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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第9章 解析几何 第1节直线和圆


掌门 1 对 1 教育 高中数学 【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第九章 解析几何 第一节直线和圆 第一部分 六年高考荟萃

2013 年高考题
一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))已知点

A(?1, 0), B(1, 0), C (0,1) ,

直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,
则 b 的取值范围是 A. (0,1) 答案:B 由题意可得,三角形 ABC 的面积为 =1, B. (1 ? ( )

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

1 1 2 1 , ] D. [ , ) 3 2 2 3

由于直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(﹣,0) ,由﹣≤0,可得点 M 在射线 OA 上. 设直线和 BC 的交点为 N,则由 可得点 N 的坐标为( , ) .

①若点 M 和点 A 重合,则点 N 为线段 BC 的中点,则﹣=﹣1,且

=,解得 a=b=.

②若点 M 在点 O 和点 A 之间,则点 N 在点 B 和点 C 之间,由题意可得三角形 NMB 的面 积等于,即 =,



=,解得 a=

>0,故有 b<.

③若点 M 在点 A 的左侧,则﹣<﹣1,b<a,设直线 y=ax+b 和 AC 的交点为 P, 则由 此时, NP= = 求得点 P 的坐标为( , ) ,

=

=

?



此时,点 C(0,1)到直线 y=ax+b 的距离等于



由题意可得,三角形 CPN 的面积等于,即? 化简可得 2(1﹣b) =|a ﹣1|. 2 2 2 由于此时 0<b<a<1,所以 2(1﹣b) =|a ﹣1|=1﹣a . 两边开方可得 (1﹣b)= <1,所以 1﹣b<
2 2

?

?

=.

,化简可得 b>1﹣

. ,

综合以上可得,b=可以,且 b<,且 b>1﹣ 故选 B

,即 b 的取值范围是

2 .(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))过点

(3,1) 作圆

( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为 (
A. 2 x ? y ? 3 ? 0 答案:A B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0



D. 4 x ? y ? 3 ? 0

由图象可知, A(1,1) 是一个切点,所以代入选项知, B, D 不成立,排除。又 AB 直线的斜 率为负,所以排除 C,选 A.
3 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) ) 已 知 点

O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a 3 ? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
A. b ? a
3





B. b ? a ?
3

1 a
3

C. b ? a ? b ? a ?
3 3

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ?0 a

答案:C
3 若 A 为直角, 则根据 A、 B 纵坐标相等, 所以 b ? a ? 0 ; 若 B 为直角, 则利用 KOB K AB ? ?1

3 得b ? a ?

1 ? 0 ,所以选 C a

4. (2013 年高考江西卷(理))过点 (

2,0) 引直线与曲线 y ? 1 ? x2 相交于 A,B 两点,O
( )

为坐标原点,当 ? AOB 的面积取最大值时,直线的斜率等于

A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

答案:B 本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 以 及 三 角 形 的 面 积 公 式 。 由 y ? 1 ? x2 得 ,

m ? 0 代入 x2 ? y 2 ? 1,( y ? 0) 整理得 x2 ? y 2 ? 1,( y ? 0) 设直线方程为 x ? my ? 2 ,

(1 ? m2 ) y 2 ? 2 2my ? 1 ? 0
y1 ? y2 ? ? 2 2m 1 , y1 y2 ? 2 1? m 1 ? m2





A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
?
AOB

,



。 则 三 角 形

的 面 积 为

1 2 ? 2 y1 ? y2 ? y1 ? y2 2 2







y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? (?
? 2 m2 ? 1 2 m2 ? 1 ? ? 1 ? m2 2 ? m2 ? 1

2 2m 2 4 ) ? 2 1? m 1 ? m2
? 2 2 2 m ?1
2

2 2 m ?1
2

? ? m2 ? 1

? m2 ? 1

2 ,当且 2

仅当

2 m ?1
2

? m 2 ? 1 , 即 m2 ? 1 ? 2 , m ? ? 3 时 取 等 号 。 此 时 直 线 方 程 为 3 6 3 x? ,所以直线的斜率为 ? ,选 B. 3 3 3

x ? ? 3 y ? 2 ,即 y ? ?

5 . (2013 年高考江西卷 (理) ) 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2

? 的长为 之间// l1 ,与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点,设弧 FG
x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致


答案:D 本题 考查函数图 象的识别和 判断。设 与 l1 的 距离为, 根据题意易 知 cos

x ? 1 ? t ,即 2

x 2 3 2 3 t ? 1 ? cos 。又 BE ? CD ? 。 t , BC ? 2 3 3
所以 y ? EB ? CD ? BC ? 以易得函数图像为 D。
6 .(2013 年高考湖南卷(理))在等腰三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于

4 3 2 3 4 3 x 2 3 4 3 x 所 t? ? (1 ? cos ) ? ?2 3? cos , 3 3 3 2 3 3 2

A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到原点 P (如图).若光线 QR 经
过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2 B. C.



8 3

D.

4 3

答案:D 本题考查直线的斜率以及向量的基本应用。以 A 为原点 AB 为 x 轴建立直角坐标系,取三 角 形 ABC 的 重 心 M , 其 关 于 y 轴 的 对 称 点 为 M ' , 关 于 BC 的 对 称 点 为 N , 则

8 8 4 4 4 4 M ( , ), M ' (? , ) , N ( , ) , 设 P(a,0) , 则 k M 'P ? 3 3 3 3 3 3

4 8 3 ,k ? 3 , 又 4 NP 8 a? ?a 3 3 ?

k M 'P ? ?k PQ , k NP

4 8 ?a 4 1 ,所以 3 ? 3 , 解得 a ? 。 ? 4 8 3 k PQ a? 3 3

7 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) ) 已 知 圆

C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的
2 2 2 2

动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17





答案:A 【 命题 立意】 本题 考查圆 与圆 的位置 关系以 及距 离公 式。两 圆的圆 心和 半径 分别为

C1 (2,3), C2 (3, 4) , r1 ? 1, r2 ? 3 。两圆相离。 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 关于 x 的对称圆的
2 2

方程为 C3 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1,圆心 C3 (2, ?3) ,所以 PC1 ? PC3 ,所以动点 P 到圆
2 2

心 C3 (2, ?3), C2 (3, 4) 的距离之和的最小值为 C2C3 ?

(2 ? 3) 2 ? (?3 ? 4) 2 ? 50 ? 5 2 ,

所以 PM ? PN 的最小值为 C2C3 ? 1 ? 3 ? 5 2 ? 4 ,选 A.
二、解答题 8 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆

C 的半径为,圆心在上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R
2 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? 5? ?

2012 年高考题
9 . (2012 天津理)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ?1) =1相
2 2

切,则 m +n 的取值范围是( A. [1 ? 3,1+ 3]

) B. ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?)

C. [2 ? 2 2,2+2 2] D. ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?) 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要 不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. 【解析】∵直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ?1) =1相切,∴圆心 (1,1) 到直线的
2 2

距离为 d =

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1)2 +(n ? 1)2

=1,所以 mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 ) ,设 t =m ? n , 2

1 2 t ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] ?[2+2 2,+ ?) . 4 10 .(2012 浙江理)设 a ? R,则―a=1‖是―直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行‖的
则 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与

直线 l2 平行,则有:

a 2 ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. ? 1 a ?1

11 .( 2012 重庆理)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 ( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 【答案】C D.相交且直线过圆心 )

【 解 析 】 圆 心 C (0, 0)到 直 线 kx ? y ? 1 ? 0 的 距 离 为 d ?

1 ? ? 2 ? r ,且圆心 1? k 2 1

1

C (0, 0)不在该直线上.
法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C. 【考点定位】 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位 置 关 系 , 以 及恒 过 定 点的直 线 方 程 . 直线 与 圆 的位置 关 系 利 用 d 与 r 的 大 小 为判 断 . 当 0 ? d ? r 时,直线与圆相交,当 d ? r 时,直线与圆相切,当 d ? r 时,直线与圆相离. 12 .(2012 陕西理)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,过点 P(3,0) 的直线,则 A.与 C 相交 B.与 C 相切 C.与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,所以点 P(3, 0) 在圆 C 内部,故选 A.
2 2





13 . ( 2012 大 纲 理 ) 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1, 点 E 在 边 AB 上 , 点 F 在 边 BC

3 ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹 7 时反射角等于入射角.当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 ( )
上, AE ? BF ? A.16 B.14 C.12 D.10 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似 知识的运用.通过相似三角形 ,来确定反射后的点的落的 位置,结合图像分析反射的次数即可.
F2 ( 5 ,1) F7 ( 3 ,1) 7?3 7

y

3 【解析】如图,易知 E(3,0) .记点 F 为 F1 ,则 F 1(1, ) 7 7
由反射角等于入射角知, 1? 4 ? 4 ,得 F2 ( 5 ,1) 7 3 7?3 又由 1? 5 ? 3 得 F3 (0, 23 ) ,依此类推, 7?3 4 7? 4

F3 (0, 23 ) 7? 4 F6 (0, 19 ) 7? 4

??

? ?

3 F 1 (1, ) 7

O

F4 (1, 2 ) 、 F5 ( 19 ,0) 、 F6 (0, 19 ) 、 F7 (3,1) . 由对称性 7? 4 7?3 7? 4 7

E ( 3 ,0) 7

F4 (1, 2 ) 7? 4 x F5 ( 19 ,0) 7?3

知, P 点与正方形的边碰撞 14 次, 可第一次回到 E 点. 法二:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利 用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可. 14 .(2012 年天津理)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条 弦 . 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D , D C

A F E B

过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E ,与 AB 相交于点 F , AF =3 , FB =1 , EF = 线段 CD 的长为______________. 【答案】

3 ,则 2

4 3

【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系 ,相交弦定理,切割线定理, 相似三角形的概念、判定与性质.

3 , 由相交弦定理得 AF ? FB =EF ? FC , 所以 FC =2 , 又 2 8 AF FC AB 4 = ? FC = ? 2 = ,设 CD =x ,则 AD =4 x ,再由切割线定理 ∵BD∥CE,∴ , BD = 3 AB BD AF 3 4 4 8 2 2 得 BD =CD ? AD ,即 x ? 4 x =( ) ,解得 x = ,故 CD = . 3 3 3
【解析】∵ AF =3 , FB =1 , EF = 15 . (2012 浙江理)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距 离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a=______________. 【答案】
9 4
0 ? ( ?4) 2 ? 2 2 ,故曲线

【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d ? C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?
1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 ( , ? a ), d ? ? 2 ? ? 2 4 2 2

1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离的点为 2
a? 9 . 4

?

16 . (2012 上海理) 若 n ? (?2, 1) 是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为__________(结 果用反三角函数值表示). [解析] 方向向量 d ? (1, 2) ,所以 kl ? 2 ,倾斜角?=arctan2. 17 .(2012 山东理)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) , 此时圆上一点 P 的位置在 (0, 0) , 圆在 x 轴上沿正向滚动 . 当圆滚动到圆心位于 (2,1)

时, OP 的坐标为______________. 【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2, 所 以 劣 弧 PA ? 2 , 即 圆 心 角

??? ?

?PCA ? 2

,

, ,



?PCA ? 2 ?
,

?
2

, 所





PB ? s i2 ? n )( ? ? c o 2 s 2

?

CB ? cos( 2 ? ) ? sin 2 2

?



x p ? 2 ? CB ? 2 ? s 2 , y i p ?1? n PB ? 1 ? cos2 ,所以 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2) .
另 解 1: 根 据 题 意 可 知 滚 动 制 圆 心 为 (2,1) 时 的 圆 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 2 ? cos? ,且 ? y ? 1 ? sin ?

3? ? x ? 2 ? cos( ? 2) ? 2 ? sin 2 ? 3? 2 ?PCD ? 2, ? ? ?2 , 则 点 P 的 坐 标 为 ? , 即 3? 2 ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?

OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2) .
18. (2012 江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是____. 【答案】

4 . 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 3
2

【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1. ∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 . ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 . 3

4 . 3

2011 年高考题
一、选择题: 1.(2011 年高考江西卷理科 9)若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0
2 2

有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 A.( ?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

B.( ?

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+ ? ) 3 3

c.[ ?

D.( ?? , ?

解 析 : 选 B , 由 题 意 , AC 为 直 径 , 设 圆 心 为 F , 则 FE ? BD , 圆 的 标 准 方 程 为

? x ? 1? ? ? y ? 3?
2

2

? 10 ,故 F ?1,3? ,由此,易得: AC ? 2 10 ,又 k EF ?

3 ?1 ? 2 ,所 1? 0

1 ? ?1? 3 1 2 ? 5, 以直线 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 , F 到 BD 的距离为 由此得,BD ? 2 5 2 5 2
所以四边形 ABCD 的面积为 二、填空题: 1.(2011 年高考安徽卷理科 15)在平面直角坐标系中, 如果 x 与 y 都是整数, 就称点 ( x, y ) 为 整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点

1 1 AC ?BD ? ? 2 5 ? 2 10 ? 10 2 2 2

②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

2.(2011 年高考重庆卷理科 15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域
2

(包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 解析: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值, 显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切, 设圆 C 的半径为 r ,则圆 C 的方程为 ? x ? r ? 3? ? y 2 ? r 2 ,将其与 y ? 2 x 联立得:
2

2

x 2 ? 2 ? r ? 2 ? x ? 9 ? 6r ? 0 , 令 ? ? ? ?2 ? r ? 2?? ? ? 4 ? 9 ? 6r ? ? 0 , 并 由 r ? 0 , 得 :
2

r ? 6 ?1
三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 22)(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△OPQ 的面积 已知动直线与椭圆 C: 3 2

S ?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)证明 x12 ? x2 2 和 y12 ? y2 2 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ?若存在,判断△ 2

(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 3 2

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3(m 2 ? 2) ? 0 ,

2 y12 ? y2 ?

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3

2 2 综上所述, x12 ? x2 ? 3; y12 ? y2 ? 2, 结论成立。

(II)解法一: (1)当直线的斜率存在时, 由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. 2

(2)当直线的斜率存在时,由(I)知

x1 ? x2 3k ? , 2 2m

y1 ? y2 x ?x 3k 2 ?3k 2 ? 2m 2 ? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ?y 9k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 2 ) 2 ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
所以 | OM |2 ? | PQ |2 ?

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

1 1 )(2 ? 2 ) 2 m m 1 1 3? 2 ? 2? 2 m m ) 2 ? 25 . ?( 2 4 ? (3 ?
5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 2
所以 | OM | ? | PQ |? 解法二:

由(I)得

2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u , x1 , x2 只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2
因此 D,E,G 只能在 (?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.
2 2 2. (2011 年高考广东卷理科 19)设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y 2 ? 4, (x ? 5) ? y 2 ? 4 中的一

个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 , ),F ( 5,0), 5 5

此时点 P 的坐标. 【解析】(1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,
x2 化简得 L 的方程为 ? y 2 ? 1. 4

(2)解:过 M,F 的直线方程为 y ? ?2( x ? 5) ,将其代入 L 的方程得

15 x 2 ? 32 5 x ? 84 ? 0.

解得 x1 ?

6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x2 ? , 故l与L交点为T1 ( ,? ), T2 ( , ). 5 15 5 5 15 15

因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2,

| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. ,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有 | MP | ? | FP | ?| MF |? 2.
故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。 3.(2011 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明 理由。 解析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程 思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以

0?m ?1 ? ?1 , 2?0

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径

r ?| MP |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)因为直线的方程为 y ? x ? m, 所以直线 l ' 的方程为 y ? ? x ? m. 由?

? y ' ? ? x ? m, ?x ? 4 y
2

得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0

? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)

(1)当 m ? 1, 即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1 ,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切; 当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。

4.(2011 年高考上海卷理科 23)(18 分)已知平面上的线段及点 P ,在上任取一点 Q ,线 段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段的距离,记作 d ( P, l ) 。 (1)求点 P (1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; (3)写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} ,其中

l1 ? AB, l2 ? CD ,
A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①
2 分,② 6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D ( ?1, 0) 。 ② A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D ( ?1, ?2) 。



A(0,1), B (0, 0), C (0, 0), D (2, 0)。

解:⑴ 设 Q ( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

5 9 | PQ |? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 4) 2 ? 2( x ? ) 2 ? (3 ? x ? 5) 2 2





x?3





d ( P, l ) ? | PQ |min ?

5。

⑵ 设线段的端点分别为 A, B , 以直线 AB 为 x 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1, 0), B (1, 0) ,点集 D 由如下曲线围成
y

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1)
C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。 ⑶ ① 选择 A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D( ?1, 0) , ? ? {( x, y ) | x ? 0}
A -1

1 B 1



O -1

x

② 选择 A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D( ?1, ?2) 。

? ? {( x, y ) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y ) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ? {( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, x ? 1}

③ 选择 A(0,1), B(0, 0), C (0, 0), D(2, 0) 。

? ? {( x, y ) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y ) | y ? x, 0 ? x ? 1}

?{( x, y ) | x 2 ? 2 y ? 1,1 ? x ? 2} ? {( x, y ) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2

D

-2

x

2010 年高考题
一、选择题 1. ( 2010 江西理) 8. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若
2 2

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
? 3 ? 0? ?? , A. ? 4 ?
【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察 数形结合的运用. 解法 1: 圆心的坐标为 (3., 2) , 且圆与 y 轴相切.当 | MN |? 2 3时, 由点到直线距离公式,解得 [ ?

? 3 3? 3? ? , ? ?? ??, ? ? ? ?0, ? ?? ? 3 3 ? 4 ? ? ? B. C.

? 2 ? 0? ?? , D. ? 3 ?

3 , 0] ; 4

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间 不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 2.(2010 安徽文)(4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 【答案】A 【解析】 设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 , 又经过 (1, 0) , 故 c ? ?1 , 所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 【 方 法 技 巧 】 因 为 所 求 直 线 与 与 直 线 x-2y-2=0 平 行 , 所 以 设 平 行 直 线 系 方 程 为 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0

x ? 2y ? c ? 0, 代入此直线所过的点的坐标, 得参数值, 进而得直线方程.也可以用验证法,
判断四个选项中方程哪一个过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行. 3.(2010 重庆文)(8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 的公共点,则实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) (C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) (B) [2 ? 2, 2 ? 2] (D) (2 ? 2, 2 ? 2)

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同 ? y ? sin ?

【答案】D 解析: ?

? x ? 2 ? cos ? , 化为普通方程 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,表示圆, y ? sin ? ?
2?b 2 ? 1, 解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2

因为直线与圆有两个不同的交点,所以

法 2:利用数形结合进行分析得 AC ? 2 ? b ? 同理分析,可知 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 4. (2010 重庆理) (8) 直线 y=

2,?b ? 2 ? 2

? 3 ? x ? 3 ? 3 cos ? , x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ? ?0, 2? ? ? 3 y ? 1 ? 3 sin ? ? ?
5 ? 4 4 ? 3 5 ? 3

交与 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A.

7 ? 6

B.

C.

D.

【答案】C 解析:数形结合

?1 ? ? ? 30?

?2 ? 30? ? ? ? ?

由圆的性质可知 ?1 ? ? 2

?? ? 30? ? 30? ? ? ? ?
故? ? ? ?

4 ? 3

5.(2010 广东文)

6.(2010 全国卷 1 理)(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两 切点,那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

7.(2010 安徽理)9、动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 纵坐标 y 关于(单位:秒)的函数的单调递增区间是 A、 ?0,1? 【答案】 D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ? 在 t ??0,1? 上 ? ? [ B、 ?1,7? C、 ?7,12? D、 ?0,1? 和 ?7,12?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的 2 2

?
3

,每秒钟旋转

? ?

3? 7? , ] ,在 ?7,12 ? 上 ? ? [ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于都是单调递 3 2 2 3

? , 6

增的。 【方法技巧】由动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与 三角函数的定义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出, 当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于(单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得 单调递增区间. 二、填空题 1.(2010 上海文)7.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离

d?
【答案】3



解析:考查点到直线距离公式 圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为

3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 5

?3

2.(2010 湖南文)14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 【答案】-1 3.(2010 全国卷 2 理)(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB ,圆(x-2) +(y-3) =1 关于直线对称的圆的方程为
2 2

?3 ,则两圆圆心的距离 为 圆 M 与 圆 N 的 公 共 弦 , AB ? 4 . 若 O M ? O N
MN ?
【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质,解三角形问题. 【解析】设 E 为 AB 的中点,则 O,E,M,N 四点共面,如图,∵ AB ? 4 ,所以 .

? AB ? OE ? R 2 ? ? ? ? 2 3 ,∴ ME= 3 ,由球的截面性质,有 OM ? ME,ON ? NE , ? 2 ?
∵ OM ? ON ? 3 , 所以 ?MEO 与 ?NEO 全等, 所以 MN 被 OE 垂直平分, 在直角三角形中, 由面积相等,可得, MN=2

2

ME?MO ?3 OE

4.(2010 全国卷 2 文)(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,

AB ? 4 , 若 O M ? O N ?3 , 则 两 圆 圆 心 的 距 离
O B N E A M

MN ?



【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识 ∵ ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直于 AB,

∴ NE= 3 , 同理可得 ME ? 3 , 在直角三角形 ONE 中, ∵ NE= 3 , ON=3, ∴

?EON ?

?
6,

?MON ?


?
3 ,∴ MN=3

5. (2010 山东文) (16) 已知圆 C 过点 (1,0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l:y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 答案: .

6. ( 2010 四川理) ( 14 )直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相交于 A 、 B 两点,则

?AB ??

.

解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?

得|AB|=2 3 答案:2 3 7. (2010 天津文) (14) 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2



本题主要考查直线的参数方程,圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识,属于容易题。 令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为(-1.0) 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 2

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 8. (2010 广东理) 12.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 12. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 .设圆心为 (a, 0)(a ? 0) ,则 r ?

| a ? 2?0 | 12 ? 22

? 5 ,解得 a ? ?5 .

9. ( 2010 四 川 文 ) (14) 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0与 圆 x 2 ? y 2 ? 8 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则

?AB ??
【答案】2 3

.

解 析: 方法 一、 圆心 为 (0,0) , 半径 为 2

2 圆 心 到直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的 距离为 d =

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5 故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?

得|AB|=2 3 10.(2010 山东理)

【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:

(

| a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐 2

标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求 的直线方程为 x+y-3=0 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解 决直线与圆问题的能力。 11.(2010 湖南理)

12.(2010 江苏卷)9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是___________ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2,

圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| ? 1 , c 的取值范围是(-13,13)。 13

2009 年高考题 一、选择题 1.(辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则 圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离 等于半径 2即可. 【答案】B
2 2 2.(重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为(

) D.相离

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

【解析】圆心 (0, 0) 为 到 直 线 y ? x ?1 , 即 x ? y ?1 ? 0 的 距 离 d ?

1 2 ,而 ? 2 2

0?

2 ? 1 ,选 B。 2


【答案】B 3.(重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2 解法 1(直接法):设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 解法 2(数形结合法):由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2),故 圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 解法 3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排 除 C。 【答案】A 4. (上海文, 17) 点P (4, -2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ( )

4?s ? x? ? ?s ? 2 x ? 4 ? 2 【解析】 设圆上任一点为 Q (s, t) , PQ 的中点为 A (x, y) , 则? , 解得: , ? ? 2 ? t t ? 2 y ? 2 ? ?y ? ? 2 ?
代入圆方程,得(2x-4) +(2y+2) =4,整理,得: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1
2 2

【答案】A 5. (上海文, 15 )已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平 行,则 k 得值是( A. 1或3 ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

【解析】当 k=3 时,两直线平行,当 k≠3 时,由两直线平行,斜率相等,得: -3,解得:k=5,故选 C。 【答案】C 6. (上海文,18)过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分
2 2

3?k =k 4?k

别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图), 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有( (A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条 )

【解析】由已知,得: SIV ? SII ? SIII ? SI , ,第 II,IV 部分的面

积是定值,所以, SIV ? SII 为定值,即 S III ? S I , 为定值,当直线

AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B。
【答案】B 7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆学 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为科 网 A. 3 B.2 C. 6 D.2 3

2 解析:x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ? x 2 ? (y ? 2) ? 4,

? A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,? ON= 3 ? 弦长2 3
【答案】D 二、填空题 8. (广东文,13)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ? 所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

| 2 ?1 ? 6 | 5 ? , 1?1 2

25 2

【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

9.(天津理,13)设直线 l1 的参数方程为 ? 则 l1 与 l2 的距离为_______

?x ? 1? t (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4 ? y ? 1 ? 3t

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为

|4?2| 10

?

3 10 。 5

【答案】

3 10 5
2 2 2 2

10. (天津文, 14) 若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 , 则 a=________. 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 , a

1 | 2 2 a 利用圆心(0,0)到直线的距离 d ? 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a=1. 1 |
【答案】1 11. (全国Ⅰ文 16) 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的 长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60?

⑤ 75

?

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

【解析】 解: 两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o ,l 1
o 0 0 o 0 0

的倾斜角为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。
o

【答案】①⑤ 12. (全国Ⅱ理 16 )已知 AC、 BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为

M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为

?

?



【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ? 【答案】5 13.(全国Ⅱ文 15)已知圆 O: x ? y ? 5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与
2 2

1 | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 2

两坐标轴围成的三角形的面积等于

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴 2 5 1 5 25 上的截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4 25 【答案】 4
【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 14.(湖北文 14)过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q, 则线段 PQ 的长为
2
2 2-


2

【解析】可得圆方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 理得 PQ ? 4 .

【答案】4 15.(江西理 16).设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命 题:

A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).

s? y (? 【 解 析 】 因 为 xc o ?

2)? s i? n 所以 1 点 P ( 0 , 2到 ) M 中每条直线的距离

d?

1 cos ? ? sin 2 ?
2

?1

即 M 为圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 所以 A 错误; 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确; 对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B, C 三、解答题 16.(2009 江苏卷 18)(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直 的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条 件的点 P 的坐标。 解 (1)设直线的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线的距离 d ? 42 ? (

2 3 2 ) ? 1, 2

结合点到直线距离公式,得:

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得::圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

2008 年高考题
一、选择题 1. (2008 年全国Ⅱ理 11) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A.3 答案 解析 A B.2 C. ? ( D. ? ).

1 3

1 2

l1 : x ? y ? 2 ? 0, k1 ? ?1 , l 2 : x ? 7 y ? 4 ? 0, k 2 ?

1 ,设底边为 l3 : y ? kx 7

由题意, l 3 到 l1 所成的角等于 l 2 到 l 3 所成的角于是有 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。

k1 ? k k ? k2 k ? 1 7k ? 1 ? ? ? 1 ? k1k 1 ? k 2 k k ?1 7 ? 3

2.(2008 年全国Ⅱ文 3)原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 A.1 答案 解析 D B. 3 C.2 D. 5





d?

?5 1 ? 22

? 5。

3.(2008 四川4)将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 ,再向右平移1个单位长度,所得 到的直线为 A. y ? ? ( )

1 1 x? 3 3

B. y ? ? D. y ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3 答案 A

1 x ?1 3

4.(2008 上海 15)如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴 分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D 是该圆的四等分点.若 点 P( x,y ) 、点 P?( x?,y?) 满足 x ≤ x? 且 y ≥ y? ,则称 P 优于 P? .如果 ? 中的点 Q 满 足:不存在 ? 中的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( A. 答案 B. D C. D. )

5.(2007 重庆文)若直线 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为 原点),则 k 的值为 A.- 3 或 3 答案 A ( ) B. 3 C.- 2 或 2 ( D. 2 )

6.(2007 天津文)“ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 二、填空题 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. (2008 天津文 15, ) 已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为_______. 答案

x2 ? ( y ? 1)2 ? 18

9.(2008 四川文 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点
2 2

到的距离的最小值为_______. 答案

2

10.(2008 广东理 11)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 程是 答案 .

x ? y ?1 ? 0

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题
一.基础题组
1. 【 河 北 省 唐 山 市 一 中 2014 届 高 三 12 月 月 考 】 直 线 x ? 2 y ? 3? 0与 圆 C :

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 交于 E , F 两点,则 ?ECF 的面积为(



A.

3 2

B. 2 5

C.

3 5 5

D.

3 4

二.能力题组
1.【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】已知直线 a x+y+2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 ) D.1
2 2

三、拔高题组
1. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 ,圆
2 2

C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则
2 2

PM ? PN 的最小值为(
A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1

) C. 6 ? 2 2 D. 17

一.基础题组 1.
【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】

直线

? : (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 和直线 ?
1

2

: 2x ? (5 ? a) y ? 8 平行,则 a ? (
C.7 或 1 D. ? 1



A. ?7或 ? 1

B. ? 7

2.

【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】 ) D. 5 5

已知实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,则 2 x ? y ? 2 的最小值是( A. 5 ? 5 B. 4 ? 5 C. 5 ? 1

3. 【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题】 若直线 l1 : y ? kx ? 3 与 l2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点在第一象限,则直线 l1 的倾斜角的取值范围是( A. [ )

? ?

, ) 6 3

B. (

? ? , ) 6 2

C. (

? ? , ) 3 2

D. [

? ?

, ] 3 2

4.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】已知直线

l1 : (a ? 2) x ? 3 y ? a ? 0 与 l2 : ax ? (a ? 2) y ?1 ? 0 互相垂直,则 a ?

.

二.能力题组 1.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】圆
心在曲线 y ?

2 ( x ? 0) 上,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为( x
2 2



A. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25
2 2

2.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】(本小题满分 12 分) 已知定点 M (0, 2) , N (?2, 0) ,直线 l : kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 ( k 为常数). (1)若点 M 、 N 到直线的距离相等,求实数 k 的值; (2)对于上任意一点 P , ?MPN 恒为锐角,求实数 k 的取值范围.

试题解析:(1)∵点 M,N 到直线 l 的距离相等,

三.拔高题组 1. 【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷 (理) 】 (本
小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线: y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1, 圆心在上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
[学科

2.【玉溪一中 2013-2014 学年上学期期中考试高二数学(理科)试卷】(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(1)若直线过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所 有满足条件的点 P 的坐标. 【答案】(1) y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 ;(2) P ( ? 【解析】

3 13 5 1 , )或 P ( , ? ) . 2 2 2 2

(2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 ,关于 k 的方程由无穷多解,则有
3 13 5 1 ?2 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 8 ? 0 ,故 P ( ? , )或P( , ? ) . 或? ? 2 2 2 2 ?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 5 ? 0
考点:(1)点到直线距离公式;(2)方程解的个数问题.

2012-2013 年联考题
1.【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的 直线方程是( ) B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 【答案】D

【解析】直线的斜率为 k ? tan135 ? ?1 ,所以满足条件的直线方程为 y ? ? x ? 1 ,即
?

x ? y ? 1 ? 0 ,选 D.
2. 【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】在直角坐标系中,直线

3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是
A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

【答案】D 【 解 析 】 直 线 的 斜 截 式 方 程 为 y ? ? 3x ? 3 , 即 直 线 的 斜 率 k ? tan ? ? ? 3 , 所 以

??

2? ,选 D. 3
) C. -2 D. 1 或-2

3.【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】若直线 l1 : ax ? 2 y ? 8 ? 0 与直线 l2 :

x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行 ,则 a 的值为(
A. 1 【答案】A 【解析】直线 l1 的方程为 y ? ? 直线平行,则有 B. 1 或 2

a x ? 4 ,若 a ? ?1 ,则两直线不平行,所以 a ? ?1 ,要使两 2

a 2 ?8 a 2 ? ? ? ?2 ,由 ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?2 。当 a ? ?2 时, 1 a ?1 4 1 a ?1

a ? ?2 ,所以不满足条件,所以 a ? 1 ,选 A. 1
4. 【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆

x2 ? y 2 ? 1 相交”的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 要使直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交, 则有圆心到直线的距离 d ? 即 k ?

k 2

?1 。

2 , 所 以 ? 2 ? k ? 2 , 所 以 “ k ? 1 ” 是 “ 直 线 x ? y ? k ?0 与 圆

x2 ? y 2 ? 1 相交”的充分不必要条件,选 A.
5.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理】直线 2ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于

A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间
距离的最大值为 ( A. 2 ? 1 【答案】A 【解析】因为△AOB 是直角三角形,所以圆心到直线的距离为 ) B.2 C. 2 D. 2 ? 1

2 1 2 ,所以 , ? 2 2 2 2 2a ? b

即 2a ? b ? 2 。所以 a ? 1 ?
2 2

2

b2 b2 2 ? 0 ,得 b2 ? 2, ? 2 ? b ? 2 。所以点 ,由 a ? 1 ? 2 2
(0,1) 之 间 距 离 , 为 即

P(a,b)





d ? a 2 ? (b ? 1)2 ? 1 ?

b2 ? (b ? 1)2 2

?

b2 (b ? 2)2 ? 2b ? 2 ? 2 2

d?

(b ? 2
b?2 2 ?

2

?

2b ? 2 ) , 因 为 ? 2 ?b? 2 , 所 以 当 b?? 2 时 , 2
? 2?2 ? 1 ? 2 为最大值,选 A. 2

d?

? 2 ?2 2

6. 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】若点 P(1,1) 为圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( )

A . 2x ? y ? 3 ? 0
【答案】D

B . x ? 2 y ?1 ? 0

C . x ? 2y ? 3 ? 0

D. 2x ? y ?1 ? 0

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 9 ,圆心为 A(3, 0) ,因为点 P(1,1) 弦 MN 的中点,
2 2

所以 AP ? MN ,AP 的斜率为 k ?

1? 0 1 ? ? ,所以直线 MN 的斜率为 2,所以弦 MN 所在 1? 3 2

直线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,选 D. 7.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】过点 P(1,3) 且在 x 轴上的截距和在 y 轴上 的截距相等的直线方程为( (A) x ? y ? 4 ? 0 (C) x ? y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0 【答案】D 【解析】若直线过原点,设直线方程为 y ? kx ,把点 P(1, 3) 代入得 k ? 3 ,此时直线为 ) (B) 3x ? y ? 0 (D) x ? y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0

x y y ? 3x ,即 3x ? y ? 0 。若直线不经过原点,在设直线方程为 ? ? 1 ,即 x ? y ? a 。把 a a
点 P(1,3) 代入得 a ? 4 ,所以直线方程为 x ? y ? 4 ,即 x ? y ? 4 ? 0 ,所以选 D. 8.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】以双曲线 其渐近线相切的圆的标准方程是 【答案】 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? _____.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与 9 16

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点 3 3

为 (5, 0) ,圆心到直线 4 x ? 3 y ? 0 的距离为 d ? 圆的标准方程为 ( x ? 5) ? y ? 16 。
2 2

4?5 32 ? 42

? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求

9.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 ; .

若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k ?

【答案】 (3, 0)

?

2 4
2 2

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 1 ,所以圆心坐标为 (3, 0) ,半径为 1. 要使直线

y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,所以有 k ? 0 。圆心到直线 kx ? y ? 0 的距离为
1 2 。 ? 1 ,即 k 2 ? ,所以 k ? ? 8 4 k ?1
2

3k

10. 【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 已知直线 y ? x ? b 与平面区域 C: ? 边界交于 A,B 两点,若 AB ? 2 2 ,则 b 的取值范围是________. 【答案】 [?2, 2]

?| x |? 2, 的 ?| y |? 2

【解析】 不等式 ?

?| x |? 2, 对应的区域为 ?| y |? 2

, 因为直线 y ? x ? b

的斜率为 1,由图象可知 CD ? EF ? 2 2 ,要使 AB ? 2 2 ,则 ?2 ? b ? 2 ,即 b 的取值 范围是 [?2, 2] 。 11.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 l1 , l2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两 条平行直线,当 l1 , l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是 【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0 【解析】解:当两条平行直线与 A、B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大. 因为 A(-1,1)、B(2,-4),所以 k AB ? 所以直线 l1 的方程是 y ? 1 ? ? .

1 ?1 ? 1 ? 2 ,所以两平行线的斜率为 k ? ? , 2 0 ?1

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 2
2 2 2 2

12.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】圆 ( x ? a) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的 渐近线相切,则 a 的值是 _______. 【答案】 ? 2
2 2 【解析】双曲线 x ? y ? 1的渐近线为 y ? ? x ,不妨取 y ? x ,若直线 y ? x 与圆相切,则

有圆心 ( a, 0) 到直线 x ? y ? 0 的距离 d ?

a 2

? 1 ,即 a ? 2 ,所以 a ? ? 2 。

? x ? 0, ? 13.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平 ? y ? x ?1 ?
面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___. 【答案】 ?1 【解析】做出不等式组对应的区域为三角形 BCD,直线 y ? kx ? 1 过定点 (0, ?1) ,由图象可 知点 D (0,3) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离最大,此时 d ?

?3 ? 1 k 2 ?1

?

4 k 2 ?1

? 2 2 ,解得

k ? ?1 。

? y ? x, ? 14. 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S ? x?a ?
的面积为 4 ,则 a ? ; .

若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 【答案】2;6

【 解 析 】 如 图 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 为 三 角 形 OBC , 由 图 象 知 a ? 0 。 其 中

1 B( a, a) , C (a ? , a ) BC ? 2a, 所以三角形的面积为 ? a ? 2a ? a 2 ? 4 ,所以 a ? 2 。 ,所以 2
由 z ? 2 x ? y 得 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过

z ? 2? 2 ? 2 ? 6 。 点 B 时,直线截距最大,此时 z 也最大,把 B (2, 2) 代入 z ? 2 x ? y 得

?x ? y ? 4 ? 15.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过 ?x ? 1 ?
点 P 的直线与圆 C : x2 ? y 2 ? 14 相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为 .

【答案】4 【解析】如图,点 P 位于三角形 CDE 内。圆的半径为 14 。要使 AB 的最小值,则有圆 心到直线的距离最大,有图象可知当点 P 位于 E 点时,圆心到直线的距离最大,此时直 线 l ? OP , E (1,3) 所 以 AE ?

OA ? OE ? 14 ? ( 1 ? 32 )2 ? 4 ? 2 , 所 以

2

2

AB ? 2 AE ? 4 ,即最小值为 4.

2011-2012 年联考题
题组一
一、选择题

1.(北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)直线 x-y+1=0 与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是 ( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心但与圆相交 D.相离 答案 B. 2.(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的

直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 ( )
( B) ? 5 ? k ? 0 (C ) 0 ? k ? 13 ( D) 0 ? k ? 5

( A) 0 ? k ? 5
答案 A.

3、 (福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)两圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 4 ? 0 和 若 a ? R, b ? R , 且 ab ? 0 , 则 x 2 ? y 2 ? 4by ? 1 ? 4b 2 ? 0 恰有三条公切线, 的最小值为 ( ) C. D. 3

1 1 ? 2 2 a b

1 A. 9
答案 C.

4 B. 9

3. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) 已知点 P 是曲线 C: y = x + 2 x + 1 上的一点,过点 P 与此曲线相切的直线平行于直线 y = 2 x - 3 ,则切线的方程是( A. y ? 2 x ? 1 C. y = 2 x 答案 A. 4. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理)设斜率为 1 的直线与椭圆 B.y= ? )

3

1 x ?1 2

[来源:Z&xx&k.Com]

D. y = 2 x + 1 或 y = 2 x

C:

x2 y2 ? ? 1 相交于不同的两点 A、B,则使 | AB | 为整数的直线共有( 4 2
B.5 条 C.6 条 D.7 条



A.4 条 答案 C.

5.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 已知圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与抛物
2 2

线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p= ( ▲ )
2

A、1

B、2

C、3

D、4

答案 B. 6 . ( 甘 肃 省 天 水 一 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 试 题 理 ) 过 点 M( ? 1,5) 作圆

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的切线,则切线方程为(
A. x ? ?1 C. x ? ?1或5x ? 12 y ? 55 ? 0 答案 C.



B. 5x ? 12 y ? 55 ? 0 D. x ? ?1或12x ? 5 y ? 55 ? 0

7( .甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线

4 1 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0)对称, 则 ? 的最小值是( a b
A.4 答案 D. B.6 C. 8

) D.9

2 2 8. (广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理) 已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4

交于A、B两点,O是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA ? OB | ? | OA ? OB | ,则实数a的值是(
(A)2 答案 D. (B) ?2

) (D)2或 ?2

(C) 6 或 ? 6

9. (广东省清远市清城区 2011 届高三第一次模拟考试理)曲线 y ? 2x ? x 在x ? ?1 处的
3

切线方程为(

)[来源:学|科|网 Z|X|X|K] B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 答案 C.

10. (贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理) 若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1,?1) 平 移后与圆 x ? y ? 5 相切,则 c 的值为(
2 2

) D.2 或-8

A.8 或-2 答案 A.

B.6 或-4

C.4 或-6

11. ( 黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 2011 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 ) 若 直 线 y ? x 是 曲 线

y ? x3 ? 2 x 2 ? ax 的切线,则 a =(
A.1 B .2


C. ? 1 D .1 或 2

答案 D. 12.(黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理)― a ? 3 ‖是―直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 ‖与―直线

6 x ? 4 y ? c ? 0 平行‖的
A.充分不必要条件 D.充要条件 答案 B.





C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

13.(湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文)已知 α∥β,a ? α,B∈β,则在 β 内 过点 B 的所有直线中 A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 答案 D. 14. (重庆市南开中学 2011 届高三 12 月月考文) 已知圆 C 与直线 x ? y ? 0及x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为 ( A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

)[来源:Z|xx|k.Com] B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

答案 B. 二、填空题 14.(湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文)已知两点 P(4, ?9) , Q(?2,3) ,则直 线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 答案 2. 15. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦 点在 x 轴上, 斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A、 B 两点,OA ? OB与a ? (3,?1) 共 线,求椭圆的离心率▲▲. 答案 e ?

??? ?



6 . 3

16.(甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ?
答案 0. 17. (广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文) 在极坐标中, 圆 ? ? 4cos ? 的圆心 C 到直线 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 2 的距离为

.

18.(河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文)如下图,直线 PC 与圆 O 相切于 点 C , 割 线 PAB 经 过 圆 心 O , 弦 CD ⊥ AB 于 点 E , PC ? 4 , PB ? 8 , 则 CE ? .
C

B

O

E

A

P

D

第3题 答案

12 5

19.(黑龙江省哈尔滨市第 162 中学 2011 届高三第三次模拟理)已知函数 f ? x ? 的图象关

于直线 x ? 2 和 x ? 4 都对称,且当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x .求

f ?19.5? =_____________。
答案 0.5 20.(湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考)设圆 C : x ? y ? 2ax ? 2 y ? a ? 0(a 为
2 2 2

常数) 被 y 轴所截得弦为 AB,若弦 AB 所对圆心角为 学_科_网]

? , 则实数 a ? 2

。[来源:

答案 ?

2 2

三、简答题 21. (甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理) (12 分)已知圆 C 经过 P(4, – 2) ,Q(– 1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程. (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B, ?AOB ? 90? ,求直线 l 的方程. 答案 (12 分)

解:(1) PQ 为 y ? 3 ?

3? 2 ? ( x ? 1) 即 x ? y ? 2 ? 0 ?1 ? 4 3? 2 4 ?1 C 在 PQ 的中垂线 y ? ? 1? ( x ? )即y=x–1上 2 2 设 C(n,n – 1),则 r 2 ? | CQ | 2 ? (n ? 1)2 ? (n ? 4)2
∴ n = 1 或 5,r 2 = 13 或 37

由题意,有 r 2 ? (2 3)2 ? | n | 2 ∴ n2 ? 12 ? 2n2 ? 6n ? 17 (舍) ∴圆 C 为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 13 解法二:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? ? 或 ? E ? ?8 由已知得 ? D ? 3E ? F ? 10 解得 ? E ? 0 ? F ? ?12 ?F ? 4 ? 2 ? ? ? E ? 4 F ? 48

? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? 当 ?E ? 0 时, r ? 13 ? 5 ;当 ? E ? ?8 时, r ? 37 ? 5 (舍) ? F ? ?12 ?F ? 4 ? ?

∴ 所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 12 ? 0 (2) 设 l 为 x ? y ? m ? 0
?x ? y ? m ? 0 由? ,得 2x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 12 ? 0 2 2 ( x ? 1) ? y ? 13 ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 ? x2 ? 1 ? m,x1 x2 ? ∵ ?AOB ? 90? ,

m2 ? 12 2

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 [来源:学。科。网] ∴ x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 0 ∴ m2 ? m ? 12 ? 0 ∴ m = 3 或 – 4(均满足 ? ? 0 ) ∴ l 为 x? y?3?0 或 x? y?4?0 22.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) (13 分)如图,求由两条曲线 y=-x2,4y=-x2 及直线 y=-1 所围成图形的面积. 答案 (13 分)如图,求由两条曲线 y=-x2,4y=-x2 及直线 y=-1 所围成图形的面积.
解:(理)由对称性,所求图形面积为位于 y 轴在侧图形面积 的 2 倍?2 分由

y O x A
4y=-x2

?x ?yy ? ? ?1

2

得 C(1,-1)同理得 D(2,-1)??5 分

B -1C

D
y=-x2

∴所求图形的面积 S ? 2{ [? x ? (? x 2 )]dx ?

?

1

2

0

4

? [?
1

2

x2 ? (?1)]dx} ?? 8 分 [ 来 4

源:Zxxk.Com]

? 2( ?

2 2 x 2 3x 2 dx ? ? dx ? ? dx) 0 4 1 4 1 1

y O x A
4y=-x2

x3 ? 2( 4

1 0

x3 ? 12

2 1

4 ? x | ) ? ??13 分 3
2 1

B -1C

D
y=-x2

(理科图) 23. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理)(本小题满分 14 分)已知圆 O:

x 2 ? y 2 ? 1 ,点 O 为坐标原点 , 一条直线: y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切并与椭圆
x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B 2
(1)设 b ? f (k ) ,求 f ( k ) 的表达式;

2 求直线的方程; 3, 2 3 (3)若 OA ? OB ? m( ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,
(2)若 OA ? OB ? 答案 【 解 】 ( 1 ) y ? kx ? b (b ? 0) 与 圆 x 2 ? y 2 ? 1 相 切 , 则

|b| 1? k 2

?1 , 即

b2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,
所以. b ? k 2 ? 1 ???????????4 分

? y ? kx ? b ? (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则由 ? x 2 ,消去 y 2 ? ? y ?1 ?2
得: (2k ? 1) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0
2 2 2

4kb 2b 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 . ????6 分 又 ? ? 8k ? 0 (? k ? 0) ,所以 x1 ? x2 ? ? 2 2k ? 1 2k ? 1
2

则 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 2 k 2 ?1 . 由 OA ? OB ? , 所以 k 2 ? 1. 所 2 3 2k ? 1
????????8

b 2 ? 2. b ? 0,?b ? 2,
分 所以?l : y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 .

???????9 分

k 2 ?1 2 3 2 k 2 ?1 3 ? m . ? ? m ? , ? ? , 所以 (3)由(2)知: 2k 2 ? 1 3 4 3 2k 2 ? 1 4

1 ? ? k 2 ? 1, 2
2

?????????12 分

2k 2 (k 2 ? 1) 2 2k 2 1 由弦长公式得 | AB |? k ? 1 ? 2 , 所以 S ? | AB |? , 2k ? 1 2 2k 2 ? 1
解得?

6 2 ?S? . 4 3

?????????14 分

24. (黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理) (12 分)已知圆 M : ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 36 及定点 N ( 5 ,0) ,点 P 是圆 M 上的动点, 点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2 NQ , GQ ? NP ? 0 . (1)求 G 的轨迹 C 的方程; ( 2 ) 过 点 K ( 2,0) 作 直 线 , 与 曲 线 C 交 于 A, B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 设 是否存在这样的直线, 使四边形 OASB 的对角线相等?若存在, OS ? OA ? OB , 求出直线的方程;若不存在,说明理由. 答案 24. (1) | GM | ? | GN |?| MP |? 6 ,所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 9 4

( 2 ) ?OS ? OA ? OB,? 四 边 形 OA S B 为 平 行 四 边 形 , 又 其 对 角 线 相 等 , 则

OA ? OB
当直线的斜率不存在时,四边形的对角线不相等; 当直线的斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,联立

? y ? k ( x ? 2) ? (4 ? 9k 2 ) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ? 2 2 ?4 x ? 9 y ? 36
? x1 ? x 2 ? 36k 2 36( k 2 ? 1) , x x ? 1 2 4 ? 9k 2 4 ? 9k 2

? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,
整理得 (1 ? k ) x1 x 2 ? 2k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 0 (*)
2 2 2

36( k 4 ? 1) 72k 4 9 3 ? ? 4k 2 ? 0,? k 2 ? ,? k ? ? 代入得 2 2 4 2 4 ? 9k 4 ? 9k
所以存在直线 l ; y ? ?

3 ( x ? 2) 2

25.(黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理)(12 分)已知直线 l : y ? k( x ? 2 2 ) 与 圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, ? AOB 的面积为 S . (1)试将 S 表示成 k 的函数 S ( k ) ,并求出其定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大时 k 的值. 答案 25. (1)设圆心 O 到直线的距离为 d ,则 d ?

| 2 2k | k ?1
2

,所以

(

| AB | 2 8k 2 ) ? r2 ? d2 ? 4? 2 ,故 2 k ?1
4 2(1 ? k 2 )k 2 1 | AB | d ? , k ? ( ?1, 0) ? (0,1) 2 k2 ? 1

S (k ) ?

(2) S ( k ) ?

4 2(1 ? k 2 )k 2 , k ? ( ?1,0) ? (0,1) k2 ? 1
2

1 ? k 2 ? 2k 2 2 ( k 2 ? 1) 2 3 ? (1 ? k ) ? 2k ? ( ) ? 当且仅当 k ? ? 时取等号,此时 2 4 3
2

S max ? 2

题组二
一、 选择题 1.(广东省河源市龙川一中 2011 届高三理) 平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数 y ? 9 ? x 2 图象上任意两个次整点作直 线,则倾斜角大于 45°的直线条数为( A.10 B.11 答案 B. 二、填空题 )[来源:Z&xx&k.Com] C.12 D.13

2.(江苏泰兴市重点中学 2011 届高三理)函数 y ? x ? a 的图象关于直线 x ? 3 对称.则

a ? _____________.
答案 2. 3.(广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理) 如图, AB 为圆 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于 P ,若 AB ? 3 , CD ? 1 ,则 C

cos?APD ? _______.
A

D P O B

1 DC 1 1 1 答案 3. 答: .连结 AD,OD,OC,则 cos?APD ? sin ?DAP ? sin ?DOC ? 2 ? 3 2 OD 3
4.(2011 湖南嘉禾一中)(本题满分 13 分) 已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合,短轴长为 2.椭圆的右准线 l 与 x 轴交于 E, 过右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点, 点 C 在右准线 l 上, BC//x 轴. (1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率; (2)求证:线段 EF 被直线 AC 平分. 答案 解: (1)由题意,可设椭圆的标准方程为

x2 y3 ? ? 1(a ? b ? 0) ??1 分 a2 b2

? y 2 ? 4 x 的焦点为 F(1,0)

? c ? 1, 又2b ? 2,
? b ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2, ????????3 分
所以,椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

其离心率为 e ?

2 ????????5 分 2
3 2

(2)证明:∵椭圆的右准线 1 的方程为:x=2, ∴点 E 的坐标为(2,0)设 EF 的中点为 M,则 M ( ,0) 若 AB 垂直于 x 轴,则 A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1) ∴AC 的中点为 N ( ,0) ∴线段 EF 的中点与 AC 的中点重合, ∴线段 EF 被直线 AC 平分,??????????6 分 若 AB 不垂直于 x 轴,则可设直线 AB 的方程为

3 2

y ? k ( x ? 1), k ? 0, A( x1 , y1 ), B( x2 ,? y2 )
则 C (2,? y 2 ) ??????????7 分 把 y ? k ( x ? 1)代入

x2 ? y2 ? 1 2 [来源:学科网 ZXXK]

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0. ??????8 分 则有 x1 ? x 2 ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x x ? ??????9 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? k ( x1 ? 1) 3 x1 ? 2

∴ k AM ?

y1 x1 ? 3 2

?

2k ( x1 ? 1) y , k CM ? 2 ? 2k ( x 2 ? 1). ????????10 分 3 2 x1 ? 3 2? 2

∵ k AM ? k CM ? 2k

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 2( x1 ? 3) 2 x1 ? 3

? 2k

3( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4 ?0 2 x1 ? 3

∴ k AM ? kCM , ∴A、M、C 三点共线,即 AC 过 EF 的中点 M, ∴线段 EF 被直线 AC 平分。????????????13 分 5.(江苏泰兴 2011 届高三理)(本小题满分 14 分) 已知:在函数的图象上, f ( x) ? mx ? x 以 N (1, n) 为切点的切线的倾斜角为
3

? . 4

(I)求 m, n 的值;

对于x ? [?1,3] 恒成立? (II)是否存在最小的正整数 k ,使得不等式 f ( x) ? k ? 1993
如果存在,请求出最小的正整数 k ,如果不存在,请说明理由。 答案 5.依题意,得 f ?(1) ? tan

?
4

,即3m ? 1 ? 1, m ?

2 . 3

因为 f (1) ? n, 所以 n ? ? . ????6分 (II)令 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0, 得x ? ?
2

1 3

2 . ????8分 2

当 ?1 ? x ? ?

2 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0; 2

当?

2 2 ?x? 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0; 2 2



2 ? x ? 3时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0; 2 1 2 2 2 2 , f (? )? , f( )?? , f (3) ? 15. 3 2 3 2 3 2 ? f ( x) ? 15. ????12分 3

又 f (?1) ?

因此, 当 x ? [?1,3]时,?

要使得不等式 f ( x) ? k ? 1993 对于x ? [?1,3] 恒成立,则 k ? 15 ? 1993 ? 2008 . 所以, 存在最小的正整数 k ? 2008 . 使得不等式 f ( x) ? k ? 1993 对于x ? [?1,3] 恒成立

6.(福建省福州八中 2011 届高三文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点(0,1),离心率 e ? . 2 2 a b

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设直线 x ? m y ? 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 A’. 试问:当 m 变化时直线 A' B 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证 明你的结论;若不是,请说明理由。
?b ? 1, ? 答案 6.解:(I)依题意可得 ? c ? 3 , ? 2 ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 , ?
解得 a ? 2, b ? 1.

…………2 分

…………3 分

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………4 分

? x2 ? y 2 ? 1, (II)由 ? ?4 ? x ? m y ? 1, ?
得 (my ? 1) ? 4 y ? 4, 即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0. 且△>0 恒成立.…………6 分
2 2 2 2

记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 A'( x1, ? y1),

m ,y y ?? 3 . 且y1 ? y2 ? ? 2 2 m ?4 1 2 m2 ? 4

…………8 分

∴ A ', B 的直线方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 (x ? x1). x2 ? x1

…………9 分

令 y=0,得 x ?

x2 ? x1 y ?x y2 ? y1 1 1

…………10 分

又 x2 ? x1=m( y2 ? y1) , x1=my1 ? 1 ∴x?

…………11 分

x2 ? x1 m( y2 ? y1) y1 2my2 y1 y1 ? x1= ? my1 ? 1= ?1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1

…………12 分

x?

2m( ?

3 ) m2 ? 4 ? 1=3 ? 1=4 m ? 2 m2 ? 4

…………13 分

这说明,当 m 变化时,直线 A' B 与 x 轴交于点 S(4,0) …………14 分 7. (河北省唐山一中 2011 届高三理)已知过点 A (1,1)且斜率为 ? m ( m ? 0 )的直线 与 x , y 轴分别交于 P, Q 两点,分别过 P, Q 作直线 2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 R, S , 求 四边形 PRSQ的面积的最小值. 答案 4.设直线 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P( 1 ? 从而 PR 和 QS 的方程分别为 x ? 2 y ? 科网 ZXXK]

1 ), Q(0,1 ? m) ????2 分 m

m ?1 ? 0和x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 , ??5 分[来源:学 m

2m ? 2 ? 1 ?
又 PR // QS ? RS ?

1 m

5

?

3 ? 2m ?

2 1 2? m , QS ? m ? 1 m ,又 PR ? 5 5 5

? 四边形 PRSQ 为梯形????????????9 分[来源:学科网 ZXXK] 1 1 9 1 1 9 1 18 ? (2 ? ) 2 ? ? ? S PRSQ ? (m ? ? ) 2 ? 5 m 4 80 5 4 80 5 18 ?????? 12 分 ? 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 5
8. (福建省四地六校联考 2011 届高三理)(本小题满分 14 分)本题(1)、(2)、(3) 三个选答题,每小题 7 分,任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题 计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中。 (1)(本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换

已知 a, b ? R ,若 M ? ?

? ?1 a ? ? 所对应的变换 TM 把直线 L : 2 x ? y ? 3 变换为自身, ? b 3?

求实数 a , b ,并求 M 的逆矩阵。 (2)(本题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线的参数方程: ?

? x?t (为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? y ? 1 ? 2t

? ? ? 2 2 sin(? ? ) 。
4
①将直线的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; ②判断直线和圆 C 的位置关系。 (3)(本题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ①解不等式 f ( x) ? 5 ; ②证明:对任意 x ?[?2, 3] ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 5 成立. 答案 5、(1) 设 P ( x, y ) 为直线 2 x ? y ? 3 上任意一点其在 M 的作用下变为 ( x ?, y ?)

? ?1 a ? ? x ? ? ? x ? ay ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay ? ? ??? ??? ??? ? b 3 ? ? y ? ? bx ? 3 y ? ? y? ? ? y? ? bx ? 3 y 代入 2 x ? y ? 3 得: ? (b ? 2) x ? (2a ? 3) y ? 3 ?? b ? 2 ? 2 ?b ? ?4 其与 2 x ? y ? 3 完全一样得 ? ?? ?2a ? 3 ? ?1 ?a ? 1 ? ?1 1 ? ? 3 ?1? 则矩阵 M ? ? 则 M ?1 ? ? ? ? ? ?4 3 ? ? 4 ?1? (2) 解:①消去参数,得直线的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ? ? ? 2 2 sin(? ? ) ,即 ? ? 2(sin? ? cos? ) , 4 两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 2 2 得⊙ C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2
则? ②圆心 C 到直线的距离 d ?

?????3 分

?????7 分 ?????3 分

???5 分

| 2 ?1?1| 2 2 ? 12

?

2 5 ? 2 ,所以直线和⊙ C 相交?7 分 5

(3)①由 | x ? 2 |? 5 ,解得 ? 3 ? x ? 7 ∴原不等式的解集为 {x | ?3 ? x ? 7} ????????3 分

②证明: f ( x) ? f ( x ? 3) ? 5 即 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? 5 y 5 3 -2 0 3 x

令 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | 及 y ? 5 由图得 当 x ?[?2, 3] ,不等式成立. ????????7 分

2010 年联考题
1.(马鞍山学业水平测试)如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的 取值范围是 A. (0,+∞) 答案 D B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)

2.(池州市七校元旦调研)已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( (A)1 答案 B 解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0 (B)2 (C) -1 (D)-2

)

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又? y ' |x ? x0 ?

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 .故答案选 B
x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 ( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

3.曲线 y ?

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 答案 B 解: y ? |x ?1 ?

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

2x ?1 ? 2x 1 |x?1 ? [? ] |x?1 ? ?1 , 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

2 2 4. ( 昆 明 一 中 三 次 月 考 理 ) P( x, y ) 是 圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上 任 意 一 点 , 若 不 等 式

x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围是
A. [?1 ? 2 , 2 ? 1] C. [1 ? 2 ,??) 答案:B B. [ 2 ? 1,??) D. (?1 ? 2 , 2 ? 1)

5.(岳野两校联考)若直线 mx ? ny ? 4 和圆 O: x ? y ? 4 没有交点,则过点 (m, n) 的直
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 线与椭圆 9 的交点个数为(
A.至多一个 答案 B B.2 个

) C.1 个 D.0 个

6.(昆明一中四次月考理)已知直线 x ? y ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标 原点,向量 OA 、 OB 满足 | OA ? OB | ? | OA ? OB | ,则实数 a 的值是( (A)2 答案:D 7. (哈师大附中、 东北师大附中、 辽宁省实验中学) 圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 圆M 的方程为 ( x ? 2 ? 5cos? )2 ? ( y ? 5sin ? )2 ? 1 (? ? R ) ,过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两 条切线 PE 、 PF ,切点分别为 E 、 F ,则 PE ? PF 的最小值是 A.12 答案 C B.10 C.6 (B) ?2 (C) 6 或 ? 6

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



(D)2 或 ?2

??? ? ??? ?

( D.5



8. (马鞍山学业水平测试) 如果过两点 A(a,0) 和 B (0, a ) 的直线与抛物线 y ? x 2 ? 2x ? 3 没有 交点,那么实数 a 的取值范围是 .

13 答案 (??,? 4 ) . 9.(安庆市四校元旦联考)已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆 C 与直线 MN

切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程 为 .
2

y2 ? 1( x ? 1) 答案 x ? 8
10. (安庆市四校元旦联考)设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,将直线 l1 绕原点 按逆时针方向旋转 90 得到直线 l 2 ,则 l 2 的方程是 答案 2 x ? y ? 2 ? 0
?



11. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 16 分) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 3, BC ? 1 , 以 A 为圆心 1 为半径的圆与 AB 交于 E (圆弧 DE 为圆在矩形内的部分) (Ⅰ)在圆弧 DE 上确定 P 点的位置,使过 P 的切线平分矩形 ABCD 的面积; (Ⅱ)若动圆 M 与满足题(Ⅰ)的切线及边 DC 都相切,试确定 M 的位置,使圆 M 为矩 l 形内部面积最大的圆. D

C

P

M

A
解(Ⅰ)以 A 点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 P ? x0 , y0 ? , B

E

B

?

3 ,0 , D?0,1? ,圆弧 DE 的方程 x 2 ? y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0?

?

切线 l 的方程: x 0 x ? y 0 y ? 1(可以推导:设直线的斜率为 k ,由直线与圆弧 DE 相 切知: AP ? l ,所以 k ? ? 得 x 0 x ? y 0 y ? 1 ). 设与 AB、CD 交于 F、G 可求 F(

x0 x ,从而有直线的方程为 y ? y 0 ? ? 0 ? x ? x 0 ? ,化简即 y0 y0

1 ? y0 1 , 0 ),G( ,1 ),? l 平分矩形 ABCD 面积, x0 x0
??①

? FB ? GN ? 3 ?
2 2 又 x0 ? y0 ? 1??②

1 1 ? y0 ? ? 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 x0 x0
解①、②得: x0 ?

3 1 3 1 , y0 ? ,? P( , ) . 2 2 2 2

(Ⅱ)由题(Ⅰ)可知:切线 l 的方程: 3x ? y ? 2 ? 0 , 当满足题意的圆 M 面积最大时必与边 BC 相切,设圆 M 与直线、 BC、DC 分别切于

R、Q、T ,则 MR ? MT ? MQ ? r ( r 为圆 M 的半径).

? M ( 3 ? r,1 ? r) ,由

3( 3 ? r ) ? 1 ? r ? 2 3 ? 12
2

? r ? r ? 3 ? 1(舍), r ?

3? 3 . 3

? M 点坐标为 (

4 3 ?3 3 , ). 3 3

注意:直线与圆应注意常见问题的处理方法,例如圆的切线、弦长等,同时应注重结合图形 加以分析,寻找解题思路。


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