆,通过 M 和 N 分别表示直线 AB 和 CD,BC 和 AD 的交点;设 B1 是已 知圆同过点 B、M、N 三点的圆异于 B 的交点;求证:直线 B1D 平分线段 MN.
(提示:先平行四边形 N D M K , K D 与过 A、 B、 C 三点的圆交于 B 1 ,连结 B B1 )

3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

三、巩固练习 10

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.P 是△ABC 的外接圆上一点,由 P 向各边 BC、CA、AB 引垂线 PD、PE、PF, 求证:三个垂足 D、E、F 共线.
A

F D B E P

C

2.设在△ABC 三边 BC、CA、AB 所在直线上各任取一点 X、Y、Z, 求证:三个圆 ? A YZ 、 ? B Z X 、 ? C X Y 共点.
A

Z

Y

O C B X

4


2012年高一数学竞赛解答10

2012年高一数学竞赛解答01 2012年高一数学竞赛解答02 2012年高一数学竞赛解答03 ...2012年新高一数学竞赛10 4页 免费 2012年高一数学竞赛解答19 4页 免费 2012年...

2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区...1.删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列...

2012年新高一数学竞赛19

2012年新高一数学竞赛05 2012年新高一数学竞赛06 2012年新高一数学竞赛07 2012年新高一数学竞赛08 2012年新高一数学竞赛09 2012年新高一数学竞赛10 2012年新高一数...

高一数学竞赛资料10

高一数学竞赛资料10_学科竞赛_高中教育_教育专区。高一数学竞赛辅导资料(10) ——数列裂项求和及放缩法 1.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? ...

2012年新高一数学竞赛17

2012年新高一数学竞赛16 3页 免费 2012年新高一数学竞赛10 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

2012年高一数学竞赛解答09

免费 2012年高一数学竞赛解答10 暂无评价 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

2012年新高一数学竞赛13

2012年新高一数学竞赛05 2012年新高一数学竞赛06 2012年新高一数学竞赛07 2012年新高一数学竞赛08 2012年新高一数学竞赛09 2012年新高一数学竞赛10 2012年新高一数...

2012年高一数学竞赛解答05

2012年高一数学竞赛解答07 2012年高一数学竞赛解答09 2012年高一数学竞赛解答10 ...2012年新高一数学竞赛05 4页 免费 2012年高一数学竞赛解答19 4页 免费 2012年...

2012年福建省高一数学竞赛试题-参考答案

102012 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 3 若实数 x 满足 ? 2x ? ? ? 4x ? ? ? 6x ? ? ? 8x ? ? 2012 ,则 ? x ? 的最小值...

2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编_学科竞赛_高中教育...年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第 50 页 10. ...科目三实际道路驾驶考试注意事项 驾考新题抢先版文档...